2022-2023学年人教版数学九年级下册第二十七章相似全章综合检测

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2022-2023学年人教版数学九年级下册第二十七章相似全章综合检测 一、选择题(共21分)1.  [2022衡阳中考]在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m.参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)(　　)A.0.73 m  B.1.24 m  C.1.37 m  D.1.42 m2.  [2022杭州上城区期中]如图,已知AB∥CD∥EF,AC∶CE=1∶3,那么下列结论中,正确的是 (　　)A.BD∶BF=1∶3  B.CD∶EF=1∶3C.DF∶BF=3∶4  D.AB∶EF=1∶33.  [2021河北中考]图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB= (　　)A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm4.  [2022佛山南海区一模]如图,点P是△ABC的AC边上一点, 连接BP,添加下列条件,不能判定△ABC∽△APB的是 (　　)A.∠C=∠ABP  B.∠ABC=∠APBC.=       D.=5. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在对角线AC,BD上,且EF∥AD.若AE=2EC,AD=3,BC=6,则线段EF的长为 (　　)A.2　　　B.      C.3　　 D.6.  据《九章算术》记载:“今有山居木西,不知其高.山去木五十三里,木高九丈五尺.人立木东三里,望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问:山高几何?”大意如下:如图,今有山AB位于树CD的西面.山AB的高为未知数,山与树相距53里,树高9丈5尺,人站在离树3里的地方,观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上,人眼离地7尺,则山AB的高为多少?可得山AB的高为(结果保留整数,1丈=10尺)(　　)A.162丈  B.163丈  C.164丈  D.165丈7.  [2021绵阳中考]如图,在△ACD中,AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点,则PQ的最小值是 (　　)A.  B.  C.  D.二、填空题(共9分)8.  [2022济南济阳区期末]若△ABC∽△DEF,其面积的比为4∶9,则△ABC与△DEF的周长比为　　　　 . 9.  [2022太原期末]如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形,则位似中心的坐标是　　 . 10. [2021焦作十八中期中]如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∠ABC=∠AED=90°,CD与BE,AE分别交于点P,M,连接AP.给出下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=BE;③MP·MD=MA·ME;④2CB2=CP·CM.其中正确的是　　　　. 三、解答题(共50分)11.  (8分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(3,1),(2,-1).(1)在y轴左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OCD,且△OCD与△OAB的相似比为2∶1;(2)分别写出A,B的对应点C,D的坐标;(3)如果△OAB内部一点M的坐标为(m,n),写出点M在△OCD内的对应点N的坐标. 12.  (8分)[2022株洲期末]如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFD=∠C.(1)求证:△ADF∽△DEC.(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.      13.  (10分)[2022西安碑林区模拟]如图,为了测量平静的河面的宽度,即EP的长,在离河岸D点3.2米远的B点,立一根长为1.6米的标杆AB,在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF,电线杆的顶端M在河里的倒影为点N,即PM=PN,两岸均高出水平面0.75米,即DE=FP=0.75米,经测量此时A,D,N三点在同一直线上,并且点M,F,P,N共线,点B,D,F共线,若AB,DE,MF均垂直于河面EP,求河宽EP是多少米.       14.  (12分)定义:若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似的三角形,则称这个四边形为“友好四边形”.(1)如图1,在4×4的正方形网格中,有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE,其中是被AC分割成的“友好四边形”的是　　　　. (2)如图2,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,点B'落在边AC上,过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D,求证:四边形ABCD是“友好四边形”.(3)如图3,在△ABC中,AB≠BC,∠ABC=60°,△ABC的面积为6,D是∠ABC的平分线上一点,连接AD,CD.若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”,求BD的长.         15.  (12分)[2020河南中考]将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α,连接BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE.(1)如图1,当α=60°时,△DEB'的形状为　　　　,连接BD,可求出的值为　　　　;(2)当0°<α<360°且α≠90°时.①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;②当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值.                        参考答案一、选择题1.  B　 设下部的高度为x m,则上部的高度是(2-x) m,∵雕像上部与下部的高度比,等于下部与全部的高度比,∴=,解得x=-1或x=--1(舍去),经检验,x=-1是原方程的解,∴x=-1≈1.24.2.  C　 ∵AB∥CD∥EF,∴==,∴==,∴=.由已知条件无法得到B,D项的结果.3.  C　根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知=,即=,∴AB=3 cm.4.  D　A项,因为∠A=∠A,∠C=∠ABP,所以△ABC∽△APB,故本选项不合题意;B项,因为∠A=∠A,∠ABC=∠APB,所以△ABC∽△APB,故本选项不合题意;C项,因为∠A=∠A,=,所以△ABC∽△APB,故本选项不合题意;D项,根据=和∠A=∠A,不能判定△ABC∽△APB,故本选项符合题意.5.  C　解法一　如图,延长EF交AB于点G.易证△AGE∽△ABC,△BGF∽△BAD,∴===,==,∴GE=BC=4,GF=AD=1,∴EF=GE-GF=4-1=3. 解法二　设AC与BD相交于点H.由AD∥BC,AD∥EF,可得△AHD∽△EHF∽△CHB,∴===,∴AH=AC.∵AE=2EC,∴EC=AC=AH,∴HE=AC,∴AH=HE,∴△AHD≌△EHF,∴EF=AD=3.6.  D　由题意得,BD=53里,CD=95尺,EF=7尺,DF=3里,如图,过点E作EG⊥AB于点G,交CD于点H,则BG=DH=EF=7尺,GH=BD=53里,HE=DF=3里.∵CD∥AB,∴△ECH∽△EAG,∴=,∴=,∴AG≈1 642.7尺,AB=AG+GB≈165丈.7.  A　∵△DAB∽△DCA,∴=,∴=,∴BD=4(负值舍去).∵△DAB∽△DCA,∴===,∴AC=AB,∵AC2=AB(AB+BC),∴(AB)2=AB(AB+BC),∴AB=4,∴AB=BD=4.如图,过点B作BH⊥AD于点H,∴AH=AD=3,∴BH===.∵AD=3AP,AD=6,∴AP=2.当PQ⊥AB时,PQ的值最小.∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=∠BAH,∴△APQ∽△ABH,∴=,即=,解得PQ=.二、填空题8.  2∶3　 ∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的面积的比为4∶9,∴△ABC和△DEF的边长的比为2∶3,∴△ABC与△DEF周长的比为2∶3.9.  (10,0)　如图所示,位似中心的坐标是(10,0).10.  ①②③④　∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠ADE=45°,∴AC∥DE,∴△CAM∽△DEM,故①正确.∵AC=AB,AD=AE,∴=.∵∠BAC=∠EAD=45°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,∴△BAE∽△CAD,∴==,∴CD=BE,故②正确.∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA,又∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD,∴=,∴MP·MD=MA·ME,故③正确.∵MP·MD=MA·ME,∠PMA=∠DME,∴△PMA∽△EMD,∴∠APD=∠AED=90°.∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°,∴△CAP∽△CMA,∴=,∴AC2=CP·CM.∵AC=CB,∴2CB2=CP·CM,故④正确.综上,正确的结论是①②③④.三、解答题11. 解:(1)△OCD如图所示. (3分)(2)点C,D的坐标分别为(-6,-2),(-4,2).(6分)(3)点N的坐标为(-2m,-2n).(8分)12.  (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC,∵∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC.(4分)(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=8,∵△ADF∽△DEC,∴=,∴=,∴DE=12.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB=90°,在Rt△AED中,AE==6.(8分)13.  解:如图,延长AB交EP的反向延长线于点H,则四边形BDEH是矩形,∴BH=DE=0.75,BD∥EH,∴AH=AB+BH=AB+DE=1.6+0.75=2.35.(3分)∵BD∥OH,∴△ABD∽△AHO,∴=,∴=,∴HO=4.7.∵PM=PN,MF=4.5,FP=0.75,∴PN=MF+FP=5.25,(6分)∵AH⊥EP,PN⊥EP,∴AH∥PN,∴△AHO∽△NPO,∴=,∴=,∴PO=10.5,∴EP=PO+OE=10.5+(4.7-3.2)=12.答:河宽EP是12米.(10分)14.  解:(1)四边形ABCE (3分)设正方形网格中每个小正方形的边长均为1,则AB=2,BC=1,AD=4,AC==,CD==,AE==2,CE==5,∴===,∴△ABC∽△EAC,∴四边形ABCE是“友好四边形”.∵≠,∴△ABC与△DCA不相似,∴四边形ABCD不是“友好四边形”.(2)根据旋转的性质,得∠A'CB'=∠ACB,∠CA'B'=∠CAB.∵AD∥A'B',∴∠CA'B'=∠D,∴∠CAB=∠D,又∠DCA=∠ACB,∴△ABC∽△DAC,∴四边形ABCD是“友好四边形”.(7分)(3)如图,过点A作AM⊥BC于点M.在Rt△ABM中,∠ABM=60°,∴∠BAM=30°,∴BM=AB,∴AM=AB.∵△ABC的面积为6,∴BC×AB=6,∴BC×AB=24.∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC.∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”,且AB≠BC,∴△ABD∽△DBC,∴=,∴BD2=AB×BC=24,∴BD==2.(12分)15.  分析:(1)先根据旋转的性质、正方形的性质和等腰三角形的性质,得到∠AB'B,∠AB'D的度数,再求得∠DB'E的度数,即可判定△DEB'的形状.证明△B'DB∽△EDC,即可求得的值.(2)①同(1),先求∠AB'B,∠AB'D的度数,再求得∠DB'E的度数,即可判定△DEB'的形状.证明△B'DB∽△EDC,即可求得的值.②分点B'在正方形ABCD内部、点B'在正方形ABCD外部两种情况进行求解.解:(1)等腰直角三角形　(4分)连接BD,由旋转和正方形的性质,得AB'=AB=AD,又∠BAB'=60°,∴△ABB'是等边三角形,∴∠AB'B=60°.∵∠DAB'=30°,AB'=AD,∴∠AB'D==75°,∴∠DB'E=180°-75°-60°=45°.又DE⊥B'E,∴△DEB'是等腰直角三角形.易知==,∠BDB'=∠CDE,∴△B'DB∽△EDC,∴==.(2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB',∠BAB'=α,∴∠AB'B=90°-.∵∠B'AD=α-90°,AD=AB',∴∠AB'D=135°-,∴∠EB'D=∠AB'D-∠AB'B=45°.又DE⊥BB',∴∠EDB'=45°,∴△DEB'是等腰直角三角形,∴=.∵四边形ABCD为正方形,∴=,∠BDC=45°,∴=.∵∠EDB'=∠BDC,∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB,即∠B'DB=∠EDC,∴△B'DB∽△EDC,∴==.(8分)②3或1.如图1,当点B'在正方形ABCD内部时,∵四边形B'CED为平行四边形,∴DB'=CE.∵△DB'E是等腰直角三角形,∴设DE=B'E=a,∴CE=DB'=a.∵=,∴BB'=CE=2a,∴BE=BB'+B'E=3a,∴==3.如图2,当点B'在正方形ABCD外部时,点E与点A重合,此时B'E=B'A=BA=BE,∴=1.综上所述,的值为3或1.(12分)