2023年河北省石家庄市桥西区中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

2023年河北省石家庄市桥西区中考数学质检试卷（3月份）

一、选择题（本大题共15小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上，这样做应用的数学知识是(    )

A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边

3.  去年某城镇人均可支配收入为元，用科学记数法可表示为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  嘉嘉家和琪琪家到学校的直线距离分别是和，他们两家的直线距离可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，是由相同的小正方体粘在一起的几何体，组合其中的两个，能构成长方体的方案个数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  加的和与的差小于，则的值不可能为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，与位似，点是它们的位似中心，且它们的周长比为：，则与的面积之比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

10.  已知直线的图象如图所示，则关于的方程的根是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

11.  已知，，下列结论正确的是(    )

A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 当时，为正数 D. 当时，为负数

12.  如图所示，正五边形的顶点，在射线上，顶点在射线上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

13.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则与的周长之比为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

14.  如图，点，是半径为的上的两点，且，则下列说法正确的是(    )

A. 圆心到的距离为
B. 在圆上取异于，的一点，则面积的最大值为
C. 以为边向上作正方形，与的公共部分的面积为
D. 取的中点，当绕点旋转一周时，点运动的路线长为
 

15.  如图，反比例函数和正比例函数的图象交于点，，动点在轴上，若为直角三角形，则的值为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

16.  如图，有张写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到号卡片的概率是        ．
 

17.  如图，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”如图，得到两个正方形．
图中小正方形的边长为        用含的代数式表示；
当时，该大正方形的面积是        ．
 

18.  如图是某型号机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，，，，机械臂端点到工作台的距离．
的补角度数是        ；
点到直线的距离约是        ；
的长约是        结果精确到
参考数据：，，，
 

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．
例如：

       ，        用含的代数式表示；
若，求的最小整数值．

20.  本小题分
某校九年级名学生在“立定跳远提升”训练前后各参加了一次水平相同的测试，为了解训练效果，用抽样调查的方式从中抽取了名学生训练前后的测试成绩，制成如下表格：

这名学生的测试成绩中，训练前成绩的众数是        分，训练后成绩的中位数是        分；
这名学生经过训练后平均成绩提高了多少分？
若测试成绩“分”“分”为优秀，请估计该校九年级名学生经过训练后优秀的人数约有多少人？

21.  本小题分
发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数？若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．
验证：如        ，        ．
探究：设“发现”中的两个已知正整数为，两数之差为，请论证“发现”中的结论的正确性．

22.  本小题分
如图，在中，，，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，．

求证：≌；
如图，作关于的对称点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由；
如图，在的条件下，直接写出阴影部分的面积．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线：与轴交于点，矩形的顶点坐标分别为，，．
若点在直线上，求的值；
若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式；
若直线与矩形有交点含边界，直接写出的取值范围．

24.  本小题分
如图，在菱形中，是对角线与的交点，，，经过点，分别交，于点，．

当时，求的长；
如图，当时，求的长；
如图，以为斜边作等腰直角，当点落在的延长线上时，与交于点，求与的比值．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴相交于点．

求抛物线的解析式；
如图，抛物线顶点为，连接，，，，求证：∽；
如图，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线的一段记为，将该胶片向下平移个单位长度，使与三条边有两个交点，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数；
是无理数．
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，
故选：．
根据两点确定一条直线判断即可．
本题考查的是两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，准确确定、的值是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意有，设嘉嘉家和琪琪家的直线距离为，
则，
即．
故选：．
根据三角形三边关系即可求解．
本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
直接将分式通分运算，进而利用分式的性质计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，组合后的几何体是长方体，
符合要求，符合要求，
能构成长方体的方案个数是．
故选：．
根据组合后的几何体是长方体直接判断即可．
本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用平方差公式，有理数的乘法的法则，负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，同底数幂的除法，平方差公式，负整数指数幂，解答的关键是对相应运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
则，
，
，
解得，
故选：．
先根据题意列出不等式，再根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

9.【答案】 

【解析】解：与位似，点是它们的位似中心，且它们的周长比为：，
相似比为：，
与的面积之比是：，
故选：．
根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．
本题考查了位似变换，相似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知直线经过点，，
，
解得，
关于的方程为，
，
，
解得或，
故选：．
利用待定系数法求得、的值，即可得到关于的方程为，利用因式分解法求解即可求得方程的解为或．
本题考查了一次函数的图象，待定系数法求一次函数的解析式，因式分解法解一元二次方程，求得、的值以及掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的最小值为：，
当时，，
解得：，
，
，
故选：．
分别求的值，解，再进行判断．
本题考查了配方的应用，理解非负数的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，．
．
，
．
．
．
．
故选：．
根据正多边形的性质以及多边形的外角和等于度，得，，那么由，得，从而推断出再根据三角形的内角和定理，得．
本题主要考查多边形的外角和内角，熟练掌握正多边形的性质、多边形的外角和、三角形的内角和是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
由作图得：平分，
，，
，
，
，
，，
与的周长之比为：，
故选：．
根据作图知平分，再根据直角三角形的性质求出边长和周长，最后求出比值．
本题考查了基本作图，掌握直角三角形的性质是解他的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图作于，连接，
，
，
圆心到的距离为，
故A不符合题意；
延长交圆于，此时的面积最大，
，
的面积，
面积的最大值为，故B不符合题意；
如图四边形是正方形，连接，，
，
，是圆的直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
的面积，
，
扇形的面积，
为边向上作正方形，与的公共部分的面积的面积扇形的面积，
故C符合题意；
取的中点，连接，，，
，
，
，
当绕点旋转一周时，点运动的路线是以圆心，半径长是的圆，
点运动的路线长为，
故D不符合题意．
故选：．
由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可得到到的距离；延长交圆于，即可求出的最大面积；求出的面积，扇形的面积即可求出正方形与圆的公共部分的面积；点运动的路线是以圆心，半径长是的圆，即可求出运动的路线长．
本题考查扇形面积，垂径定理，正方形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，关键是熟练掌握以上知识点，并判断出位于弦所对劣弧中点时，的面积最大．
 

15.【答案】 

【解析】解：由解得或，
，，
在轴上原点的两旁取两点，，使得，
则，
，，
在轴上原点的两旁取两点，，使得，
则，
点在轴上，若为直角三角形，
或，
故选：．
在轴上找到点，，使，，则点的右边，在的左边，作，交轴于，作，交轴于，则点的右边，在的左边．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将它们背面朝上，从中任意摸出一张有种等可能结果，其中摸到号卡片的有种结果，
所以将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到号卡片的概率为，
故答案为：．
将它们背面朝上，从中任意摸出一张有种等可能结果，其中摸到号卡片的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

17.【答案】   

【解析】解：直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
小正方形的边长；
故答案为：；
小正方形的面积，
当时，小正方形的面积，直角三角形的面积为，
大正方形的面积，
故答案为：．
观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
根据正方形的面积边长的平方列出代数式，把代入求出小正方形的面积，求出直角三角形的面积，则可得出答案．
本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：，
的补角是：，
过点作于点，
在中，
，
．
连接，过点作于，
四边形是矩形，
，，
，
在中，
由勾股定理可知：，
，
在中，
由勾股定理可知：，
在中，
由勾股定理可知：，
，
即
故答案为：．

．
根据补角的定义即可求出答案．
过点作于点，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
连接，过点作于，所以四边形是矩形，然后根据勾股定理可分别求出、、、的长度，从而可求出的长度．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

19.【答案】   

【解析】解：，．
故答案为：，；
依题意有：，
，
，
解得．
的最小整数值为．
根据约定的方法即可求出和；
根据约定的方法列出关于的不等式即可求出的最小整数值．
本题考查了列代数式，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．
 

20.【答案】   

【解析】解：训练前的众数是分，
训练后的中位数是分．
故答案为：，；
训练前的平均分：分，
训练后的平均分：分，
分．
答：训练后平均成绩提高了分；


人．
答：该校优秀的人数约有人．
根据众数和中位数的定义即可求解；
根据加权平均数的定义即可求解；
利用样本估计总体即可求解．
本题考查的是统计表的综合运用，读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了利用样本估计总体．
 

21.【答案】   

【解析】解：验证：，．
探究：

．
当为奇数时，为偶数，得为奇数，那么为奇数；
当为偶数时，为偶数，得为偶数，那么为偶数．
根据平方差公式解决此题．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：由题意得：，，
，
，，
，
，
≌；

解：理由如下：
，关于的对称，
，，
，
，
四边形为菱形
，
，
；

解：如图，设交于点，
由知，为等腰直角三角形，
则，
则，
则阴影部分的面积

． 

【解析】用证明≌即可；
，关于的对称，得到，，进而得到，即可证明；
由阴影部分的面积，即可求解．
本题考查了三角形综合题，涉及到扇形基本知识、三角形全等、面积的计算、菱形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
 

23.【答案】解：由题意可知：点，
将点代入直线：中，，
解得：．
矩形是中心对称图形，直线将矩形分成面积相等的两部分．
直线一定经过矩形的对称中心；
矩形顶点，，
其对称中心的坐标为，
代入直线：中，解得，
直线的函数表达式为．
如图：

，，
直线：经过时，，
解得，
当直线：经过经过时，，
解得，
由图象可知，的取值范围是或． 

【解析】根据矩形的性质得到点，代入，即得求得的值；
当直线经过矩形的对称中心时，直线把矩形分成两部分的面积相等，由点，，得其对称中心的坐标为，用待定系数法即得，即可求得；
当直线：经过时，解得，当直线：经过时，解得，即得当或时，直线与矩形有交点．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．矩形中心对称性，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出直线经过相关顶点时的值，利用数形结合得到的范围．
 

24.【答案】解：过点作于，

，，
，
，
四边形是菱形，
，
又，，
，
四边形是矩形，
；
过点作于，

四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
在中，，
，
；
过点作于，过点作于，

是等腰直角三角形，
，，
由得，
，，
，
，
由得，，
，
，
，
，
，，
又，
≌，
，
，
，
∽，
． 

【解析】过点作于，由直角三角形的性质求出，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出答案；
过点作于，由菱形的性质得出，，由勾股定理求出，求出的长，则可得出答案；
过点作于，过点作于，由等腰直角三角形的性质求出的长，证明≌，由全等三角形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得，
解得．
二次函数的解析式为：；
证明：，
，
由，得，，
，
，．
，，，
，，，
，
∽；
解：设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
将该胶片向下平移个单位长度，
平移后的解析式为，
当与没有交点时，如图，

没有实数根，即没有实数根，
，解得，
当与线段只有两个交点时，即方程有两个负实数根，如图，

，解得，
的取值范围为． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
计算，，的长，利用三边对应成比例的两三角形相似即可得出∽；
将交点问题转化为方程的解，根据解的情况求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．抛物线的顶点式方程：是常数，，其中为顶点坐标，解答本题的关键是利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．