2023年河北省石家庄市长安区中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

2023年河北省石家庄市长安区中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  将一张四边形纸片沿直线剪开，剪开后的两个图形内角和相等的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若成立，则“”中的运算符号是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

4.  与相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，若，则表示的值的点落在(    )

A. 第段 B. 第段 C. 第段 D. 第段

7.  甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏(    )

A. 公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 公平性不可预测

8.  如图，是由个同样大小的小正方体组成的几何体，将小正方体移到的正上方后，关于新几何体的三视图描述正确的是(    )

A. 主视图和俯视图改变
B. 俯视图和左视图改变
C. 左视图和俯视图不变
D. 俯视图和主视图不变

9.  如图，在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，剩余部分即阴影部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，点在的延长线上，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点则以下结论一定成立的是(    )

A.  B.
C. 点到三边的距离相等 D. 点到三个顶点的距离相等

12.  孙子算经中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有辆车，则(    )

A.  B.
C.  D.

13.  阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，，分别是边，的中点．
求证：，且．
证明：延长到点，使，连接，
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图，先证明≌，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图，连接，先后证明四边形，分别是平行四边形．
下列判断正确的是(    )

A. 甲思路正确，乙思路错误 B. 甲思路错误，乙思路正确
C. 甲、乙两人思路都正确 D. 甲、乙两人思路都错误

14.  观察下面的尺规作图痕迹，在平行四边形基础上能成功作出菱形的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

15.  如图，在中，，，动点沿从点向点移动点不与点，点重合，过点作的垂线，交折线于点记，的面积为，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

16.  如图，点是边长为的正六边形内的一点不包括边界，且，是上的一点，是的中点，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

17.  如图，故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积约，在世界宫殿建筑群中面积最大将用科学记数法表示为        ．

18.  如图，冰激凌的外壳不计厚度可近似的看作圆锥，其母
线长为，底面圆直径长为．
这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是        ；
当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图，其母线长为，则此时冰激凌外壳的侧面积为        结果保留

19.  将等腰直角三角形按图的方式放在平面直角坐标系中，其中点，点，点在双曲线的图象上．
       ；
将沿着轴正方向平移个单位得到．
当双曲线过线段的中点时，点的坐标是        ；
当线段和双曲线有公共点时，的取值范围是        ．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图，是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中、是两个关于的二项式．
直接写出二项式和，并求出该题目的最后运算结果；
若，求的最小整数值．

21.  本小题分
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩满分分进行分组整理，各小组的成绩分分段为：，，，，，信息如下：

成绩频数分布图如图所示：
成绩在这一组的是单位：分：
                                           
根据以上信息，回答下列问题，
补全统计图并求成绩不低于分的人数占测试人数的百分比；
求这次测试成绩的中位数；
这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是分乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．

22.  本小题分
发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数．
如：，是的倍；，是的倍．
请你仿照上面的例子，再举出一个例子：                      ；
十位数字为，个位数字为的两位数可表示为        ，若该两位数的平方与的平方的差是的倍，则        ；
设一个两位数的十位数字为，个位数字为，且，为正整数，请用含，的式子论证“发现”的结论是否正确．

23.  本小题分
某服装厂有甲、乙两条生产线，生产一款由上衣和裤子配套的运动套装，甲生产线专门生产套装的上衣，乙生产线专门生产套装的裤子某天两条生产线同时开始生产，乙生产线在生产中停产一段时间更换了新设备，更换新设备后，生产效率是更换前的倍甲、乙生产线各自生产的服装数量件与生产时间小时的函数关系如图所示．
求甲生产线生产的套装上衣件与工作时间小时的函数关系式；
求图中的值；
乙生产线使用更换的新设备后，在生产过程中，甲、乙两条生产线每小时的损耗成本分别是元和元，若生产一批上衣和裤子成套的运动套装的总损耗成本不超过元，则这批运动套装最多是多少套？

24.  本小题分
如图，在中，，平分并交于点，点在上，经过点，的半圆分别交，于点，，连接．
求证：是的切线；
判断和的数量关系，并说明理由；
若的半径为，，求点到直线的距离．

25.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线：为常数．

当经过点时，求的表达式及顶点坐标；
当经过坐标原点时，设与轴的另一个交点为点，上是否存在点，使的面积是面积的倍？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，说明理由；
若与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．

26.  本小题分
如图，正方形与正方形有公共点，点，分别在，上，点在正方形的对角线上将正方形绕点逆时针方向旋转，旋转角为．

当时，        ；
如图，当时，连接，，是否为定值？请说明理由；
若，，当，，三点共线时，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：沿图中直线剪开后，是一个四边形和一个三角形，所以内角和不相等，故A选项不符合题意；
B.延图中直线剪开后，是一个四边形和一个三角形，所以内角和不相等，故B选项不符合题意；
C.延图中直线剪开后，是一个四边形和一个三角形，所以内角和不相等，故C选项不符合题意；
D.延图中直线剪开后，是两个四边形，所以内角和相等，故D选项符合题意．
故选：．
根据题意进行判定延图中的直线剪开后图形是几边形，即可得出答案．
本题主要考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和进行求解是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故“”中的运算符号是．
故选：．
把加减乘除的符号代入计算即可求解．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点．
故选：．
直接利用位似图形的性质进而连接对应点得出位似中心即可．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据合并同类项法则，，那么不符合题意．
B.根据同底数幂的乘法，，那么不符合题意．
C.根据同底数幂的除法，，那么不符合题意．
D.根据幂的乘方，，那么符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方解决此题．
本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式
，
当时，
原式
，
故选：．
根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲胜的结果有种，乙胜的结果有种，
甲胜的概率，乙胜的概率，
甲胜的概率乙胜的概率，
这个游戏公平，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲胜的结果有种，乙胜的结果有种，再由概率公式求出甲胜的概率乙胜的概率，即可得出结论．
本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：将小正方体移到的正上方后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图中间的一列小正方形个数由个变为个，第三列小正方形的个数由个变为个．
故选：．
利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；
此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
先求得阴影部分的面积，再计算此题结果即可．
此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并能运用数形结合思想进行列式、求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：和都对，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，，，

由题意得：，，
为角平分线的交点，
，
点到三边的距离相等．
故选：．
根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等．
本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质得出为角平分线的交点．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据每人共乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，即可列出相应的方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：甲：是的中点，
，
，，
≌，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，故甲的思路正确；
乙：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，故乙的思路正确；
故选：．
甲：证≌，得，，则，再证四边形是平行四边形，得，，即可解决问题；
乙：证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，得，，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形中位线定理的证明等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在图中，根据作图痕迹先得到所作四边形为平行四边形，然后利用邻边相等可判断所作四边形为菱形；
在图中，根据作图痕迹先得到所作四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线，然后通过全等，可判断两条对角线互相垂直平分，所以可判断所作四边形为菱形；
在图中，根据作图痕迹可判断所作四边形的一组邻边相等，一组对边平行，不能判断所作四边形为菱形；
故选：．
利用作图痕迹，在图中，根据平行四边形的判定方法先得到所作四边形为平行四边形，然后利用邻边相等可判断所作四边形为菱形；在图中，根据作图痕迹先得到所作四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线，然后可证明两条对角线互相垂直平分，于是得到所作四边形为菱形；在图中，只能判断所作四边形的一组邻边相等，一组对边平行，所以不能判断所作四边形为菱形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
 

15.【答案】 

【解析】解：当点在上时，；
当点在上时，如下图所示，

，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：．
分点在上和上两种情况进行讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点在上这种情况．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，取，的中点，，连接，，，交于点，则是等边三角形，四边形是平行四边形．

，，
，
，，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，取，的中点，，连接，，，交于点，则是等边三角形，四边形是平行四边形．求出，，根据，推出，可得结论．
本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

18.【答案】扇形   

【解析】解：这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是扇形．
故答案为：扇形；

设展开后所得扇形的圆心角的度数为，
冰激凌的外壳不计厚度可近似的看作圆锥，底面圆直径长为，
底面圆的周长，
母线长为，
，
，
即展开后所得扇形的圆心角的度数是，
吃掉一部分后母线长为，
此时冰激凌外壳的侧面积为：

故答案为：．
根据图形得出答案即可；
先求出侧面展开后扇形所对弧的长度，再根据弧长公式求出扇形的圆心角的度，再根据扇形面积公式求出扇形的面积即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式和扇形的面积公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为，半径为，那么扇形所对弧的长度，扇形的面积．
 

19.【答案】     

【解析】解：，点，
，，
作轴于点，
，，
，
又，，
≌，
，，
；
点坐标为，
把代入双曲线得，．
故答案为：；
，，
线段的中点为，
把代入得，，解得，
线段的中点为，
，
点的坐标是，
故答案为：；
把代入得，，解得，
当线段和双曲线有公共点时，的取值范围是，
故答案为：．
作轴，构造≌，得到，，求出的坐标，把点坐标代入即可求出的值．
求得的中点为，把代入反比例函数的解析式，求得对应的的值，即可求得平移的距离，进一步求得点的坐标是；
把的纵坐标代入得，解得，即可求得的取值范围是．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、坐标与图形变化平移，明确关键点的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，


；

，，，
，
，
，
，
的最小整数解是． 

【解析】根据整式的乘法法则求出、即可，再根据整式的运算法则进行求出最后结果；
先列出不等式，再求出不等式的解集，最后求出最小整数解即可．
本题考查了多项式和一元一次不等式的整数解，能求出、的值是解此题的关键．
 

21.【答案】解：成绩在的人数为人，
补全统计图如下：

成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为；
这次测试成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据的平均数为，
所以这组数据的中位数是；
不正确，理由：
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩． 

【解析】求出的人数即可补全统计图，用成绩不低于分的人数除以即可求出百分比；
根据中位数的定义求解即可；
根据中位数的意义求解即可．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

22.【答案】         

【解析】解：如：，
故答案为：，，答案不唯一；
十位数字为，个位数字为的两位数可表示为，
由该两位数的平方与的平方的差是的倍可得，
解得，
故答案为：，；
一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数这个结论正确，理由如下：
设一个两位数的十位数字为，个位数字为，
，
又，，且，为整数，
是正整数，
是的倍数．
仿照已知再举一个例子即可；
根据多位数表示方法可得两位数，再根据两位数的平方与的平方的差是的倍列方程可解得答案；
根据“发现”的结论，列出代数式计算即可．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用代数式表示多位数．
 

23.【答案】解：设甲生产线生产的套装上衣件与工作时间小时的函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
甲生产线生产的套装上衣件与工作时间小时的函数关系式为；
乙生产线更换新设备前的生产效率为件小时，
乙生产线更换新设备后的生产效率为件小时．
根据题意得：，
解得：，
图中的值为；
设甲生产线生产小时，则乙生产线生产小时，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为，
．
答：这批运动套装最多是套． 

【解析】根据图中的数据，利用待定系数法，即可求出甲生产线生产的套装上衣件与工作时间小时的函数关系式；
利用生产效率生产总量生产时间，可求出乙生产线更换新设备前的生产效率，结合更换设备后生产效率是更换前的倍，可得出乙生产线更换新设备后的生产效率，再利用生产总量生产效率生产时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值；
设甲生产线生产小时，则乙生产线生产小时，根据生产一批上衣和裤子成套的运动套装的总损耗成本不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再将其最大值代入中，即可求出结论．
本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式；找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
解：，理由如下：
是半的直径，
，
，
，
，
平分，
，
；
解：如图，过点作于点，

，，
∽，
，
，
，，
或舍去，
在中，，
，，
，
，
即点到直线的距离为． 

【解析】连接，根据角平分线定义及等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质得出，则，根据切线的判定定理求解即可；
根据圆周角定理求出，根据平角的定义求出，结合得出，再根据角平分线的定义求解即可；
过点作于点，根据相似三角形的判定与性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求解即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形面积公式等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：把代入，
解得，
点的坐标是，
将代入，
解得，
抛物线的表达式为，
，，
顶点坐标为；
存在．
理由：将代入，
解得抛物线的解析式为，
令，解得或，
，
，
，
，
，
，
将代入，
解得，，
此时点的坐标为或，
将代入得，
，
此时不存在点．
综上所述，点的坐标为或时，的面积是面积的倍．
二次函数：的图象经过时，，解得，
二次函数：的图象经过时，，
；
若与直线只有一个交点时，方程组有一组实数解，
，
，
．
综上所述，与线段只有一个交点，的取值范围是或． 

【解析】把点代入二次函数：即可求得的值，由二次函数的性质可求出顶点坐标；
求出点坐标为，根据三角形面积关系可求出点的纵坐标，则可求出答案；
分两种情况讨论即可求得．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，解一元二次方程；解本题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想方法．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；

为定值，理由：连接，

由旋转性质知，
在和中，
，，
，
∽，
，
；

如图：

由知∽，
，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，三点共线．
，
，
；

如图：

由知∽，
，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，三点共线．
，
，
，
．
综上，当，，三点共线时，的长度为或．
由正方形性质知、，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理可得；
连接，只需证∽即可得；
分两种情况画出图形，证明∽，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．
本题是相似形综合题，主要看出来考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角形函数，作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．