人教版高中数学选择性必修第一册第一章1-4-1第2课时空间中直线、平面的垂直习题含答案

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第2课时　空间中直线、平面的垂直A级 必备知识基础练1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,A1P=λA1B1,C1C=3C1M.若PN⊥BM,则λ=(　　)A.12 B.13 C.23 D.342.(多选题)在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是(　　)A.PA·AB=0 B.PC·BD=0C.PC·AB=0 D.PA·CD=03. (多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(　　)A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC,MN都不垂直4.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=-1,y,12.若α⊥β,则x-y=　　　　. 5.已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则P的坐标为　　　　　. 6.在棱长为a的正方体OABC -O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.7.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.8.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.B级 关键能力提升练9.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　)A.337,-157,4 B.407,-157,4C.407,-2,4 D.4,407,-1510. 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为 (　　)A.8 B.4 C.82 D.85511.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　)A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的一个法向量D.AP∥BD12.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于　　　　　. 13.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.14.如图所示,在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD.(1)求证:CD⊥平面PAC.(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.C级 学科素养创新练15.如图,在三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在B1P上,则下列结论正确的是(　　)A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD第2课时　空间中直线、平面的垂直1.C　如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则P(λ,0,1),N12,12,0,B(1,0,0),M0,1,23,PN=12-λ,12,-1,BM=-1,1,23,所以PN·BM=λ-12+12-23=0,即λ=23.故选C.2.ABD　∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.故A,B,D都成立.3.AC　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).∴OM=(-a,-a,a),MN=(0,a,a),AC=(-2a,2a,0).∴OM·MN=0,OM·AC=0,∴OM⊥AC,OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直.4.-1　因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.5.(-1,0,2)　由题意得PA=(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),由PA⊥AB,得PA·AB=x-1+z=0,由PA⊥AC,得PA·AC=-2x-z=0,解得x=-1,z=2.故点P的坐标为(-1,0,2).6.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a).因为A1F·C1E=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以A1F⊥C1E,即A1F⊥C1E.7.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).∵CD·AE=-8+8+0=0,CD·AP=0,∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.8.证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则n1·EA=0,n1·CE=0,即3x1+y1-2z1=0,2z1=0,解得y1=-3x1,z1=0,n2·EA=0,n2·ED=0,即3x2+y2-2z2=0,2y2-z2=0,解得x2=3y2,z2=2y2.不妨取n1=(1,-3,0),n2=(3,1,2),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.9.B　∵AB⊥BC,∴AB·BC=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,则(x-1)+5y+6=0,3(x-1)+y-12=0,解得x=407,y=-157.10.D　以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).设M(4,a,b)(0≤a≤4,0≤b≤4),则D1M=(4,a,b-4),CP=(4,-4,2).∵D1M⊥CP,∴D1M·CP=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,∴M(4,a,2a-4),∴|BM|=(4-4)2+(a-4)2+(2a-4)2=5(a-125) 2+165,当a=125时,|BM|取最小值455,易知|BC|=4,∴S△BCM的最小值为455×4×12=855.故选D.11.ABC　∵AP·AB=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,∴AP⊥AB,故A正确;∵AP·AD=-4+4+0=0,∴AP⊥AD,∴AP⊥AD,故B正确;∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,∴AP是平面ABCD的一个法向量,故C正确;BD=AD-AB=(2,3,4),设BD=λAP,即2=-λ,3=2λ,4=-λ,方程组无解,故D错误.故选ABC.12.2　以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).由PQ·QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即当a=2时,点Q只有一个.13.解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1),A1B1=(0,1,0),A1P=(-1,1,a-1),DE=12,1,0,DC1=(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·A1B1=0,n1·A1P=0⇒y1=0,-x1+y1+(a-1)z1=0,令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2·DE=0,n2·DC1=0⇒12x2+y2=0,y2+z2=0,令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=12.故P0,1,12.14.解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)证明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),可得AP·CD=0,AC·CD=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(2)当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.证明如下:设E是侧棱PA的中点,则E0,0,12,BE=-1,0,12.设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则n·CD=0,n·PD=0,因为CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1),所以-x+y=0,2y-z=0,取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以n·BE=(1,1,2)·-1,0,12=0,所以n⊥BE.因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.15.D　以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D0,1,12,P(0,2,0),则A1B=(1,0,1),A1D=0,1,12,B1P=(-1,2,0),DB1=1,-1,-12.设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=x+z=0,n·A1D=y+12z=0.取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且B1Q=λB1P=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则DQ=DB1+B1Q=1-λ,-1+2λ,-12.因为DQ也是平面A1BD的一个法向量,所以n=(2,1,-2)与DQ=1-λ,-1+2λ,-12共线,则1-λ2=-1+2λ1=-12-2=14成立,所以1-λ2=-1+2λ,-1+2λ=14,但此关于λ的方程组无解.故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.