2022-2023学年山西省大同市第一中学校高一上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山西省大同市第一中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合，然后根据集合并集补集运算求解.

【详解】因为，，所以，因为，所以.

故选：D.

2．已知命题：“，”，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】将存在量词改为全称量词，结论中范围改为补集即可得解.

【详解】“，”的否定为“，”，

故选：.

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据二次根式的性质得到关于的不等式组，解出即可．

【详解】解：因为，所以，

解得：，故函数定义域为

故选：C．

4．若函数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式，从而求的值.

【详解】因为函数满足 ---①

所以 ---②

联立①②，得，解得，

∴

故选：A

5．已知实数，记，则(　　)

A． B． C． D．大小不确定

【答案】B

【分析】作差分解因式即可判断

【详解】作差比较，，所以，

故选 B

【点睛】本题考查比较大小，准确推理是关键，是基础题

6．已知，，，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先分别求出命题中的取值范围，再利用集合之间的关系，即可判断.

【详解】解：，，

故，

故，

令，

由，

解得：或，

令，

又，

故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

7．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

8．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集.

【详解】解： 对任意的，都有 ，

在上是增函数，

令，

则，

为偶函数，

在上是减函数，

且，

，

当时，，

即，解得：，

当时，，

即，解得：，

综上所述：的解集为：.

故选：A.

【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

二、多选题

9．下列与y=|x|为同一函数的是（    ）

A．y= B．y=()2 C．y= D．y=

【答案】AD

【分析】根据定义域、值域、对应关系判断出正确选项.

【详解】的定义域为，值域为.

A选项中，定义域、值域、对应关系都与相同，符合题意.

B选项中的定义域为，不符合.

C选项中的值域为，不符合.

D选项中定义域、值域、对应关系都与相同，符合题意..

故选：AD.

10．下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.

【详解】因为关于的不等式对恒成立，

当时，原不等式即为恒成立；

当时，不等式对恒成立，

可得，即，解得：.

当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，

综上：的取值范围为：.

所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有

或.

故选：BC.

11．已知，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.

【详解】解：对于A：由，，，则，

所以，解得，

所以，

所以当时，有最小值，故A正确．

对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，

所以的最大值是，故B正确；

对于C：由，，，则，所以，解得，

所以，因为，所以，

所以，所以，即，故C错误；

对于D：，

当且仅当，即，时取等号，故D错误；

故选：AB

12．，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中错误的是（    ）

A．， B．，

C．， D．函数的值域为

【答案】AB

【分析】结合的定义，对选项逐个分析，可选出答案.

【详解】对于A，，而，故A错误；

对于B，因为，所以恒成立，故B错误；

对于C，，，，所以，

当时，，此时；

当时，，此时，

所以，，故C正确；

对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确.

故选：AB.

三、填空题

13．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】把函数解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数的和的形式，由函数在为增函数得出，从而得到实数的取值范围．

【详解】解：函数，

由复合函数的增减性可知，若在为增函数，

，，

故答案为：．

14．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.当时，求函数的解析式__________.

【答案】

【分析】根据奇函数的定义即可求解.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；

当时，，则，

因为函数为奇函数，所以，则，

当时，上式也满足，

所以当时，函数的解析式为，

故答案为：.

15．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______．

【答案】9.

【分析】将题目所给不等式分离常数，利用基本不等式求得的最大值.

【详解】由得恒成立，而，故，所以的最大值为.

【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

16．若，，，，使则实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】原问题等价于g(x)的值域是f(x)值域的子集，据此即可求解﹒

【详解】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．

在上，二次函数的值域是，

单调递增的一次函数的值域是，

则，

则且，解得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，.

（1）求集合；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出集合后可得.

（2）由可得，就和分类讨论后可得实数的取值范围

【详解】（1），.

（2）因为，所以.

当时，，则；

当时，由题意得，

解得.

综上，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式组，要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.

18．已知函数是定义域为的奇函数，且

(1)求的值，并用函数单调性的定义来判断函数的单调性;

(2)解不等式.

【答案】(1)，在单调递增

(2)

【分析】（1）根据函数为奇函数得到，结合解得解析式，再利用定义法证明函数单调性得到答案.

（2）根据函数的奇偶性和单调性结合定义域得到，解得答案.

【详解】（1）函数为定义在上的奇函数，，又，

解得，

在上任取，且，

则

，

，即

函数在单调递增.

（2）为奇函数，，.

在单调递增，

，解得，

不等式的解集为.

19．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益销售金额政府专项补贴成本.

(1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；

(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】(1)，其中

(2)当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元

【分析】（1）计算出销售金额、成本，结合题意可得出的函数关系式，以及该函数的定义域；

（2）由结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.

【详解】（1）解：由题意可知，销售金额为万元，

政府补贴万元，成本为万元，

所以，，其中.

（2）解：由（1）可知，，

其中，                                    

当且仅当，即时取等号，                                        

所以，

所以当时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

即当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元.

20．设函数.

（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；

（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.

（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.

【详解】（1）据题意知，对于，有恒成立，

 即恒成立，因此 ，

设，所以，

函数在区间上是单调递减的，

，

（2）由对于一切实数恒成立，可得，  

由存在，使得成立可得，

，

，当且仅当时等号成立，

【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.