2022-2023学年山西省阳泉市第一中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省阳泉市第一中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】应用集合并运算求即可.

【详解】由题设.

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.

【详解】命题“，”为全称量词命题，

其否定为存在量词命题：，，

故选:C.

3．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出的取值范围即函数的定义域.

【详解】由题，，解得.

故选：    D.

4．已知＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，求出，进而可得，由此可求出的值

【详解】解：设，则，

所以，

所以，解得

故选：A

【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题

5．设，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由是的子集即可求解.

【详解】因为是的子集，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的单调性比较大小.

【详解】，，，

因为函数在上单调递增，

又，

所以，即，

故选：B．

7．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数是上的增函数，需要满足指数函数和一次函数都是增函数，且在分割点处函数值满足对应关系，据此列出不等式求解即可.

【详解】函数满足对任意的实数都有，

所以函数是上的增函数，

则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，

解得，

所以数的取值范围为

故选：.

【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，涉及指数函数的单调性，属综合基础题.

8．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.

【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，

即函数的定义域为，

又由函数当时，单调递减，

则不等式可化为，

可得不等式组，解得，即不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】求解函数不等式的方法：

1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，

具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.

2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

二、多选题

9．下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）

A． B．y=t+1 C． D．

【答案】BD

【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数.

【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.

函数的定义域是.

的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；

与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.

故选：BD．

10．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】举反例判断选项错误或使用不等式的性质证明选项正确即可.

【详解】对于A，若，且，，，则，，，故选项A错误；

对于B，若，且，，则，，，故选项B错误；

对于C，若，在的两边同时乘以正数，不等号方向不变，即，故选项C正确；

对于D，由可得，∴，故选项D正确.

故选：CD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．函数在上的值域为

B．函数的值域为

C．关于x的方程有解，则

D．当时，恒成立，则a的取值范围为

【答案】BC

【分析】A选项，分离常数后得到函数的单调性，从而求出值域；

B选项，换元法求解函数值域；

C选项，求出，从而得到；

D选项，参变分离后得到，分离常数，结合基本不等式求出的最小值，从而得到a的取值范围.

【详解】函数

因为在上单调递增，所以在上单调递增，

故，所以值域为，A错误；

令，则，

，

当时，取得最大值，最大值为，无最小值，

故函数的值域为，B正确；

令得：，故的定义域为，

故，

关于x的方程有解，则，

解得：，C正确；

恒成立，即恒成立，

因为，所以，

故，其中

，

当且仅当，即时，等号成立，

故，所以，

则a的取值范围为，D错误.

故选：BC

12．下列说法正确的有（    ）

A．若，则的最大值是

B．若都是正数，且，则的最小值是3

C．若，则的最小值是2

D．若，则的最小值是4

【答案】ABD

【分析】由结合基本不等式求最值判断A；由，令则原式等价于结合基本不等式求最值判断B；由结合基本不等式求最值判断C；由题设，再应用“1”的代换求的最值，即可判断D；注意最值取值条件.

【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A正确；

由，则，且，

令，则，，

所以原式为，当且仅当，即时等号成立，B正确；

由且，则，故，当且仅当时等号成立，

所以的最小值是4，C错误；

由题设，而，

又，当且仅当时等号成立，

所以，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．设函数，则______．

【答案】6

【分析】根据分段函数先求出，再求出即可.

【详解】解:由题知，，

所以 ，

所以.

故答案为:6

14．函数，且的图象恒过定点__________  .

【答案】

【分析】根据指数函数恒过的定点，结合目标函数解析式，即可求得结果.

【详解】令，解得，又当时，，

故函数，且的图象恒过定点.

故答案为：.

15．已知关于的一元二次不等式的解集为，则____．

【答案】0

【分析】先判断的正负，再由韦达定理解方程即可.

【详解】由解集可知：，又由韦达定理可得：，解得 ，所以.

故答案为：0.

16．已知函数对任意，都有成立．有以下结论：

①；②是上的偶函数；③若，则；

④当时，恒有，则函数在上单调递增．

则上述所有正确结论的编号是________

【答案】①③

【分析】对于①，通过赋值可得，①正确；

对于②，通过赋值可证为奇函数，②错误；

对于③，通过赋值可得，③正确；

对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证在上单调递减，④错误．

【详解】对于①令，则，解得，①正确；

对于②令，则，∴，∴是上的奇函数，②错误；

对于③令，则，∴，③正确；

对于④设，则，∴，

则，∴在上单调递减，④错误．

故答案为：①③．

四、解答题

17．（1）计算   ；

（2）求函数的最小值.

【答案】（1）（2）5

【分析】（1）由指数的运算性质求解，

（2）由基本不等式求解，

【详解】（1）

.

（2）因为，所以，

所以，

当且仅当即时取等号，此时取得最小值5

18．已知集合，或．

(1)若，求；

(2)，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)或.

【分析】（1）应用集合的并运算求即可；

（2）由题意，讨论、分别求a的范围，然后取并.

【详解】（1）由题设，而或，

所以或.

（2）由知：，

当时，可得，满足；

当时，且或，可得或.

综上，或.

19．已知幂函数在上是减函数.

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)（2，5）.

【分析】（1）根据幂函数的性质可求得的值.

（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数.

【详解】（1）解：由题意得：

根据幂函数的性质可知，即，解得或.

因为在上是减函数，所以，即，则.

故.

（2）由（1）可得，设，

则的定义域为，且在定义域上为减函数.

因为，所以

解得.

故的取值范围为（2，5）.

20．已知定义域为R的函数是奇函数．

(1)求a，b的值．

(2)判断函数的单调性，并用定义证明．

(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，．

(2)在上为减函数，证明见解析．

(3)．

【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案；

（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；

（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.

【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，

∴，又∵，即，∴．

则，由，

则当，原函数为奇函数．

（2）由（1）知，

任取，设，则，

因为函数在R上是增函数，，∴．又，

∴，即，∴在上为减涵数．

（3）因是奇函数，从而不等式：，

等价于，

因为减函数，由上式推得：．

即对一切有：恒成立，设，

令，则有，

∴，

∴，即k的取值范围为．

21．某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？

(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；

(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

【答案】(1)

(2)

(3)元

【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解；

（2）根据题意求分段函数解析式；

（3）根据利润公式及分段函数入代求解即可.

【详解】（1）解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，

则.

（2）当时，；

当时，；

当时，.

（3）设工厂获得的利润为元，则，

即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.

22．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.

（1）当时，求的解析式；

（2）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）先由奇函数的性质得，可求出，再根据即可求出；

（2）方程等价于，根据函数的单调性求出的取值范围即可.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，且当时，，

，解得，

当时，.

则当时，，

，

，.

（2）由（1）知，当时，，

可化为，

整理得.

令，根据指数函数的单调性可得，在是增函数.

，又关于x的方程在上有解，

故实数m的取值范围是.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.