2023-2024学年山西省大同市部分学校高一上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省大同市部分学校高一上学期12月月考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.角2024∘的终边在
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知全集U=x∈N−1≤x≤3，集合A满足∁UA=1,3，则A=( )
A. 0,2B. −1,2C. −1,0,2D. −1,0
3.“a>2”的一个必要不充分条件是
( )
A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. [3,+∞)D. (3,+∞)
4.函数fx= 1−lnxx−1的定义域为
( )
A. e,+∞B. 1,eC. −∞,1D. 0,1∪1,e
5.设a=3727，b=2737，c=2727，则a，b，c的大小关系是
( )
A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a
6.已知幂函数fx的图象过点8, 24，则fx−2x2的定义域为
( )
A. 0,2B. 0,12C. 0,2D. 0,12
7.函数fx=lgax+10( )
A. B.
C. D.
8.一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测
( )
A. 4次B. 6次C. 7次D. 50次
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上是增函数的是
( )
A. y=lnx2+1B. y=x3C. y=3x2D. y=3−x
10.下列说法错误的是( )
A. 函数y=xx与函数y=1表示同一个函数
B. 若fx是一次函数，且ffx=16x+5，则fx=4x−1
C. 函数fx的图象与y轴最多有一个交点
D. 函数y=1x+1在−∞,−1∪−1,+∞上是单调递减函数
11.已知y=1xx>0，则
( )
A. x+ y的最小值为2B. 2x8y的最大值为4 3
C. x2+9y2的最小值为2 3D. yx−y的最小值为−14
12.设函数f(x)=12x2+2x+2,x⩽0lnx,x>0若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1( )
A. x1x2>4B. 02D. 1e2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为______________．
14.函数fx=3x−2的零点为______．
15.已知fx是定义域为R的奇函数，且当x>0时，fx=lg22x−1，则f−2+f0=______．
16.已知函数fx=amx+1+n−3a(其中m，n∈R，a>0且a≠1)的图象恒过定点2,1，若f1= 2，则fm+n2=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知x+x−1=3，求x12+x−12x2+x−2的值；
(2)计算： 2×336−lg25−lg4−7lg72− (π−3)2．
18.(本小题12分)
已知函数fx=x−ax(a是常数)．
(1)判断fx的奇偶性，并说明理由；
(2)若f1=2，试判断函数fx在1,+∞上的单调性，并证明．
19.(本小题12分)
已知fx是二次函数，且f0=1，fx+1−fx=2x．
(1)求fx的解析式；
(2)求fx在区间0,t上的最大值．
20.(本小题12分)
已知函数fx=2x2−a+3x+a，a∈R．
(1)是否存在实数a，使fx>0恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)若关于x的方程fx=1有两个正实数根x1，x2，求x2x1+x1x2的最小值．
21.(本小题12分)
深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为Ln=L0DnG0n∈N，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型L0=12，G0=18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为25．
(1)求该学习率模型的表达式；
(2)要使学习率衰减到15以下(不含15)，至少需训练迭代多少轮？(参考数据lg2≈0.3010)
22.(本小题12分)
已知函数fx=a⋅3x+b⋅3−xa,b∈R为偶函数．
(1)证明：fa−b=a+b；
(2)当f0>0时，解关于x的不等式f2x>f12x−2x．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，由 2024∘=360∘×5+224∘ 即可得到结果．
解：因为 2024∘=360∘×5+224∘ ，
且 180∘<224∘<270∘ ，
所以角 2024∘ 的终边在第三象限.故选：C
2.【答案】A
【解析】【分析】根据自然数集的定义求出全集，结合补集的概念和运算即可求解．
解：由题意知， U={0,1,2,3} ，
由 ∁UA={1,3} ，得 A={0,2} ．
故选：A
3.【答案】A
【解析】【分析】根据集合包含关系即可判断．
解：因为 (2,+∞) ⫋ 2,+∞ ，所以 [2,+∞) 为“ a>2 ”的一个必要不充分条件，A正确，
而B显然为充要条件，
[3,+∞) ⫋ (2,+∞) ， (3,+∞) ⫋ (2,+∞) ，故CD为充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可．
解：要使函数有意义，即满足 1−lnx≥0x−1≠0 ，解得 0所以函数 fx= 1−lnxx−1 的定义域为 0,1∪1,e ，
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小．
解：由 fx=27x 在定义域上单调递减，所以得： c=2727>b=2737 ，
由 gx=x27 在定义域上单调递增，所以得： a=3727>c=2727 ，
即： a>c>b .故A项正确．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【 分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可．
解： ∵fx 是幂函数， ∴ 设 fx=xm ，将 8, 24 代入解析式，
得 8m= 24 ，解得 m=−12 ，故 fx=x−12=1 x ，则 fx−2x2=1 x−2x2 ，
故 x−2x2>0 ，解得 x∈0,12
故选：B
7.【答案】D
【解析】【分析】利用函数零点判断即可．
解：令 fx=lgax+1=0 ，得 x=±1a ，所以函数的零点为 ±1a ，又 01 或 −1a<−1 ，D选项符合
故选：D
8.【答案】C
【解析】【分析】由题意，根据二分法的思想，即可得出结论．
解：第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；
第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；
第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；
第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；
第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第七次，可去掉1个结果，得到最终结果．
所以最多需要检测7次．
故选：C
9.【答案】AC
【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断．
解：对于A，y=lnx2+1定义域为xx≠0，
当x>0时，y=lnx2+1=2lnx+1在0,+∞上是增函数，
又f−x=lnx2+1=fx，所以是偶函数，故 A对；
对于B，由f−x=−x3=−fx，y=x3定义域为R且为奇函数，不符合题意；故B错；
对于C，y=3−x2=3x2，所以y=3x2是偶函数，在0,+∞上是增函数，故 C正确；
对于D，y=3−−x=3−x，所以y=3−x是偶函数，在0,+∞上是减函数，故 D错．
故选：AC
10.【答案】ABD
【解析】【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数f(x)的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D．
解：A：函数y=xx的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，函数y=1的定义域为R，
所以这两个函数不表示同一个函数，故A符合题意；
B：设f(x)=kx+b(k≠0)，则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，
又f(f(x))=16x+5，所以k2=16kb+b=5，解得k=4b=1或k=−4b=−53,
所以f(x)=4x+1或f(x)=−4x−53，故 B符合题意；
C：由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，故C不符合题意；
D：函数y=1x+1在(−∞,−1),(−1,+∞)上是单调递减函数，故 D符合题意．
故选：ABD
11.【答案】AD
【解析】【分析】根据基本不等式的应用即可判断ABC；yx−y=(1x−12)2−14，根据二次函数的性质即可判断D．
解：A： x+ y= x+1 x≥2 x⋅1 x=2，
当且仅当 x=1 x即x=1时等号成立，所以 x+ y的最小值为2，故A正确；
B：2x⋅8y=2x+3y=2x+3x≥22 x⋅3x=22 3=4 3，
当且仅当x=3x即x= 3时等号成立，所以2x⋅8y的最小值为4 3，故 B错误；
C：x2+9y2=x2+9x2≥2 x2⋅9x2=6，
当且仅当x2=9x2即x= 3时等号成立，所以x2+9y2的最小值为6，故C错误；
D：yx−y=1x2−1x=(1x−12)2−14，
当1x=12即x=2时，yx−y取到最小值−14，故 D正确．
故选：AD
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数，函数零点、方程的根问题，考查数形结合思想，属于中档题．
利用函数图象的交点解决方程的实数解问题，利用函数的性质求表达式的取值范围．
【解答】
解：如图，作出函数f(x)的图象，
由题意，直线y=a与f(x)的图象有4个交点，由图象可知0且x1+x2=−4，−2即x3x4=1，则x1x2=(−4−x2)x2∈[0,4)，x3+x4>2 x3x4=2．
当f(x4)=f(0)=2时，lnx4=2，x4=e2，又0故选BC．
13.【答案】3
【解析】【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解．
解：由题意可得：扇形的面积为 12×3×2=3 ．
故答案为：3．
14.【答案】lg32
【解析】【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果．
解：令 fx=3x−2=0 ，则 3x=2 ，即 x=lg32 ，
所以函数 fx=3x−2 的零点为 lg32 ．
故答案为： lg32
15.【答案】−1
【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合解析式，代入即可．
解：由 fx 是定义域为 R 的奇函数，所以 f−x=−fx ，得 f0=0 ，
f−2=−f2=−lg24−1=−1 ，所以 f−2+f0= −1
故答案为： −1
16.【答案】 22
【解析】【分析】根据指数幂的性质可得 m=−12 ， n=3 ，根据 f1= 2 可得 a=2 代入求解．
解：由于 fx=amx+1+n−3a 的图象恒过定点 2,1 ，所以 2m+1=0 ，且 f2=a2m+1+n−3a=1 ，故 m=−12 且 n−3a=0 ，
由于 a>0 ，所以 n=3 ，
又 f1= 2 ，即 f1=a12= 2 ，故 a=2 ，
因此 fx=2−12x+1 ，故 fm+n2=f252=2−142=2−12= 22 ，
故答案为： 22
17.【答案】解：(1)因为 x+x−1=3 ，可得 x>0 ，
则 (x12+x−12)2=x+x−1+2=3+2=5 ，可得 x12+x−12= 5 ，
又由 x2+x−2=(x+x−1)2−2=32−2=7 ，
所以 x12+x−12x2+x−2= 57 ．
(2)由 2×336−lg25−lg4−7lg72− (π−3)2 =( 2)6⋅(33)6−(lg25+lg4)−2−(π−3)
=8×9−lg100−2−(π−3)=72−2−2−π+3=71−π ．

【解析】【分析】(1)根据题意，结合 (x12+x−12)2=x+x−1+2 和 x2+x−2=(x+x−1)2−2 ，代入即可求解；
(2)根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解．
18.【答案】解：(1)fx 是奇函数，理由如下：
fx=x−ax 的定义域为 −∞,0∪0,+∞ ，关于原点对称，
则 f−x=−x−a−x=−x+ax=−x−ax=−fx ，
故 fx 是奇函数；
(2)fx 在 1,+∞ 单调递增，证明如下：
若 f1=2 ，则 f1=1−a=2 ，则 a=−1 ，
故 fx=x+1x ，
设 x1,x2∈1,+∞ ，且 x1则 fx1−fx2=x1+1x1−x2+1x2=x1−x2+1x1−1x2
=x1−x21−1x1x2
因为 11 ， 1−1x1x2>0 ，
故 fx1−fx2<0 ，
即 fx1所以 fx 在 1,+∞ 单调递增．

【解析】【分析】(1)求出定义域，利用定义判断 fx ；
(2)利用 f1=2 ，求出 a 的值，设 x1,x2∈1,+∞ ，且 x119.【答案】解：(1)根据题意，设 fx=ax2+bx+c(a≠0) ，
因为 f0=1 ，可得 c=1 ，即 fx=ax2+bx+1 ，
又由 fx+1=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+a+b+1 ，
且 fx+2x=ax2+(b+2)x+1 ，
又因为 fx+1−fx=2x ，即 fx+1=fx+2x ，
所以 ax2+(2a+b)x+a+b+1=ax2+(b+2)x+1 ，
可得 2a+b=b+2a+b+1=1 ，解得 a=1,b=−1 ，所以 fx=x2−x+1 ．
(2)由(1)知 fx=x2−x+1=(x−12)2+34 ，
可得函数 fx 的图象开口向上，且对称轴为 x=12 ，所以 f0=f1 ，
当 0f1 ，
所以函数 fx 在区间 0,t 上的最大值为 f0=1 ；
当 t≥1 时，根据二次函数的对称性，可得 ft≥f0 ，
所以函数 fx 在区间 0,t 上的最大值为 ft=t2−t+1 ，
综上可得，当 0
【解析】【分析】(1)设 fx=ax2+bx+c ，由 f0=1 ，求得 c=1 ，再由 fx+1−fx=2x ，列出方程组，求得 a=1,b=−1 ，即可求得函数 fx 的解析式；
(2)由(1)知 fx=(x−12)2+34 ，结合二次函数的性质，即可求解．
20.【答案】解：(1)若 fx>0 恒成立，即 2x2−a+3x+a>0 对于一切实数 x 均成立，
故 Δ=−a+32−8a<0 ，化简得 a−12+8<0 ，显然不成立，
故不存在实数a，使 fx>0 恒成立，
(2)fx=2x2−a+3x+a=1 的两个正实数根 x1 ， x2 ，则 x1+x2=a+32>0x1x2=a−12>0Δ=−a+32−8a−1≥0 ，解得 a>1 ，
x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=x2+x12−2x1x2x1x2=a+322a−12−2=12a+32a−1−2=12a−1+16a−1+8−2 ，由于 a>1 ，所以 x2x1+x1x2=12a−1+16a−1+2≥12×2 a−1⋅16a−1+2=6 ，
当且仅当 a−1=16a−1 ，即 a=5 时等号成立，
故 x2x1+x1x2 最小值为6．

【解析】【分析】(1)根据判别式即可求解，
(2)根据根与系数的关系，即可基本不等式即可求解．
21.【答案】解：(1)由条件可得，指数衰减的模型为 Ln=12Dn18 ，
当 n=18 时， Ln=25 ，代入可得 25=12D1818 ，解得 D=45 ，
所以该学习率模型的表达式 Ln=12×45n18
(2)由学习率衰减到 15 以下(不含 15 )，可得 12×45n18<15 ，
即 45n18<25 ，所以 n18>lg4525 ，即 n>18lg4525
18lg4525=18×lg25lg45=18×lg2−lg52lg2−lg5=18×lg2−1−lg22lg2−1−lg2=18×2lg2−13lg2−1≈73.9 ，
所以 n>73.9 ，则 n=74 ，即至少需训练迭代74轮．

【解析】【分析】(1)根据题意，将 n=18 时， L0=25 代入计算，即可得到结果．
(2)根据题意，由条件列出不等式，结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果．
22.【答案】解：(1)由题意知，函数 f(x) 为偶函数，则 f(−x)=f(x) ，
得 a⋅3−x+b⋅3x=a⋅3x+b⋅3−x ，
即 (a−b)(3x−3−x)=0 对于 x∈R 恒成立，所以 a=b ．
所以 f(a−b)=f(0)=a⋅30+b⋅3−0=a+b ，
即证．
(2)由 f(0)>0 ，得 f(0)=a+b>0 ，由(1)知 a=b ，则 a>0,b>0 ，
任取 0f(x1)−f(x2)=a⋅3x1+b⋅3−x1−a⋅3x2−b⋅3−x2=(3x1−3x2)(a−b3x1⋅3x2) ，
因为 00,b>0 ，所以 3x1−3x2<0 ，
又 3x1>30=1,3x2>30=1 ，则 3x1⋅3x2>1 ，得 0即 00 ，
故 f(x1)−f(x2)=(3x1−3x2)(a−b3x1⋅3x2)<0 ，即 f(x1)所以函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，在 (−∞,0) 上单调递减，
由 f(2x)>f(12x−2x) ，得 2x>12x−2x ，又 2x>0 ，所以 12x−2x<2x ，
即 −2x<12x−2x<2x ，解得 x>−12 ，
故原不等式的解集为 (−12,+∞) ．

【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性可得 (a−b)(3x−3−x)=0 对于 x∈R 恒成立，则 a=b ，即可求解；
(2)由题意和(1)可得 a>0,b>0 ，利用定义法证明函数 f(x) 的单调性，结合函数的奇偶性建立不等式，解之即可求解．