山西省大同市平城中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份山西省大同市平城中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省大同市广灵县平城中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数定义域的求解，以及简单二次不等式的求解，解得集合，再根据集合的补运算和交运算，即可求得结果.
【详解】因为，
或，
故，则.
故选：A.
2. 已知复数满足，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得复数z，然后求解其共轭复数并确定模即可.
【详解】由题意可得：，
则.
故选A.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加法和减法运算，线性表示向量，可得选项.
【详解】如图，∵，
∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.
故选：C.

【点睛】本题考查向量的线性表示，属于基础题.
4. 已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆锥底面半径为，高为，根据圆锥的侧面积求出，再由勾股定理求出，最后代入体积公式，即可得到答案；
【详解】设圆锥底面半径为，高为，
，
，
，
故选：D
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用“1”和“0”即可比较大小.
【详解】因为 为增函数，为减函数，
所以，
因为为上的减函数，
所以，
所以，
故选：A
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了利用“1”比较大小的方法，属于中档题.
6. 满足，，的恰有一个，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得或时，满足的三角形恰有一个，解不等式可得.
【详解】解：如图，由题意得，或时，满足的三角形恰有一个，
解得或，
故选：D

【点睛】此题考查三角形解的个数的判断，数形结合是解决此题的关键，属于基础题.
7. 已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据球与正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高，继而求得外接球半径，即可求得答案.
【详解】因为球的体积为，所以球的半径为1，
又球与正三棱柱的所有面都相切，
所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，棱柱高为2，
设正三棱柱的外接球的球心为O，底面内切圆的圆心为,
设的中点为D，则在上，且,

又,则三棱柱外接球的半径为，
即外接球的表面积为,
故选：B
8. 关于函数，下列叙述有误的是
A. 其图象关于直线对称
B. 其图象关于点对称
C. 其值域是[－1,3]
D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦函数图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出．
【详解】当时，，为函数最小值，故A正确；
当时，，，所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；函数的值域为[－1,3]，显然C正确；图象上所有点的横坐标变为原来的得到，故D正确．综上，故选B．
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中是假命题的为（ ）
A. 已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B. 若，共线，则
C. 已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D. 若，，三点共线，则
【答案】AB
【解析】
【分析】A中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断A的真假；B中，共线向量不一定相等，判断B的真假；C中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断C的真假；D中，由三点共线的性质可判断D的真假．
【详解】A中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底，所以A不正确；
B中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以B不正确；
C中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；
D中，由题得得，，即，
即，即，所以D正确；
故选：AB．
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 已知幂函数的图象过点，则
B. ，
C. 函数过定点
D. 时，的最小值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A：根据函数是幂函数和函数的图象过点，可求得，由此可判断；
对于B：由，可判断；
对于C：因为当时，，可判断；
对于D：由，可判断．
【详解】对于A：因为函数是幂函数，所以，又函数的图象过点，所以，，所以，故A正确；
对于B：因为，所以B正确；
对于C：因为当时，，所以函数过定点，故C正确；
对于D：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故D不正确；
故选：ABC．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为 B. 三个内角，，满足
C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；
对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列；
对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值；
对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解．
【详解】由正弦定理可得．
设
，
解得的周长为，故A正确；
由余弦定理得，，
故B正确；
由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；
由中线定理得，即，
，故D错误．
故选:ABC．
12. 已知函数，函数满足.则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 若实数、满足，则
D. 若函数与图象的交点为、、，则
【答案】AC
【解析】
【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；分析函数的单调性，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，对任意的，，
所以，函数的定义域为，

，
所以，，A对；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，B错；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，即，
所以，函数为奇函数，
当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，
因为实数、满足，则，可得，即，C对；
对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称，
由于函数与图象的交点为、、，
不妨设，若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，
所以，，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，
则，，故，D错.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设向量，，若向量与同向，则_________；
【答案】2
【解析】
【分析】向量与同向，则向量平行，代入公式计算
【详解】向量与同向

解得
向量与同向，则
故答案：
14. 如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰长为，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于________．

【答案】
【解析】
【分析】画出原图，由此计算出原图的面积.
【详解】直观图中，作，
等腰梯形中，，
所以.

原图如下图所示：

其中，
所以原图的面积为.
故答案为：
15. 如果复数满足，那么的最小值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】由的几何意义得对应复平面的点的轨迹为线段，再由的几何意义为复平面内点到点的距离，数形结合即可求出最小值.
【详解】
设，则的几何意义为复平面内点到点及点的距离和为2，
又，设点和点，则点的轨迹为线段，
又的几何意义为复平面内点到点的距离，
设，结合图像可知，当时，的最小值为1.
故答案为：1.
16. 在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可.
【详解】
如图示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、
不妨设
则
∴
∴的最小值为，当且仅当时取得.
故答案：
【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；
(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知复数的共轭复数是，是虚数单位，且满足.
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设复数，则，代入足，整理后利用复数相等的条件列式求得，值，则可求；
（2）由（1）得，，再由实部与虚部都大于0列不等式组求解．
【详解】解：（1）设复数，则，
于是，即，
，解得，故；
（2）由（1）得，，
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
，解得.实数取值范围是.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
18. 已知向量，，.
（1）求向量与夹角的正切值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得，然后根据范围可知，最后可知
（2）依据直接计算即可.
【详解】（1）因为，所以.
设向量与的夹角，则
，解得.
又，所以，故.
（2）因为，所以，
即，解得.
19. 在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
20. 如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：

（1），，，四点共面；
（2）与的交点在直线上．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面．
（2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上．
【小问1详解】
：：：，，
，分别为，的中点，，，
，，，四点共面．
【小问2详解】
、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，，
与的交点在直线上．
21. 已知向量，，
（1）求在方向上的投影向量的坐标；
（2））若向量，求实数的值；
（3）若向量，满足，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）由投影向量公式可直接求得结果；
（2）利用平面向量共线的坐标表示可构造方程求得结果；
（3）利用向量相等可构造方程求得，根据模长坐标运算可求得结果.
【详解】（1）在方向上的投影向量为：；
（2），，又，
，解得：；
（3），即，
，解得：，.
22. 已知的内角的对边分别为，且，
（1）若点在边上，且，求的面积；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式与诱导公式可得，
再利用正弦定理可得，由余弦定理可得，从而利用三角形面积公式可得结果；
（2）由余弦定理可得，结合求得，
由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，从而可得结果.
【小问1详解】
在中，，则由正弦定理得，，

， 即，
．由得，．
又由，得，
由正弦定理可得，即，
，由余弦定理有，解得：，
．
【小问2详解】
由知，，得，
又，，．
由正弦定理得，则，，
由为锐角三角形，则，得，
，即的取值范围为.