2023年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. -32的值等于( )
A. -9B. 9C. 6D. -6
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
3. 下列计算正确的是( )
A. 2+3=5B. 22+32=52
C. 2×3=5D. 22×32=62
4. 下列说法正确的是( )
A. “清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 两组身高数据的方差分别是S甲2=0.01，S乙2=0.02，那么乙组的身高比较整齐
D. 一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
5. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=( )
A. 100°
B. 72°
C. 64°
D. 36°
6. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N.若直线BA'交直线CD于点O，BC=11，EN=2，则FO的长为( )
A. 33B. 233C. 433D. 533
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 因式分解：2x3-8x=______．
8. 函数y=x-4中，自变量x的取值范围为______．
9. 2022年4月2日，海陵区对封控区、管控区、防范区内全部人员进行了第三轮核酸检测，共采样约343000人，检测结果均为阴性．将数据343000用科学记数法表示为______．
10. 已知方程x2-2x-2=0的两根分别为x1，x2，则x12-x22+4x2的值为 ．
11. 已知关于x的方程2x-mx-1=1的解是正数，则m的取值范围为______．
12. 一个口袋中装有2个红球、1个白球，现小明和小丽用两种不同的方法从袋中随机摸球．小明从袋中一次性随机摸取2个球，都是红球的概率记为P1；小丽先从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出1个球，两次都是红球的概率记为P2.则P1与P2的大小关系是P1______P2(填“>”、“<”或“=”)．
13. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=16cm，C，D两点之间的距离为10cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是______cm2(结果保留π)．
14. 定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数，下面给出特征数为[m,1-m,2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m>0时，函数有最小值；④如果m<0，当x<12时，y随x的增大而增大，其中所有正确结论的序号是 ．
15. 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接DE、BD，延长CB到点F，使BF=CE，过点E作EG⊥BD于点G，连接FG.若DE=43，则FG的长为______．
16. 如图，在Rt△OAB中，∠OBA=90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC=5，CE=2，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象经过点E，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共110.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)计算：(-13)-2-|3-3|+2sin30°-(π-2023)0；
(2)化简：(a2-4a2-4a+4-12-a)÷2a2-2a．
18. (本小题10.0分)
某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目，满分为10分．有关部门为提前了解明年参加初中毕业升学考试的男生的“引体向上”水平，在全市八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的“引体向上”水平进行测试，并将测试结果绘制成如下统计图表(部分信息未给出)：
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
抽取的男生“引体向上”成绩统计表
(1)填空：m=______，n=______．
(2)求扇形统计图中D组的扇形圆心角的度数；
(3)目前该市八年级有男生3600名，请估计其中“引体向上”得零分的人数．
19. (本小题8.0分)
某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
(1)如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为______；
(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回)，求小芳获得2份奖品的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
20. (本小题10.0分)
如图，在下列6×6网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A(0,4)、B(4,4)、C(4,0)，E(4,3)都是格点．
要求在图中仅用无刻度的直尺作图在x轴上找点F，使AE平分∠BEF
操作如下：
第一步找格点M，连接AM，使AM⊥AE，写出点M的坐标为______
第二步：找格点G，连接EG，使AG平分∠MAE，写出点G的坐标为(______，______)
第三步：AG交x轴于F，连EF，则AE平分∠BEF．
请你按步骤完成作图，并说明理由．
21. (本小题12.0分)
如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=130mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果保留小数点后一位)
(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．(参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈1.732)
22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD平分∠ABC，经过点B、C的⊙O交BD于点E，连接OE交BC于点F，OF⊥BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB=BC，BD=1655，tan∠CBD=12，求⊙O的半径．
23. (本小题12.0分)
2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比(1)中的最高售价减少了2a元，月销量比(1)中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
24. (本小题12.0分)
如图，动点P在函数y=3x(x>0)的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y=-1x的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
(1)直接写出点P、A、B的坐标(用a的代数式表示)；
(2)点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
(3)在平面内有一点Q(13,1)，且点Q始终在△PAB的内部(不包含边)，求a的取值范围．
25. (本小题12.0分)
已知正方形ABCD中，点E是线段BC上的动点(不包含端点)，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°．
(1)如图1，若BE=DQ，请直接写出图中与∠AEQ相等的两个角；
(2)如图2，点E在BC上运动的过程中，图中有几个角始终与∠AEQ相等？请选择其中的一个予以证明；
(3)若正方形ABCD的边长为3，BE=x，设点P到直线EQ的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
26. (本小题12.0分)
抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)交x轴正半轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴正半轴于C；
(1)如图①，连接AC，BC，若△ABC的面积为3，
①求抛物线的解析式；
②抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB≤45°？若存在，求出P点横坐标的取值范围；
(2)如图②，若Q为B点右侧抛物线上的动点，直线QA、QB分别交y轴于点D，E，判断CD：DE的值是否为定值．说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：-32=-9，
故选：A．
利用有理数的乘方判断．
本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．
2.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
3.【答案】B
【解析】解：A．2+3无法合并，故此选项不合题意；
B.22+32=52，故此选项符合题意；
C.2×3=6，故此选项不合题意；
D.22×32=12，故此选项不合题意；
故选：B．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意，
是必然事件的是：一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5，符合题意，
故选：D．
根据一定会发生的事件为必然事件，依次判断即可得出结果．
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法，比较简单．
5.【答案】C
【解析】解：连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=28°，
∴∠OAB=64°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=64°，
故选：C．
连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：连接AA'，如图：

由题意得：EN为△ABM的中位线，
∴AM=2EN=4，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AA'=A'B，AE=BE=DF=CF=12AB，EF=BC=11，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，
∴A'B=AB=AA'，∠ABM=∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA'=∠BA'A=∠A'AB=60°，
又∵∠ABC=∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠A'BM=∠A'BC=30°，
∴AB=3AM=43，
∴BE=23，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/EF，AB/​/CD，
∴∠AMB=∠A'NM，
∴∠A'NM=∠A'MB，
∴A'N=A'M=4，
∴A'E=EN+A'N=6，
∴A'F=EF-A'E=5，
∵AB/​/CD，
∴△OA'F∽△BA'E，
∴FOBE=A'FA'E=56，
∴FO=56BE=533，
故选：D．
连接AA'，由中位线定理可得AM=4，再证△ABA'为等边三角形，得∠ABM=30°，从而求出AB、BE的长，然后证△OA'F∽△BA'E，即可解决问题．
考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质得知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键．
7.【答案】2x(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】
先提公因式2x，分解成2x(x2-4)，而x2-4可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2)．
故答案为2x(x+2)(x-2)．
8.【答案】x≥4
【解析】解：根据题意得x-4≥0，
解得：x≥4．
故答案是：x≥4．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，据此即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围，初中范围内一般要考虑三种情况：1、分母不等于0；2、二次根式被开方数是非负数；3、0的0次幂或负指数次幂无意义．
9.【答案】3.43×105
【解析】解：将343000用科学记数法表示为：3.43×105．
故答案是：3.43×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】4
【解析】解：∵方程x2-2x-2=0的两根分别为x1，x2，
∴x12=2x1+2，x22=2x2+2，x1+x2=2，
∴x12-x22+4x2
=(2x1+2)-(2x2+2)+4x2
=2(x1+x2)
=2×2
=4．
故答案为：4．
利用一元二次方程解的定义得到x12=2x1+2，x22=2x2+2；然后由根与系数的关系求得x1+x2=2；最后代入所求的代数式求值即可．
本题考查了根与系数的关系，掌握将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是关键．
11.【答案】m>1且m≠2
【解析】解：分式方程去分母得：2x-m=x-1，
解得：x=m-1，
由分式方程的解为正数，得到m-1>0，且m-1≠1，
解得：m>1且m≠2，
故答案为：m>1且m≠2．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数得到x大于0且x不等于1，即可确定出m的范围．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始终注意分母不为0这个条件．
12.【答案】<
【解析】解：小明从袋中一次性随机摸取2个球，所有等可能结果如下表所示：
由表知，共有6种等可能结果，其中都是红球的有2种结果，
所以都是红球的概率P1=26=13；
小丽先从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出1个球，所有等可能结果如下表所示：
由表知，共有9种等可能结果，其中两次都是红球的有4种结果，
所以两次都是红球的概率P2=49；
∴P1故答案为：<．
列表得出两种情形下所有等可能结果，再从表格中找到两球的颜色均为红色的结果数，继而根据概率公式求解即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】96π
【解析】解：如图，连接CD．
∵AC=BD，OA=OB，
∴OC=OD
∵OC=OD，∠O=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=OD=CD=10cm，
∴OA=26cm，
∴S阴=S扇形OAB-S扇形OCD=60π×262360-60π×102360=96π(cm2)，
故答案为：96π．
首先证明△OCD是等边三角形，求出OC=OD=CD=10cm，再根据S阴=S扇形OAB-S扇形OCD，求解即可．
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
14.【答案】①②③④
【解析】解：由特征数的定义可得：特征数为[m,1-m,2-m]的二次函数的表达式为y=mx2+(1-m)x+2-m．
∵此抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1-m2m=m-12m，
∴当m=1时，对称轴为直线x=0，即y轴．故①正确；
∵当m=2时，此二次函数表达式为y=2x2-x，令x=0，则y=0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m>0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m<0，
∴对称轴x=m-12m=12-12m，抛物线开口向下，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
即x<12-12m时，y随x的增大而增大．
而12<12-12m，
∴当x<12时，y随x的增大而增大，故④正确．
故答案为：①②③④．
根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为y=mx2+(1-m)x+2-m.①写出对称轴方程后把m=1代入即可判断；②把m=2代入即可判断；③根据开口方向即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础．
15.【答案】26
【解析】解：连接AF，AG，CG，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCE=∠ABC=∠ABF=90°，DC=AB，∠ABD=∠CBD=45°，
在△DCE和△ABF中，
DC=AB∠DCE=∠ABFCE=BF，
∴△DCE≌△ABF(SAS)，
∴AF=DE=43，
在△ABG和△CBG中，
AB=CB∠ABD=∠CBDBG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)，
∴AG=CG，∠BAG=∠BCG，
∵EG⊥BD，
∴∠BGE=90°，
∴∠BEG=∠EBG=45°，
∴∠CEG=∠FBG=135°，EG=BG，
在△CEG和△FBG中，
EG=BG∠CEG=∠FBGCE=FB，
∴△CEG≌△FBG(SAS)，
∴CG=FG，∠ECG=∠BFG，
∴AG=FG，∠BAG=∠BFG，
∵∠AOG=∠FOB，
∴∠AGO=∠ABF=90°，
∴△AGF为等腰直角三角形，
∴FG=AG=22AF=22×43=26．
故答案为：26．
连接AF，AG，CG，结合正方形的性质证明△DCE≌△ABF可求得AF=43，证明△ABG≌△CBG，△CEG≌△FBG可证得△AFG为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，证明△AGF为等腰直角三角形是解题的关键．
16.【答案】185
【解析】解：过点C作CF⊥OD，垂足为F，延长CF交OA于点G，过点E作EH⊥OA，垂足为H，
∵AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，∠OBA=90°，
∴∠EOA+∠EAO=12(∠BOA+∠BAO)=12(180°-90°)=45°=∠CEF，
在Rt△CEF中，∠CEF=45°，CE=2，
∴CF=EF=22×2=1，
在Rt△COF中，OC=5，CF=1，
∴OF=OC2-CF2=2，
在Rt△OCF和Rt△OGF中，
∵∠OFC=∠OFG=90°，OF=OF，∠COF=∠GOF，
∴Rt△OCF≌Rt△OGF(ASA)，
∴OG=OC=5，FC=FG=1，
∵∠OFG=90°=∠OHE，∠FOG=∠HOE，
∴△FOG∽△HOE，
∴S△FOGS△HOE=OG2OE2=(5)2(2+1)2=59，
又∵S△FOG=12×1×2=1，
∴S△HOE=12|k|=95，
∴k=185(取正值)，
故答案为：185．
通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为45°，求出∠CEF=45°，在Rt△CEF中根据特殊锐角三角函数值可求出CF、EF，在Rt△COF中，根据勾股定理求出OF，再根据△FOG∽△HOE，得出S△FOGS△HOE=OG2OE2=(5)2(2+1)2=59，进而求出S△HOE=95，最后根据反比例函数系数k的几何意义求出结果即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出△HOE的面积是解决问题的前提．
17.【答案】解：(1)原式=9-(3-3)+2×12-1
=9-3+3+1-1
=6+3；
(2)原式=((a+2)(a-2)(a-2)2+1a-2)⋅a(a-2)2
=(a+2a-2+1a-2)⋅a(a-2)2
=a+3a-2⋅a(a-2)2
=a(a+3)2．
【解析】(1)分别根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
本题考查的是实数的运算及分式的化简求值，熟知零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：(1)8；20 ；
(2)11120×360°=33°，
即扇形统计图中D组的扇形圆心角是33°；
(3)3600×32120=960(人)，
答：“引体向上”得零分的有960人．
【解析】
【分析】
本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，注意n和n%的区别．
(1)根据题意和表格、统计图中的数据可以计算出m、n的值；
(2)根据(1)中的结论和统计图中的数据可以求得扇形统计图中D组的扇形圆心角的度数；
(3)根据统计图中的数据可以估计其中“引体向上”得零分的人数．
【解答】
解：(1)由题意可得，
本次抽查的学生有：30÷25%=120(人)，
m=120-32-30-24-11-15=8，
n%=24÷120×100%=20%，
故答案为8；20；
(2)见答案；
(3)见答案．
19.【答案】解：(1)12；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2种，
所以两次摸到红球的概率=212=16．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
(1)直接利用概率公式求解；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=24=12；
故答案为：12；
(2)见答案．
20.【答案】(-1,0) 3 -1
【解析】
解：如图，
AE绕点A顺时针旋转90后得AM，
所以M(-1,0)；
∵AE=EG，
∴∠EAG=∠EGA，
∵AM//EG，
∴∠MAG=EGA，
∴∠MAG=∠EAG，
G(3,-1)；
连接MG，
∴∠GMF=∠EAB，
在△AEF和△AMF中，
AE=AM∠EAF=∠MAFAF=AF
∴△AEF≌△AMF(SAS)
∴∠AEF=∠AMF，
∵∠AMF+∠FMG=90°，
∴∠AEF+∠FMG=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠AEB=∠AEF．
∴AE平分∠BEF．
点F即为所求．
故答案为：(-1,0)，3，-1．
第一步找格点M，连接AM，使AM⊥AE，即可写出点M的坐标；
第二步：找格点G，连接EG，使AG平分∠MAE，即可写出点G的坐标；
第三步：AG交x轴于F，连EF，根据网格即可得AE平分∠BEF．
本题考查了作图-应用与设计作图、角平分线的性质，解决本题的关键是准确画图．
21.【答案】解：(1)如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC=90，CD=80，∠DCB=80°，∠CDE=60°，
在Rt△CDN中，CN=CD⋅sin∠CDE=80×32=403mm=FM，
∠DCN=90°-60°=30°，
又∵∠DCB=80°，
∴∠BCN=80°-30°=50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM/​/CN，
∴∠A=∠BCN=50°，
∴∠ACF=90°-50°=40°，
在Rt△AFC中，AF=AC⋅sin40°=90×0.643≈57.87(mm)，
∴AM=AF+FM=57.87+403≈127.2(mm)，
答：点A到直线DE的距离约为127.2mm；

(2)旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB=80°+10°=90°，
在Rt△BCD中，CD=80mm，BC=40mm，
∴tan∠D=BCCD=4080=0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°-26.6°=33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
【解析】(1)通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距离；
(2)画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
22.【答案】(1)证明：连接OB，如图：

∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠OBE+∠ABD=∠OEB+∠CBD，
∴∠OBA=∠OFB，
∵OF⊥BC，
∴∠OBA=∠OFB=∠EFB=90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是半径，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴tan∠CBD=CDBD=12，
∵BD=1655，
∴CD=855，
∵∠BDC=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴BC=8，
∵OF⊥BC，
∴BF=CF=12BC=4，
∵∠EFB=90°，
∴tan∠CBD=EFBF=12，
∴EF=2，
令OB=OE=r，
∴OF=OE-EF=r-2，
∵∠OFB=90°，
∴OF2+BF2=OB2，
即(r-2)2+42=r2，
∴r=5，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠OEB，然后利用外角性质及切线的判定方法可得结论；
(2)根据等腰三角形的性质可得∠BDC=90°，再根据解直角三角形及勾股定理可得BC的长，进而得到答案．
此题考查的是外角的性质，切线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
23.【答案】解：(1)设每盒的售价为x元，则月销量为330-20(x-12)=(570-20x)(盒)，
依题意得：570-20x≥270，
解得：x≤15．
答：每盒售价最高为15元；
(2)依题意得：(15-2a-8)×(270+60a)=1650，
解得：a1=1，a2=-2(不合题意，舍去)．
答：a的值为1．
【解析】(1)设每盒的售价为x元，则月销量为(570-20x)盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
(2)利用月销售利润=每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.【答案】解：(1)∵点P在函数y=3x(x>0)的图象上，点P横坐标为a．
∴P(a,3a)，
∵PA/​/x轴，PB/​/y轴，
∴B(a,-1a)，A(-a3,3a)；
(2)是定值，理由如下：
∵PA=a-(-a3)=4a3，PB=3a-(-1a)=4a，
∴△APB的面积为12×PA×PB=12×4a3×4a=83，
∵S四边形AOBP=3+1=4，
∴△AOB的面积为定值4-83=43；
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点B(a,-1a)，A(-a3,3a)代入得，
k=-3a2，b=2a，
∴直线AB的解析式为：y=-3a2x+2a，
当x=13时，y=-1a2+2a，
∵点Q始终在△PAB的内部，
∴-1a2+2a<1，且3a>1，且a>13，
解得a≠1，且13综上：13【解析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标的特征可表示出点P、A、B的坐标；
(2)由点P、A、B的坐标，可知PA、PB的长度，从而得出答案；
(3)利用待定系数法表示出直线AB的解析式，根据点P始终点AB的上方，得出a的不等式，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，求出直线AB的解析式是解决问题(3)的关键．
25.【答案】解：(1)如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，

则△ADQ≌△ABG，
∴AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，
即∠GAE=∠EAF=45°，
∵∠ABG=∠ABE=90°，
∴B，G，E三点共线，
又∵AE=AE，
∴△GAE≌△EAQ(SAS)，
∴∠AEB=∠AEQ，
∵BE=DQ，AB=AD，∠ABE=∠ADQ=90°，
∴△GAE≌△EAQ(SAS)，
∴AE=AQ，∠AEB=∠AQD，
∴∠AEB=∠AQD=∠AEQ，∠AEQ=∠AQE，
∴∠AQE=∠AEB=∠AQD=∠AEQ；
(2)点E在BC上运动的过程中，图中有1个角∠AEB始终与∠AEQ相等，
证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，

则△ADQ≌△ABG，
∴AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，
即∠GAE=∠EAF=45°，
∵∠ABG=∠ABE=90°，
∴B，G，E三点共线，
又∵AE=AE，
∴△GAE≌△EAQ(SAS)，
∴∠AEB=∠AEQ；
(3)∵∠AEQ+∠QEF=90°，∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB=∠AEQ，
∴∠QEF=∠FEC，
∴EF是∠QEC的角平分线，
过点P作PH⊥EQ交于点H，

∵CP⊥EC，
∴HP=CP，
∵点P到直线EQ的距离为y，
∴PC=PH=y，
∵∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∵∠ABE=∠ECP，
∴△ABE∽△ECP，
∴ABEC=BECP，即33-x=xy，
∴y=-13x2+x，
∵y=-13(x-32)2+34，
∴当x=32时，y的最大值34．
【解析】(1)将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，由∠ABG=∠ABE=90°，得B，G，E三点共线，∠AGB=∠AQD，再利用SAS证明△GAE≌△EAQ，得∠AEB=∠AEQ，再证明△ABE≌△ADQ，得AE=AQ，∠AEB=∠AQD，则∠AEQ=∠AQE，即可得出答案；
(2)利用(1)的方法即可求解；
(3)由∠AEB=∠AEQ，∠AEF=90°可得到EF是∠QEC的角平分线，过点P作PH⊥EQ交于点H，则有HP=PC=y，再证明△ABE∽△ECP，可得ABEC=BECP，即33-x=xy，即可得到y=-13x2+x=-13(x-32)2+34，利用二次函数的性质即可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】【解答】解：(1)①令y=ax2-4ax+3a=0，解得：x=1或3，令x=0，则y=3a，
则点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,3a)，
S△ABC=12×AB×OC=12×2×3a=3，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3…①；
②存在，理由：
如图②延长CP交x轴于点H，过点H作HG⊥AC交CA的延长线于点G，设∠PCB=∠PCB+∠ACB=45°，
tan∠CAO=OCOA=3=tan∠HAG，设：GH=3x，则AG=x，AH=10x，
则GC=GH，即x+10=3x，x=102，则AH=5，则点H(6,0)，
将点C、H的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CH的表达式为：y=-12x+3…②，
联立①②并解得：x=72；
而x≥2，
故：P点横坐标的取值范围为2≤x≤72且x≠3；
(2)设点Q(m,am2-4am+3a)，点A(1,0)、B(3,0)，
把点Q、A坐标代入一次函数表达式：y=sx+t得：am2-4am+3a=sm+t0=s+t，解得：k=am-3ab=3a-am，
故函数的表达式为：y=a(m-3)x+a(3-m)，
即点D坐标为(0,3a-am)，
同理可得点E(0,3a-3am)，CDDE=3a-3a+am3a-am-3a+3am=12为定值．
【解析】(1)①令y=ax2-4ax+3a=0，解得：x=1或3，令x=0，则y=3a，则点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,3a)，即可求解；
②tan∠CAO=OCOA=3=tan∠HAG，设：GH=3x，则AG=x，AH=10x，则GC=GH，即2x+10=3x，则AH=5，则点H(6,0)，将点C、H的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CH的表达式为：y=-12+3…②，联立①②并解得：x=72，即可求解；
(2)设点P(m,am2-4am+3a)，点A(1,0)、B(3,0)，把点P、A坐标代入一次函数表达式：y=sx+t得：am2-4am+3a=sm+t0=s+t，解得：k=am-3ab=3a-am，故函数的表达式为：y=a(m-3)x+a(3-m)，即点D坐标为(0,3a-am)，同理可得点E(0,3a-3am)，CDDE=3a-3a+3m3a-am-3a+3am=32a为定值．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，综合性强，难度适中．
成绩
人数
0分
32
1分
30
2分
24
3分
11
4分
15
5分及以上
m
红
红
白
红
(红，红)
(白，红)
红
(红，红)
(白，红)
白
(红，白)
(红，白)
红
红
白
红
(红，红)
(红，红)
(白，红)
红
(红，红)
(红，红)
(白，红)
白
(红，白)
(红，白)
(白，白)