2023年江苏省泰州市海陵区中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2023年江苏省泰州市海陵区中考数学模拟试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣32的值等于（ ）
A．﹣9B．9C．6D．﹣6
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．2+3＝5C．×＝D．2×3＝6
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C．两组身高数据的方差分别是S甲2＝0.01，S乙2＝0.02，那么乙组的身高比较整齐
D．一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（ ）
A．100°B．72°C．64°D．36°
6．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
7．（3分）因式分解：2x3﹣8x＝ ．
8．（3分）函数中，自变量x的取值范围为 ．
9．（3分）2022年4月2日，海陵区对封控区、管控区、防范区内全部人员进行了第三轮核酸检测，共采样约343000人，检测结果均为阴性．将数据343000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则﹣+4x2的值为 ．
11．（3分）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ．
12．（3分）一个口袋中装有2个红球、1个白球，现小明和小丽用两种不同的方法从袋中随机摸球．小明从袋中一次性随机摸取2个球，都是红球的概率记为P1；小丽先从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出1个球，两次都是红球的概率记为P2.则P1与P2的大小关系是P1 P2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝16cm，C，D两点之间的距离为10cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是 cm2（结果保留π）．
14．（3分）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当时，y随x的增大而增大，其中所有正确结论的序号是 ．
15．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接DE、BD，延长CB到点F，使BF＝CE，过点E作EG⊥BD于点G，连接FG．若DE＝4，则FG的长为 ．
16．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答．）
17．（10分）（1）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2sin30°﹣（π﹣2023）0；
（2）化简：．
18．（10分）某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目，满分为10分．有关部门为提前了解明年参加初中毕业升学考试的男生的“引体向上”水平，在全市八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的“引体向上”水平进行测试，并将测试结果绘制成如下统计图表（部分信息未给出）：
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
抽取的男生“引体向上”成绩统计表
（1）填空：m＝ ，n＝ ．
（2）求扇形统计图中D组的扇形圆心角的度数；
（3）目前该市八年级有男生3600名，请估计其中“引体向上”得零分的人数．
19．某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
20．（10分）如图，在下列6×6网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（0，4）、B（4，4）、C（4，0），E（4，3）都是格点．
要求在图中仅用无刻度的直尺作图在x轴上找点F，使AE平分∠BEF
操作如下：
第一步找格点M，连接AM，使AM⊥AE，写出点M的坐标为
第二步：找格点G，连接EG，使AG平分∠MAE，写出点G的坐标为（ ， ）
第三步：AG交x轴于F，连EF，则AE平分∠BEF．
请你按步骤完成作图，并说明理由．
21．（12分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）
22．（12分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD平分∠ABC，经过点B、C的⊙O交BD于点E，连接OE交BC于点F，OF⊥BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝BC，BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．
23．（12分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
24．（12分）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；
（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．
25．（12分）已知正方形ABCD中，点E是线段BC上的动点（不包含端点），以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．
（1）如图1，若BE＝DQ，请直接写出图中与∠AEQ相等的两个角；
（2）如图2，点E在BC上运动的过程中，图中有几个角始终与∠AEQ相等？请选择其中的一个予以证明；
（3）若正方形ABCD的边长为3，BE＝x，设点P到直线EQ的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
26．（12分）抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）交x轴正半轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴正半轴于C；
（1）如图①，连接AC，BC，若△ABC的面积为3，
①求抛物线的解析式；
②抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB≤45°？若存在，求出P点横坐标的取值范围；
（2）如图②，若Q为B点右侧抛物线上的动点，直线QA、QB分别交y轴于点D，E，判断CD：DE的值是否为定值．说明理由．
2023年江苏省泰州市海陵区中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）﹣32的值等于（ ）
A．﹣9B．9C．6D．﹣6
【解答】解：﹣32＝﹣9，
故选：A．
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．2+3＝5C．×＝D．2×3＝6
【解答】解：A.+无法合并，故此选项不合题意；
B.2+3＝5，故此选项符合题意；
C.×＝，故此选项不合题意；
D.2×3＝12，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C．两组身高数据的方差分别是S甲2＝0.01，S乙2＝0.02，那么乙组的身高比较整齐
D．一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
【解答】解：A选项，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意．
B选项，可以抽样调查的方式进行，不符合题意．
C选项，应该是甲组的身高比较整齐．不符合题意．
是必然事件的是：一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5，符合题意，
故选：D．
5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（ ）
A．100°B．72°C．64°D．36°
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝28°，
∴∠OAB＝64°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝64°，
故选：C．
6．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接AA'，如图：
由题意得：EN为△ABM的中位线，
∴AM＝2EN＝4，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AA'＝A'B，AE＝BE＝DF＝CF＝AB，EF＝BC＝11，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，
∴A'B＝AB＝AA'，∠ABM＝∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA'＝∠BA'A＝∠A'AB＝60°，
又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，
∴AB＝AM＝4，
∴BE＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥EF，AB∥CD，
∴∠AMB＝∠A′NM，
∴∠A′NM＝∠A′MB，
∴A′N＝A′M＝4，
∴A′E＝EN+A'N＝6，
∴A′F＝EF﹣A'E＝5，
∵AB∥CD，
∴△OA'F∽△BA'E，
∴＝＝，
∴FO＝BE＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
7．（3分）因式分解：2x3﹣8x＝ 2x（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．
8．（3分）函数中，自变量x的取值范围为 x≥4 ．
【解答】解：根据题意得x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案是：x≥4．
9．（3分）2022年4月2日，海陵区对封控区、管控区、防范区内全部人员进行了第三轮核酸检测，共采样约343000人，检测结果均为阴性．将数据343000用科学记数法表示为 3.43×105 ．
【解答】解：将343000用科学记数法表示为：3.43×105．
故答案是：3.43×105．
10．（3分）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则﹣+4x2的值为 4 ．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴，，x1+x2＝2，
∴
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案为：4．
11．（3分）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 m＞1且m≠2 ．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m＝x﹣1，
解得：x＝m﹣1，
由分式方程的解为正数，得到m﹣1＞0，且m﹣1≠1，
解得：m＞1且m≠2，
故答案为：m＞1且m≠2．
12．（3分）一个口袋中装有2个红球、1个白球，现小明和小丽用两种不同的方法从袋中随机摸球．小明从袋中一次性随机摸取2个球，都是红球的概率记为P1；小丽先从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出1个球，两次都是红球的概率记为P2.则P1与P2的大小关系是P1 ＜ P2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【解答】解：小明从袋中一次性随机摸取2个球，所有等可能结果如下表所示：
由表知，共有6种等可能结果，其中都是红球的有2种结果，
所以都是红球的概率P1＝＝；
小丽先从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出1个球，所有等可能结果如下表所示：
由表知，共有9种等可能结果，其中两次都是红球的有4种结果，
所以两次都是红球的概率P2＝；
∴P1＜P2，
故答案为：＜．
13．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝16cm，C，D两点之间的距离为10cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是 96π cm2（结果保留π）．
【解答】解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝10cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝96π（cm2），
故答案为：96π．
14．（3分）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当时，y随x的增大而增大，其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．
【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝，
∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；
∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x＝＝﹣，抛物线开口向下，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
即x＜﹣时，y随x的增大而增大．
而＜﹣，
∴当时，y随x的增大而增大，故④正确．
故答案为：①②③④．
15．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接DE、BD，延长CB到点F，使BF＝CE，过点E作EG⊥BD于点G，连接FG．若DE＝4，则FG的长为 ．
【解答】解：连接AF，AG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCE＝∠ABC＝∠ABF＝90°，DC＝AB，∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△DCE和△ABF中，
，
∴△DCE≌△ABF（SAS），
∴AF＝DE＝，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵EG⊥BD，
∴∠BGE＝90°，
∴∠BEG＝∠EBG＝45°，
∴∠CEG＝∠FBG＝135°，EG＝BG，
在△CEG和△FBG中，
，
∴△CEG≌△FBG（SAS），
∴CG＝FG，∠ECG＝∠BFG，
∴AG＝FG，∠BAG＝∠BFG，
∵∠AOG＝∠FOB，
∴∠AGO＝∠ABF＝90°，
∴△AGF为等腰直角三角形，
∴FG＝AG＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则k的值为 ．
【解答】解：过点C作CF⊥OD，垂足为F，延长CF交OA于点G，过点E作EH⊥OA，垂足为H，
∵AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，∠OBA＝90°，
∴∠EOA+∠EAO＝（∠BOA+∠BAO）＝（180°﹣90°）＝45°＝∠CEF，
在Rt△CEF中，∠CEF＝45°，CE＝，
∴CF＝EF＝×＝1，
在Rt△COF中，OC＝，CF＝1，
∴OF＝＝2，
在Rt△OCF和Rt△OGF中，
∵∠OFC＝∠OFG＝90°，OF＝OF，∠COF＝∠GOF，
∴Rt△OCF≌Rt△OGF（ASA），
∴OG＝OC＝，FC＝FG＝1，
∵∠OFG＝90°＝∠OHE，∠FOG＝∠HOE，
∴△FOG∽△HOE，
∴，
又∵S△FOG＝×1×2＝1，
∴S△HOE＝|k|＝，
∴k＝（取正值），
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答．）
17．（10分）（1）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2sin30°﹣（π﹣2023）0；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝9﹣（3﹣）+2×﹣1
＝9﹣3++1﹣1
＝6+；
（2）原式＝（+）•
＝（+）•
＝•
＝．
18．（10分）某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目，满分为10分．有关部门为提前了解明年参加初中毕业升学考试的男生的“引体向上”水平，在全市八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的“引体向上”水平进行测试，并将测试结果绘制成如下统计图表（部分信息未给出）：
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
抽取的男生“引体向上”成绩统计表
（1）填空：m＝ 8 ，n＝ 20 ．
（2）求扇形统计图中D组的扇形圆心角的度数；
（3）目前该市八年级有男生3600名，请估计其中“引体向上”得零分的人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
本次抽查的学生有：30÷25%＝120（人），
m＝120﹣32﹣30﹣24﹣11﹣15＝8，
n%＝24÷120×100%＝20%，
故答案为：8，20；
（2）＝33°，
即扇形统计图中D组的扇形圆心角是33°；
（3）3600×＝960（人），
答：“引体向上”得零分的有960人．
19．某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
所以小红获得2份奖品的概率＝＝．
20．（10分）如图，在下列6×6网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（0，4）、B（4，4）、C（4，0），E（4，3）都是格点．
要求在图中仅用无刻度的直尺作图在x轴上找点F，使AE平分∠BEF
操作如下：
第一步找格点M，连接AM，使AM⊥AE，写出点M的坐标为 （﹣1，0）
第二步：找格点G，连接EG，使AG平分∠MAE，写出点G的坐标为（ 3 ， ﹣1 ）
第三步：AG交x轴于F，连EF，则AE平分∠BEF．
请你按步骤完成作图，并说明理由．
【解答】
解：如图，
AE绕点A顺时针旋转90后得AM，
所以M（﹣1，0）；
∵AE＝EG，
∴∠EAG＝∠EGA，
∵AM∥EG，
∴∠MAG＝EGA，
∴∠MAG＝∠EAG，
G（3，﹣1）；
连接MG，
∴∠GMF＝∠EAB，
在△AEF和△AMF中，
∴△AEF≌△AMF（SAS）
∴∠AEF＝∠AMF，
∵∠AMF+∠FMG＝90°，
∴∠AEF+∠FMG＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝∠AEF．
∴AE平分∠BEF．
点F即为所求．
故答案为：（﹣1，0），3，﹣1．
21．（12分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）
【解答】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC＝90，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝90×0.643≈57.87（mm），
∴AM＝AF+FM＝57.87+40≈127.2（mm），
答：点A到直线DE的距离约为127.2mm；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，
在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，
∴tan∠D＝＝＝0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
22．（12分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD平分∠ABC，经过点B、C的⊙O交BD于点E，连接OE交BC于点F，OF⊥BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝BC，BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OB，如图：
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠OBE+∠ABD＝∠OEB+∠CBD，
∴∠OBA＝∠OFB，
∵OF⊥BC，
∴∠OBA＝∠OFB＝∠EFB＝90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴tan∠CBD＝，
∵BD＝，
∴CD＝，
∵∠BDC＝90°，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴BC＝8，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝4，
∵∠EFB＝90°，
∴tan∠CBD＝＝，
∴EF＝2，
令OB＝OE＝r，
∴OF＝OE﹣EF＝r﹣2，
∵∠OFB＝90°，
∴OF2+BF2＝OB2，
即（r﹣2）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
23．（12分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），
依题意得：570﹣20x≥270，
解得：x≤15．
答：每盒售价最高为15元；
（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，
解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：a的值为1．
24．（12分）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；
（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，点P横坐标为a．
∴P（a，），
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴B（a，﹣），A（﹣）；
（2）是定值，理由如下：
∵PA＝a﹣（﹣）＝，PB＝﹣（﹣）＝，
∴△APB的面积为×PA×PB＝＝，
∵S四边形AOBP＝3+1＝4，
∴△AOB的面积为定值4﹣＝；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点B（a，﹣），A（﹣）代入得，
k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣，
当x＝时，y＝﹣，
∵点Q始终在△PAB的内部，
∴﹣＜1，且＞1，且a＞，
解得a≠1，且＜a＜3，
综上：＜a＜3且a≠1．
25．（12分）已知正方形ABCD中，点E是线段BC上的动点（不包含端点），以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．
（1）如图1，若BE＝DQ，请直接写出图中与∠AEQ相等的两个角；
（2）如图2，点E在BC上运动的过程中，图中有几个角始终与∠AEQ相等？请选择其中的一个予以证明；
（3）若正方形ABCD的边长为3，BE＝x，设点P到直线EQ的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
【解答】解：（1）如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
则△ADQ≌△ABG，
∴AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，
∵∠EAF＝∠F＝45°，
∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，
即∠GAE＝∠EAF＝45°，
∵∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴B，G，E三点共线，
又∵AE＝AE，
∴△GAE≌△EAQ（SAS），
∴∠AEB＝∠AEQ，
∵BE＝DQ，AB＝AD，∠ABE＝∠ADQ＝90°，
∴△GAE≌△EAQ（SAS），
∴AE＝AQ，∠AEB＝∠AQD，
∴∠AEB＝∠AQD＝∠AEQ＝∠PQF，∠AEQ＝∠AQE，
∴∠AQE＝∠AEB＝∠AQD＝∠AEQ＝∠EPC＝∠FPQ＝∠FQP；
（2）点E在BC上运动的过程中，图中有1个角∠AEB始终与∠AEQ相等，
证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
则△ADQ≌△ABG，
∴AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，
即∠GAE＝∠EAF＝45°，
∵∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴B，G，E三点共线，
又∵AE＝AE，
∴△GAE≌△EAQ（SAS），
∴∠AEB＝∠AEQ；
（3）∵∠AEQ+∠QEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB＝∠AEQ，
∴∠QEF＝∠FEC，
∴EF是∠QEC的角平分线，
过点P作PH⊥EQ交于点H，
∵CP⊥EC，
∴HP＝CP，
∵点P到直线EQ的距离为y，
∴PC＝PH＝y，
∵∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∵∠ABE＝∠ECP，
∴△ABE∽△ECP，
∴，即，
∴y＝﹣x2+x，
∵y＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，y的最大值．
26．（12分）抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）交x轴正半轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴正半轴于C；
（1）如图①，连接AC，BC，若△ABC的面积为3，
①求抛物线的解析式；
②抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB≤45°？若存在，求出P点横坐标的取值范围；
（2）如图②，若Q为B点右侧抛物线上的动点，直线QA、QB分别交y轴于点D，E，判断CD：DE的值是否为定值．说明理由．
【解答】解：（1）①令y＝ax2﹣4ax+3a＝0，解得：x＝1或3，令x＝0，则y＝3a，
则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3a），
S△ABC＝×AB×OC＝×2×3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3①；
②存在，理由：
如图②，将AC围绕点A顺时针旋转90度到AG，连接CG交抛物线于点P，则点P为所求点，
由图象的旋转得到点G的坐标为（4，1），
设直线CG的表达式为y＝kx+3，
将点G的坐标代入上式得：1＝4k+3，解得k＝﹣，
故直线CG的表达式为y＝﹣x+3②，
联立①②并解得，
故点P的坐标为（，）；
由抛物线的表达式知，其顶点P′的坐标为（2，﹣1），
则直线GP′的表达式为y＝x﹣3，故该直线过点B，
同理可得直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
则直线BC⊥GP′，
由点C、P′、G的坐标知，CG＝CP′，
故点G、P′关于直线BC对称，
由题意得，x＝3时，不符合题意，
∴2≤x≤3.5且x≠3；
（2）设点Q（m，am2﹣4am+3a），点A（1，0）、B（3，0），
把点Q、A坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝a（m﹣3）x+a（3﹣m），
即点D坐标为（0，3a﹣am），
同理可得点E（0，3a﹣3am），＝＝为定值．
成绩
人数
0分
32
1分
30
2分
24
3分
11
4分
15
5分及以上
m
红
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人数
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4分
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5分及以上
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