2022年江苏省泰州市海陵区中考数学二模试卷（含解析）

2022年江苏省泰州市海陵区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 若的相反数是，那么(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列事件中不属于确定事件的是(    )

A. 菱形的对角线互相垂直
B. 小明在竞技类游戏中获得胜利
C. 个学生中至少有两个学生生日在同一个月
D. 太阳从西边升起

4. 如图所示的三棱柱的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若长度分别是、、的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美，树冠要大，存活率要高、落叶要少现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为，存活率为如图，在平面直角坐标系中画出点，其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为、、，根据坐标的信息分析，下列说法正确的是(    )

1. 乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种
   B. 乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种
   C. 甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种
   D. 丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种

二．填空题（本题共10小题，共30分）

7. 的立方根是______．
8. 分解因式：______．
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
10. 据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为人，用科学记数法表示为______．
11. 已知直线，用一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则______．

12. 如图，点是的外心，连接，若，则的度数为______

13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的内角和为______．
14. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向右平移，平移后的直线经过点，则直线向右平移______个单位长度．
15. 如图，在平面直角坐标系中，有，，，点在轴的正半轴上，点为反比例函数的图象与边的交点，点在边上，且，若，的面积为，则______．

16. 如图，在中，，，，点是内部一点不包括三条边，点、分别在、边上，且，，垂足分别为、点是边的中点，连接，若，则长的取值范围是______．

三．解答题（本题共10小题，共102分）

17. 计算：；
    化简：．
18. 如图，在的正方形网格中，点、、、、、都是格点．
    从、、、四点中任取一点，以这点及点、为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是______．
    从、、、四点中任取两点，以这两点及点、为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边形是平行四边形的概率．

19. 某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为类：火山灰云，强降水，飞机积冰，闪电，低能见度，沙尘暴，雷暴，湍流，风切变，然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下以下数据来源于国际航空飞行安全网：
    信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图；
    信息二：类与类危险天气导致飞行事故的月频数统计图；
    根据以上信息，解决下列问题：
    根据以上信息分析可知，______类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强；填写字母
    近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的______；横线上的数精确到
    记类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，记类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，则 ______；填“”、“”或“”
    请结合图和图的相关信息，给某航空公司提供一条关于预防飞行事故发生的具体措施．

20. 已知为钝角三角形，其中，有下列条件：
    ；；；；
    你认为从中至少选择______个条件，可以求出边的长；
    你选择的条件是______直接填写序号，并写出求的解答过程．
21. 某玩具店购进年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共个，花去元，这两种吉祥物的进价、售价如表：

求冰墩墩、雪容融各购进了多少个？
售卖中途由于冰墩墩受到广大游客的喜爱被一抢而空，商家又紧急购进了一批冰墩墩，最后和雪容融一起被卖完．若已知商家最后获取的利润不少于元，请问商家第二次至少购进了多少个冰墩墩？

22. 已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数的函数图象．
    如图，点是该函数图象第一象限上的点，且横坐标为，延长使得，判断点是否为该函数图象第三象限上的点，并说明理由；
    如图，点、均为该函数图象第一象限中的点，连接，点为线段的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点关于点的对称点不写作图过程，保留作图痕迹
     

23. 如图，在▱中，点、在上，，，垂足分别为、，点在点的左侧．
    求证：四边形是平行四边形；
    设，，，求四边形的面积与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．

24. 如图，已知是的直径，、为圆上的点，、，垂足分别为、．
    求证：；
    若，，求阴影部分的面积．

25. 中国建筑师以潜望镜为灵感设计了一个在私密空间内也能享受到窗外美景的未来公共卫生间如图，该建筑总高，剖面设计如图，，，，点为与的交点，，其中为平面镜，在墙面上也全部安装与之贴合的镜面，，，，记与的夹角为，与之间为外界光线入射的区域．提示：法线垂直于平面镜，入射角等于反射角，外界射入的均为与地面平行的水平光线
    如图，当时其中，为入射光线，为反射光线，为法线：
    求的度数；
    若入射光线经平面镜反射后，刚好到达平面镜的最顶端处成像，求该入射光线与地面的距离；
    当时，利用图分析，要在不影响观景体验的同时尽可能地节约建筑成本，可以在边上安装镜面时减少______米耗材．直接在横线上填写答案，参考数据：
     

26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、点在点的左边，与轴相交于点直线与抛物线相交于、两点、不重合，与直线交于点
    若，，，
    求线段的长；
    当时，证明：的值不会随着的变化而变化；
    若点在直线的上方，
    求的取值范围；
    令，一定存在一个的值，对于任何符合的、均可以使得恒为定值，求的值以及的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
和不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除、幂的乘方法则，同类项定义逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘除、幂的乘方运算的法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：、菱形的对角线互相垂直，是必然事件，属于确定事件，不符合题意；
B、小明在竞技类游戏中获得胜利，是随机事件，不属于确定事件，符合题意；
C、个学生中至少有两个学生生日在同一个月，是必然事件，属于确定事件，不符合题意；
D、太阳从西边升起，是不可能事件，属于确定事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：主视图为，
故选B．
根据三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，进行选择即可．
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
 

5.【答案】 

【解析】解：由三角形三边关系定理得：，
即，
即符合的只有，
故选：．
根据三角形三边关系定理得出，求出即可．
本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图形可知，点对应的乙树种树冠直径最大，存活率最高，故乙树种最优，
点对应的甲树种，点对应的丙树种，
甲树种的存活率高于丙树种，存活率基本相等，而丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径，故丙树种优于甲树种，
总体来说，乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种，
故选：．
根据题意可以判断乙树种最优，再根据、两点坐标可知甲树种的存活率高于丙树种，存活率基本相等，而丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径，可以得出丙树种优于甲树种，最后进行综合判断即可．
本题主要考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，

故答案为：．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案是：．
先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数不小于，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于，分式的分母不等于．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作直线，则，

，
，
，
．
故答案为：．
过点作直线，则可求出，进而求出，再利用，得到，进而求出．
本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质并进行应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，作的外接圆，

点是的外心，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形外心的概念，结合圆周角定理分析求解．
本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：多边形的边数为：，
正多边形的内角和的度数是：．
故答案为：．
根据任何多边形的外角和都是，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
本题考查了正多边形与圆，多边形的内角和外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：将直线沿轴向右平移个单位，得到直线，
把点代入，得，
解得．
故答案为：．
先根据平移规律求出平移后的直线解析式为，再把点代入，即可求出的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作于点，

，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
轴于点，于点，
四边形的面积，且的面积的面积，
四边形的面积，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
根据求出，进而得到，利用相似三角形的性质即可求出的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键是熟知反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与两轴围成的矩形面积相等，并且等于．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

当点与点重合时，的值是最大的，
，，，
，
点是边的中点，，
，
点是内部一点，
；
如图，

当点在的平分线上时，，此时时，最小，
过点作于，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
在中，
，
，即，
，
在中，
，
，，
∽，
，，
，点在的上方，
，
长的取值范围是：，
故答案为：．

分两种情况讨论：当点与点重合时，的值是最大的，得出；当点在的平分线上时，，此时时，最小，得出，最后得出结果．
本题考查了垂线段最短的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．
原式

． 

【解析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案
根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查分式的加减运算和乘除运算、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数值，本题属于基础题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：从、、、四点中任取一点，以这点及点、为顶点画三角形，共有种可能，
其中选取或或点时，所画三角形是等腰三角形，
所画三角形是等腰三角形的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中以这两点及点、为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的结果有种，即、、、，
所画四边形是平行四边形的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中以这两点及点、为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、等腰三角形的判定、平行四边形的判定等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】     

【解析】解：由条形图可知，类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强．
故答案为：；
由条形图可知近百年来飞机发生事故总数为：，
近百年来飞机发生重大事故总数为：，
所以近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的；
故答案为：；
由折线统计图可知，类危险天气导致飞行事故的月频数的波动性大于类危险天气导致飞行事故的波动性，
所以；
故答案为：．
在每年的月份和月份要关注天气变化预防类危险天气导致飞行事故．
分析条形统计图即可得出答案；
根据条形统计图进行计算即可得出答案；
应用方差的性质进行求解即可得出答案；
根据折线统计图和条形统计图进行分析即可得答案．
本题主要考查了折线统计图和条形统计图及方差，熟练掌握折线统计图和条形统计图及方差的性质进行求解即可得出答案．
 

20.【答案】   

【解析】解：根据解直角三角形的条件可知，至少选择个条件，可以求出边的长，
故答案为：；
选择，，理由如下：
过点作于点，如图所示：

设，
，
，
，
根据勾股定理，得，
解得或不合题意，舍去，
，，
，
根据勾股定理，得，
．
故答案为：．
根据解直角三角形的条件即可确定；
选择，过点作于点，根据的值以及勾股定理可得和的长，再根据勾股定理求出的长，进一步即可求出的长．
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：设冰墩墩购进了个，雪容融购进了个，由题意可得，
，
解得，，
答：冰墩墩购进了个，雪容融购进了个；
设商家第二次购进了个冰墩墩，由题意得，
，
，
为整数，
的最小值为，
答：商家第二次至少购进了个冰墩墩． 

【解析】设冰墩墩购进了个，雪容融购进了个，由题意可列出二元一次方程组，解方程组可得出答案；
设商家第二次购进了个冰墩墩，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：结论：点是该函数图象第三象限上的点．
理由：如图中，过点作轴于点，过点作轴于点．

在和中，
，
≌，
，，
设，则，
点在的图象上，
，
，
在反比例函数的图象上．
即点是该函数图象第三象限上的点；

如图，点即为所求．
 

【解析】结论：点是该函数图象第三象限上的点．如图中，过点作轴于点，过点作轴于点证明≌，推出，，可得结论；
连接，延长交反比例函数的图象于点，同法作出点的对应点，连接，延长交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：≌，
，
，
，，，
，
，
四边形的面积，
当时，随增大而减小． 

【解析】由“”可证≌，可得，可得结论；
由平行四边形的面积公式可得，由二次函数的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出与的函数表达式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：是的直径，是的弦，，
，，
，
，是的弦，
，
，
是的中位线，
，
；

解：如图，连接，，，

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
阴影部分的面积为． 

【解析】根据垂径定理得，，则，再根据垂径定理得，，则是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得出结论；
连接，，，根据三角形外角的性质以及得，由三角形的内角和定理得，则，可得是等边三角形，可得，，，利用勾股定理求出，根据即可得阴影部分的面积．
本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，扇形的面积计算、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：法线垂直于平面镜，
，
，
，
，
，
；
由可知，，
，
，
，
，
，
，
为中点，
，
，，
，
，，
入射光线与地面的距离为米；
当时，，
，
，
假设入射光经镜面反射正好到达处，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
当入射光线到达镜面在点之下时，反射后也无法到达，
只需要在处安装镜面，
，
，
，
即可减少米耗材，
故答案为：．
根据题意可知法线垂直于平面镜，可知，再借助平行线的性质可推导，然后计算，根据光的反射定律可知，再由计算的度数即可；
由可知，，由直角三角形的性质可知，再借助三角形内角和定理推导，即可证明为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质，可知，由已知条件计算，，由即可计算入射光线与地面的距离；
假设入射光经镜面反射正好到达处，先证明四边形为平行四边形，借助平行四边形的性质可知，当入射光线到达镜面在点之下时，反射后也无法到达，故只需要在处安装镜面，借助三角函数可求得，由即可确定减少耗材的数量．
本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、利用三角函数解直角三角形等知识，综合性较强，理解题意，准确识图，综合应用以上知识解题是关键．
 

26.【答案】解：，，
，
证明：，
抛物线的对称轴为：，，
当时，；
解：如图，

当，时，点在的下方，

当，时，点在的下方，
如图，

当时，点在的上方，
综上所述：当时，点在的上方；
解：如图，

当时，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
恒为定值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】可得，，从而求得结果；
点和点关于对称轴对称，从而求得结果；
对的值进行分类讨论，画出图形，得出结果；
表示出关系式，进而求得的值，与抛物线交于两点，，则小于抛物线的顶点的纵坐标，进一步求得结果．
本题考查了二次函数及其图象性质，相似三角形判定和性质等知识，运用分类讨论，数形结合等方法，解决问题的关键是数形结合，分类讨论．