2022年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 的值等于

A.  B.  C.  D.

2. 一块积木如图所示，则它的左视图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 在▱中，对角线、的长分别为、，则边的长可能为

A.  B.  C.  D.

5. 小丽同学住在学校附近，某周星期一至星期五早晨步行到校所花时间单位：分钟分别为，，，，，已知这组数据的平均数为，则其方差为

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，当实数变化时，与的大小关系是

A.  B.
C.  D. 、、都有可能

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7. 计算：等于______．
8. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
9. 年月日，海陵区对封控区、管控区、防范区内全部人员进行了第三轮核酸检测，共采样约人，检测结果均为阴性．将数据用科学记数法表示为______．
10. 一个斜坡的坡度是：，则这个斜坡的坡角等于______
11. 一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是______．
12. 一个口袋中装有个红球、个白球，现小明和小丽用两种不同的方法从袋中随机摸球．小明从袋中一次性随机摸取个球，都是红球的概率记为；小丽先从袋中随机摸出个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出个球，两次都是红球的概率记为则与的大小关系是______填“”、“”或“”．
13. 用半径为，圆周角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______．
14. 当取任意实数时，二次函数的值始终为正数，则的取值范围是______．
15. 如图，直线与圆相交于、两点，是圆的弦，，半径的长为，弦的长为，动点从点出发以每秒个单位的速度沿射线方向运动．当是直角三角形时，动点运动的时间为______秒．

16. 如图，点在正方形的边上，连接、，延长到点，使，过点作于点，连接若，则的长为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）

17. 分解因式：；
    解方程：．
18. 为进一步提高学生的英语口语听力水平，某校准备开展英语口语听力比赛．九班准备从甲、乙两人中推荐人参加比赛，现将两人在班级选拔赛中，次的测试成绩总分分绘制成如图所示的折线统计图图中只标注了部分数据观察统计图，回答下列问题：
    甲次测试成绩的众数为______分；乙次测试成绩的中位数为______分；
    小红认为：应该选择两人中次测试成绩方差小的去比赛．你同意他的观点吗？请结合统计图说明理由．

19. 小明在学习完电学知识后，用四个开关、、、，一个电源和一个灯泡设计了一个如图所示的电路图．
    在开关闭合的情况下，任意闭合、、中的一个开关，则灯泡发光的概率等于______；
    任意闭合其中两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．

20. 如图，在中，，请用无刻度的直尺和圆规作出符合下列条件的图形，不写作法，保留作图痕迹．
    在线段的延长线上，找出一点，使；
    在的条件下，在线段上，找出一点，使．

21. 已知：如图，是的直径，是的弦，过点的直线交延长线于点，给出下列信息：
    ；
    是的切线；
    ．
    请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是______，结论是______只要填写序号判断结论是否正确，并说明理由；
    在的条件下，若，求的长度．

22. 某市为积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了河道整治．某工程队原计划在规定时间内整治河道，实际施工时工作效率提高了，结果提前天完成，求原计划规定多少天完成？
23. 如图是一种手机支架，图是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．现量得，．
    当支撑板与底座的夹角为时，求点到底座的距离；结果保留根号
    小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，求此时点到底座的距离．结果精确到，，

24. 年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为元袋的口罩，其销售量万袋与销售价格元袋的变化如表：

另外，销售过程中的其他开支不含进价总计万元．
根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量万袋与价格元袋满足什么函数？并求出与之间的函数表达式；
设该公司销售这种口罩的净利润为万元，当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？

25. 如图，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，连接、、，设点横坐标为．
    直接写出点、、的坐标用的代数式表示；
    点在运动的过程中，的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
    在平面内有一点，且点始终在的内部不包含边，求的取值范围．

如图，在矩形中，，点是上一点，且是常数，作关于直线的对称图形，延长交直线于点．
求证：；
若．
当时，问点是否与点重合，并说明理由；
当直线经过点时，直接写出的长；
随着的变化，是否存在常数，使等式总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的乘方，正确掌握有理数的乘方运算法则是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从左边看，是一个矩形．
故选：．
根据左视图是从左边看到的图形解答即可．
本题考查简单的几何体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解答本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：．无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：▱的对角线和相交于点，，，
，，
边的长的取值范围是：．
故选：．
首先由▱的对角线和相交于点，若，，根据平四边形的性质，可求得与的长，再由三角形的三边关系，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分．
 

5.【答案】

【解析】解：数据的平均数是，
；
方差为
．
故选：．
根据数据的平均数求出的值，再根据方差的公式求出方差的大小．
本题考查了计算数据的平均数与方差的问题，解题的关键是根据公式进行计算．
 

6.【答案】

【解析】解：，，
，
即，
不论为何值，，
，
，
，
故选：．
先求出的值，根据完全平方公式进行变形得出，再比较大小即可．
本题考查了实数的大小比较和整式的加减，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
根据任何非零数的零次幂都等于即可得出答案．
本题考查了零指数幂，掌握是解题的关键．
 

8.【答案】．

【解析】解：根据题意，使二次根式有意义，即，
解得；
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式求范围．
本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于等于即可．
 

9.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故答案是：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】

【解析】解：设这个斜坡的坡角为，
由题意得：：，
．
故答案为：．
根据坡角的正切坡度，列式可得结果．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，明确坡度实际就是一锐角的正切值；在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
 

11.【答案】

【解析】解：一次函数的图象不经过第四象限，
一次函数的图象即经过第一、二、三象限，
．
故答案为：．
先判断出一次函数图象经过第一、二、三象限，则说明的系数不小于，由此即可确定题目的取值范围．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

12.【答案】

【解析】解：小明从袋中一次性随机摸取个球，所有等可能结果如下表所示：

由表知，共有种等可能结果，其中都是红球的有种结果，
所以都是红球的概率；
小丽先从袋中随机摸出个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出个球，所有等可能结果如下表所示：

由表知，共有种等可能结果，其中两次都是红球的有种结果，
所以两次都是红球的概率；
，
故答案为：．
列表得出两种情形下所有等可能结果，再从表格中找到两球的颜色均为红色的结果数，继而根据概率公式求解即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】

【解析】解：设圆锥底面圆的半径为，
则，
解得：，
故圆锥的底面半径为．
故答案为：．
根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大．
 

14.【答案】

【解析】解：，
解得：．
故答案为：．
二次函数开口向上，当取任意实数时，都有，则，据此即可列不等式求解．
本题考查了抛物线与轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

15.【答案】或

【解析】解：当时，
连接，过点作于点，如图，

，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，
，
点以每秒个单位的速度前进，
；
当时，
连接，过点作于点，过点作于点，如图，

，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
．
点以每秒个单位的速度前进，
，
综上，当是直角三角形时，动点运动的时间为秒或秒，
故答案为：或．
利用分类讨论的方法分两种情况解答：当时，连接，过点作于点，利用垂径定理和矩形的判定定理解答即可；当时，连接，过点作于点，过点作于点，同方法，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出圆的弦心距是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，，，

四边形为正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为：．
连接，，，结合正方形的性质证明≌可求得，证明≌，≌可证得为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，证明为等腰直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
，
，

，
，
所以，．

【解析】先提公因数，然后利用完全平方公式分解因式；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：甲次测试成绩中，出现次数最多，故甲次测试成绩的众数为分；
乙次测试成绩从小到大排列为、、、、，排在中间的数是，故乙次测试成绩的中位数为分．
故答案为：；；
不同意他的观点，虽然乙的方差较小，但甲的中位数为分，甲的众数，中位数均大于乙，且甲的成绩越来越高且趋于稳定，所以选甲去比赛更合适．
分别根据众数和中位数的定义解答即可；
根据方差、中位数以及众数的定义解答即可．
本题考查了折线统计图，众数，中位数及方差的知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
 

19.【答案】

【解析】解：在开关闭合的情况下，任意闭合、、中的一个开关，则灯泡发光的概率等于，
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为，
所以小灯泡发光的概率为．
根据概率公式可得答案；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：如图，点为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】在的延长线上截取，由于，则，然后利用得到；
作，则．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
 

21.【答案】 

【解析】解：选择的条件是，结论是，
理由：连接，
，
，
是的切线；
，
，
，
，
，
故答案为：，；
在中，
，，
，
的长度为．
根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
根据直角三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设原计划工作时每天整治为米，实际每天整治米，
根据题意可得：，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
原计划规定天数为天，
原计划规定天完成．

【解析】设原计划工作时每天整治为米，根据工作时间工作总量工作效率结合提前天完成任务，即可得出关于的分式方程．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
点到底座的距离为；
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，

则，，
，
，
，
在中，，
，
，
此时点到底座的距离约为．

【解析】过点作，垂足为，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而求出的度数，进而求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据表格中数据可得出：与是一次函数关系，
设解析式为：，
则，
解得：，，
故函数解析式为：．
根据题意得出：
，




，
故销售价格定为元袋时净得利润最大，最大值是万元．

【解析】根据数据得出与是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
根据得出与的函数关系式，求出即可．
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出与的函数关系是解题关键．
 

25.【答案】解：点在函数的图象上，点横坐标为．
，
轴，轴，
，；
是定值，理由如下：
，，
的面积为，
，
的面积为定值；
设直线的解析式为，
将点，代入得，
，，
直线的解析式为：，
当时，，
点始终在的内部，
，且，且，
解得，且，
综上：且．

【解析】根据反比例函数图象上点的坐标的特征可表示出点、、的坐标；
由点、、的坐标，可知、的长度，从而得出答案；
利用待定系数法表示出直线的解析式，根据点始终点的上方，得出的不等式，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，求出直线的解析式是解决问题的关键．
 

26.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
与关于对称，
，
，
；

解：点与重合；
理由：如图中，过点作于点，则四边形是矩形，

，
设，
在中，，
，
，
，，
点与重合；

如图中，

由轴对称的性质可知，，
，
，
可以假设，，则，
在中，，
，
负根已经舍去，
；

解：如图中，设，
在中，，

，
总成立，
，
．

【解析】欲证明，只要证明即可；
如图中，过点作于点，则四边形是矩形，设，在中，，构建方程求出，即可判断；
由轴对称的性质可知，，则，推出，推出可以假设，，则，在中，，构建方程，可得结论；
利用勾股定理求出与，的关系，再结合已知条件，构建关系式可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．