2021-2022学年江苏省南京九中高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京九中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）化简　　

A． B． C． D．

2．（5分）　　

A． B． C．1 D．

3．（5分）的值等于　　

A．0 B． C． D．

4．（5分）下列说法正确的是　　

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥             

C．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 

D．分别在两个平面内的两条直线是异面直线

5．（5分）已知，，且，则向量在向量上的投影向量为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知角满足，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，和点．若点在的角平分线上，且，则　　

A． B． C．2 D．6

8．（5分）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，则的面积为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列化简正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

10．（5分）下列命题中正确的是　　

A．设，是非零向量，若，则 

B．设，为复数，若，则 

C．设，，为向量，，若，则 

D．设，，为复数，，若，则

11．（5分）在中，下列说法正确的有　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

12．（5分）已知，则下列说法正确的是　　

A．若的最小正周期为，则 

B．若在内无零点，则 

C．若在内单调，则 

D．若时，直线是函数图象的一条对称轴

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）如图，直观图△表示的平面图形是 　　（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），若△的面积是1，则的面积是 　　．

14．（5分）计算　　．

15．（5分）在中，若，则　　．

16．（5分）已知中，，，，点在直线上，且满足，则　　．66666666666

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，在正方体，，分别为线段，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与的所成角．

18．（12分）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值．

19．（12分）在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）若，求．

20．（12分）在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．

（1）若，求的值．

（2）求的取值范围：

（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．

21．（12分）已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，，且，求的值．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知．

（1）求角的大小及的取值范围；

（2）设是上一点，且，，求的最大值．

2021-2022学年江苏省南京九中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）化简　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式．

故选：．

2．（5分）　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：．

故选：．

3．（5分）的值等于　　

A．0 B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

4．（5分）下列说法正确的是　　

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥             

C．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 

D．分别在两个平面内的两条直线是异面直线

【解答】解：对于，上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱，有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，反例如图：

对于，当以直角三角形的斜边为轴旋转时，所得几何体不是圆锥，故错误；

设直线，，两两相交于，，三点，则，，不共线，故确定一个平面，记作平面，由于直线，，上都有两个不同点都在平面内，这三条直线都在平面内，故正确；

对于，分别在两个平面内的直线可能平行，也可能相交，不一定异面，反例如图：

直线，分别在平面，内，可以相交于两平面的交线上的一点，故错误；

故选：．

5．（5分）已知，，且，则向量在向量上的投影向量为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设与的夹角为，

则，

向量在上的投影向量为．

故选：．

6．（5分）已知角满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

所以，

则．

故选：．

7．（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，和点．若点在的角平分线上，且，则　　

A． B． C．2 D．6

【解答】解：点，可知与轴正方向所角为，如图

点，和点

那么，，余弦定理可得，

点在的角平分线上，且，

那么，

可得的坐标为，

，；

另解：因为，

，；

故选：．

8．（5分）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，则的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设小正三角形的边长为，

因为，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，

可得，

所以，

解得，或（舍去），

所以，

在中，由余弦定理可得，

所以．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列化简正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：，故对，

，故错，

，故对，

，故对，

故选：．

10．（5分）下列命题中正确的是　　

A．设，是非零向量，若，则 

B．设，为复数，若，则 

C．设，，为向量，，若，则 

D．设，，为复数，，若，则

【解答】解：对于选项：

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

即，

所以选项正确；

对于选项：

令，，，，，

所以，

，

由得，

所以整理得，

即，

所以不一定为0，

例如，，，，但（c）不为0，

故该选项错误；

对于选项：

因为，

，

说明与向量互相垂直，但不一定成立，

故该选项错误；

对于选项：

令，，，，，，设，

则，

则，

若，

则，

整理得，

因为，

所以，

所以，

所以，

即．

故选：．

11．（5分）在中，下列说法正确的有　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：选项，因为，所以，由正弦定理知，，所以，即选项正确；

选项，取，，则，，

有，即选项错误；

选项，函数在上单调递减，因为，所以，即选项正确；

选项，因为，所以，所以，

所以，即，故选项正确．

故选：．

12．（5分）已知，则下列说法正确的是　　

A．若的最小正周期为，则 

B．若在内无零点，则 

C．若在内单调，则 

D．若时，直线是函数图象的一条对称轴

【解答】解：函数，

对于：当时，的最小正周期为，由于函数的周期减半，则最小正周期为，故错误；

对于：令，，由于，所以，

由于在内无零点，是的零点，

所以，

故，故正确；

对于：由于在上单调递增，所以，

所以，故正确；

对于：当时，函数，故直线是函数的一条对称轴，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）如图，直观图△表示的平面图形是 　直角三角形　（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），若△的面积是1，则的面积是 　　．

【解答】解：把直观图△还原为平面图形，因为平行于轴轴的性质不变，所以是直角三角形，

若△的面积是1，则的面积是．

故答案为：直角三角形；．

14．（5分）计算　　．

【解答】解：

．

故答案为：．

15．（5分）在中，若，则　1　．

【解答】解：设中角，，分别对应边，，，

因为，所以，

即，则，

由正弦定理可得，

两式相除可得，

设，，，

则，

故答案为：1．

16．（5分）已知中，，，，点在直线上，且满足，则　　．66666666666

【解答】解：，

，且，，三点共线，

，，

，且，

．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，在正方体，，分别为线段，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与的所成角．

【解答】解：（1）取中点，中点，

连接，，，，，

由题意可得四边形为平行四边形，

则，

又不在平面中，

面，

则平面；

（2）连接，，

则连接，

由（1）可得：（或其补角）为异面直线与的所成角的平面角，

又△为正三角形，则，

即异面直线与的所成角为．

18．（12分）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值．

【解答】解：（Ⅰ）设，，，．

由题意：．①

，

得，，②

①②联立，解得．；

得．

（Ⅱ）；

由题意可知；

解得．

19．（12分）在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）若，求．

【解答】解：（1）在中，由正弦定理知，，

所以，即，

因为，所以，

所以．

（2）由（1）知，，

因为，所以，

在中，由余弦定理知，，

所以．

20．（12分）在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．

（1）若，求的值．

（2）求的取值范围：

（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．

【解答】解：（1），

，即，

，

又，

，

；

（2）在中，，，，

，

，

设，由题意，，，

，

又，，

，即的取值范围为；

（3）为线段的中点，

，

直线与相交于点，不妨设，

，

因此，

又，故，

因此，

，解得，

．

21．（12分）已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，，且，求的值．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以，

所以，即．

（2）因为，，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，且，

所以，

因为，所以．

因为，所以．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知．

（1）求角的大小及的取值范围；

（2）设是上一点，且，，求的最大值．

【解答】解：（1），

，

，

，

故，

故，

，

，

，

，，

，；

即的取值范围为，；

（2），

，

即，

又，

，

即，

设，，

（其中

当时，有最大值．

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