2023年江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校中考数学零模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校中考数学零模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  有一组数据：，，，，，这组数据的平均数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  苏州是全国重点旅游城市，年实现旅游总收入约为万元，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为(    )
 

A.
B.
C.
D.

5.  上学期某班的学生都是双人桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生人，女生人，根据题意可得方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次假设飞镖落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在矩形中，点的坐标，点的纵坐标是，则，两点的坐标分别是(    )

 

A. 、 B. 、
C. 、 D. 、

8.  如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，，当点的位置变化时，长的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：______．

10.  如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接若，则的度数是______

11.  年南京青奥会某项目名礼仪小姐的身高如下单位：：，，，，，，则她们身高的极差是______．

12.  若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______．

13.  定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为______．

14.  若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是          ．

15.  如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形若图象经过点的反比例函数的解析式是，则图象经过点的反比例函数的解析式是______．

16.  如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点右侧成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为：，则风车叶片转动时，叶片外端离地面的最大高度等于        米
 

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
四张扑克牌的点数分别是，，，，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．
从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；
随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．

21.  本小题分
小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

22.  本小题分
第届冬奥会于年月日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理得分用表示：
：，：，：，
：，：，：，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩组的全部数据如下：
，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
______，______；
八年级测试成绩的中位数是______；
若测试成绩不低于分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴正半轴相交于点，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点作轴，垂足为，．
求一次函数的表达式；
已知点满足，求的值．

24.  本小题分
如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，的长为半径作半圆，交于点．
求证：是的切线；
若点是的中点，，求图中阴影部分的面积；
在的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，求出的长．

25.  本小题分
李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过箱；当购买箱时，批发价为元千克，每多购买箱，批发价每千克降低元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为元千克时，每天可销售箱；售价每千克降低元，每天可多销售箱．
请求出这种水果批发价元千克与购进数量箱之间的函数关系式；
若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

26.  本小题分
已知抛物线与轴交于，两点．
直接写出抛物线的函数解析式；
如图，是抛物线顶点，点在抛物线上，若直线经过外接圆的圆心，求点的横坐标；
如图，点是第一象限内抛物线上的一动点，连接分别交、轴于、两点，若、的面积分别为、，求的最大值；
点是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，请直接求出点的坐标．
 

27.  本小题分
综合与实践
问题情境：在中，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
猜想证明：
如图，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
如图，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则：．
按照二次根式的乘法法则求解．
【解答】
解：．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平均数的意义与求解方法，关键是把给出的这个数据加起来，再除以数据个数．
把给出的这个数据加起来，再除以数据个数，就是此组数据的平均数．
【解答】
解：

，
则这组数据的平均数是．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】
解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，可以得到，根据本学期该班新转入个男生后，男女生刚好一样多，可得，从而可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】
解：总面积为，其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：如图过点、作轴的垂线垂足分别为、过点作轴的垂线交、
点坐标，点纵坐标为，
，，，
，，
，
，
∽，
，
，点坐标，
≌，≌，
，，，，，
点坐标，
故选C．
如过点、作轴的垂线垂足分别为、过点作轴的垂线交、根据∽，≌，≌解决问题．
本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质，添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，如图：

，，
，
，
四边形是矩形，
，
折叠该菱形，使点落在边上的点处，
，，，
≌，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
的最大值为，
故选：．
连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论．
本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：．
先根据切线的性质得，再利用互余计算出，由圆周角定理得出，即可得解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：人中身高最高的为，最矮的有；
极差是：；
故答案为：．
用最大值减去最小值即可得出答案．
此题考查了极差，求极差的方法是最大值减去最小值．
 

12.【答案】 

【解析】解：扇形的圆心角为，半径为，
它的弧长为：，
故答案为：．
根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：设的中点是，过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时最大，过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小，

如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
；
如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
；
的取值范围为．
故答案为：．
由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，最大，过正方形的顶点时，最小，分别求出的值即可得出答案．
本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出最大、最小时点的位置是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
由题意可知，根据的范围即可确定的范围．
【解答】
解：，
二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线，
到轴的距离小于，
，
而，
当，，
当时，，
的取值范围是，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点．

，
可以假设，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
点在上，
，
同法可证≌，
，，
，
设经过点的反比例函数的解析式为，则有，
，
经过点的反比例函数的解析式是．
故答案为：．
如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点由，可以假设，，利用全等三角形的性质分别求出，，可得结论．
本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于，过作于，则，

由题意可得，
，
，，
，
，
，
，
，
；
设，则，
，
，
，
，即，
，
以点为圆心，的长为半径作圆，当与共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于米．
故答案为：
作平行线，根据平行线分线段成比例定理可知，由与影子的比为：，可得的长，同法由等角的正弦可得的长，从而得结论．
本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】根据实数的混合运算法则、绝对值的定义、特殊角的正切值、零指数幂解决此题．
本题主要考查实数的混合运算、绝对值、特殊角的正切值、零指数幂，熟练掌握实数的混合运算法则、绝对值的定义、特殊角的正切值、零指数幂是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：由，解得，
由，解得，
所以不等式组的解集为． 

【解析】首先分别求出每一个不等式的解集，然后确定它们解集的公关部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
，
，
则原式． 

【解析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：因为共有张牌，其中点数是偶数的有张，
所以这张牌的点数是偶数的概率是；

列表如下：

从上面的表格可以看出，总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好两张牌的点数都是偶数有种，
所以这两张牌的点数都是偶数的概率为． 

【解析】利用数字，，，中一共有个偶数，总数为，即可得出点数偶数的概率；
列表得出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：赞成小洁的说法，补充条件：，证明如下：
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．
 

22.【答案】解：；



人，
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 

【解析】解：由题意得：人，
故，
解得，
故答案为：；；
把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数为，
故答案为：；


人，
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人．
根据八年级组人数及其所占百分比即可得出的值，用的值分别减去其它各组的频数即可得出的值．
根据中位数的定义解答即可．
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识．
 

23.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，解得：，
，
轴，
，，
，
，
，
把点，代入中，
，
解得，
一次函数的表达式为；
在中，，
，
当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧时，，
的值为． 

【解析】将点坐标代入反比例函数表达式求出，再求得点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
由勾股定理求出的长，再根据且在轴上，分类讨论得的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的表达式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：过作于，如图：

，，
平分，
，，
，
为半径，
为半径，
是的切线；
解：，且是中点，
，
在中，，
，
，，，
，，
，
；
解：作关于的对称点，连接交于，连接，如图：

此时最小，最小值为的长度，
、关于对称，
，
，即、、共线，
由知，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
而中，，
． 

【解析】过作于，由，，得平分，即有，从而可得为半径，故AC是的切线；
由，且是中点，得，，即得，根据，，，可得，即得，从而；
解：作关于的对称点，连接交于，连接，此时最小，最小值为的长度，根据、关于对称，可证、、共线，由知，，即得，，故，是等边三角形，，而中，，从而可得．
本题考查圆的综合应用，涉及切线的判定、等边三角形的性质及判定、三角形及扇形的面积、“将军饮马”问题等知识，解题的关键是熟练掌握“将军饮马”模型问题的解决方法．
 

25.【答案】解：根据题意得：，
答：这种水果批发价元千克与购进数量箱之间的函数关系式为；
设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为元，
答：李大爷每天应购进这种水果箱，才能使每天所获利润最大，最大利润元． 

【解析】根据当购买箱时，批发价为元千克，每多购买箱，批发价每千克降低元得：，
设李大爷每天所获利润是元，由总利润每千克利润销量得，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果箱，才能使每天所获利润最大，最大利润元．
本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
如图，

，
，
把代入，得，
，
，
，，，
，
，
是外接圆的直径，
设的中点为，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
解得：，，
点的横坐标为；
如图，过点作轴于，
设点的坐标为，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
，






，
，
当时，有最大值是；
如图，作的外接圆，作轴，连接，，，则，则，
当最大时，最大，

，
当最小时，最小，此时最大，
即当抛物线的对称轴时，最小，
此时，
，
在中，，
，
根据对称性，则存在，
综上所述，或 

【解析】利用待定系数法即可得出答案；
把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得的坐标，进一步求得点的坐标，令即可求得的坐标，利用勾股定理的逆定理可得，可知是直径，设的中点为，计算的解析式，联立二次函数的解析式可得点的坐标；
如图，过点作轴于，设点的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为：，令可得的长，根据并结合二次函数最值可得答案；
作的外心，作轴，可得是定值，根据圆周角定理可得，依题意可知：直线时，的值最大，根据勾股定理和对称性可得答案．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，勾股定理的应用，垂线段最短，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

27.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
如图，过点作于，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，连接，，过点作于，

，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．