2022年江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2022年江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校中考数学二模试卷(含答案)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校中考数学二模试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（　　）
A． B． C．π D．﹣
2．（3分）最小刻度为0.2nm（1nm＝10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为（　　）
A．2×10﹣8m B．2×10﹣11m C．2×10﹣9m D．2×10﹣10m
3．（3分）下列等式成立的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a•a3＝a3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝4a6
4．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，若∠1＝70°，则∠GFE的度数为（　　）

A．60° B．45° C．55° D．70°
5．（3分）把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割．介于整数n和n+1之间，则n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）2022年北京冬奥会的比赛场馆分布在3个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为166km，高速公路里程为178km．已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用h，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度为xkm/h，；则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）

A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．（3分）如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O交点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣ B．π C．π﹣ D．π﹣
二、填空题（每题3分，共8小题，满分24分）
11．（3分）若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）分解因式：2a2﹣18＝　 　．
13．（3分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是　 　℃．

14．（3分）阅读：设实验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，用A表示事件：“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）＝，在桌面上放了一张50cm×50cm的正方形白纸ABCD，⊙O是它的内切圆，小明随机地将1000粒大米撒到该白纸上，其中落在圆内的大米有800粒，由此可得圆周率π的值为 　 　．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝70°，过A，B，C三点的圆交AD的延长线于点E，连结BE，则∠ABE＝　 　度．

16．（3分）如图，已知点A，B是函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO交BN于点E，若NE＝NB，四边形AMNE的面积为3，则k的值为 　 　．

17．（3分）已知三个实数a，b，c，满足a+2b+3c＝9，2a﹣b﹣4c＝﹣2，且a≥0，b≥0，c≥0，则4a+3b+c的最小值为 　 　．
18．（3分）如图，折线AB﹣BC中，AB＝3，BC＝5，将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC＝　 　．

三、解答题（共10题，满分76分）
19．（5分）计算：﹣|﹣4|+（π﹣3）0．
20．（5分）解不等式：．
21．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
22．（6分）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌的真实历史．为纪念历史，缅怀先烈，我校团委将电影中的四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）若从中任取一张卡片，取出的卡片上是英雄人物“伍千里”的概率为 　 　；
（2）小强从中任取一张卡片，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张卡片．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．

23．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”，四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m%＝　 　%，n%＝　 　%；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？

24．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．

25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F；
①求证：CA＝CF；
②当BD＝5，CD＝4时，请直接写出BF的长为 　 　．

26．（10分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点O.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．

27．（10分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

28．（10分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2．若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．


2022年江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（　　）
A． B． C．π D．﹣
【分析】根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．
【解答】解：A、是有理数，故A符合题意；
B、是无理数，故B不符合题意；
C、π是无理数，故C不符合题意；
D、﹣是无理数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2．（3分）最小刻度为0.2nm（1nm＝10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为（　　）
A．2×10﹣8m B．2×10﹣11m C．2×10﹣9m D．2×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.2nm＝0.2×10﹣9m＝2×10﹣10m．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列等式成立的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a•a3＝a3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝4a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
B．a•a3＝a4，故本选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不合题意；
D．（﹣2a3）2＝4a6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式以及积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，若∠1＝70°，则∠GFE的度数为（　　）

A．60° B．45° C．55° D．70°
【分析】由平角的定义可求解∠CEG的度数，结合角平分线的定义可求∠CEF得度数，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：∵∠1+∠CEG＝180°，∠1＝70°，
∴∠CEG＝110°，
∵EF平分∠CEG，
∴∠CEF＝∠CEG＝55°，
又∵AB∥CD，
∴∠GFE＝∠CEF＝55°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是利用平行线的性质确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系．
5．（3分）把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割．介于整数n和n+1之间，则n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据黄金分割比为≈0.618，求解即可．
【解答】解：∵≈0.618，介于整数n和n+1之间，
∴n的值是0；
故选：A．
【点评】此题考查了黄金分割，树立黄金分割比≈0.618是解题的关键．
6．（3分）2022年北京冬奥会的比赛场馆分布在3个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为166km，高速公路里程为178km．已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用h，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度为xkm/h，；则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由“复兴号”列车和汽车的平均速度之间的关系，可得出“复兴号”列车的平均速度为3xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用h，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，汽车的平均速度为xkm/h，
∴“复兴号”列车的平均速度为3xkm/h．
依题意得：﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）

A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点C作CN⊥FG交AB，FG于点M，N，由题意可证明△ACP∽△ICQ，可得＝＝，设AC＝3x，则BC＝4x，可得AB＝5x，然后由三角形面积可得CM＝x，再根据MK∥NG，平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CN⊥FG交AB，FG于点M，N，

由题意可知：∠CAP＝∠CIQ＝90°，
∵∠ACP＝∠ICQ，
∴△ACP∽△ICQ，
∴＝＝，
设AC＝3x，则BC＝4x，
∴AB＝＝5x，
∴MN＝AF＝AB＝5x，
∵CM⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝x，
∵MK∥NG，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACP∽△ICQ．
9．（3分）在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x＝与直线x＝之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【解答】解：∵y＝ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＜0，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝之间，
即＜﹣＜，
∴点（2，y2）与对称轴距离最近，点（4，y3）与对称轴距离最远，
∴y2＜y1＜y3．
解法二：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴3a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
∴y3＞y1，
∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O交点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣ B．π C．π﹣ D．π﹣
【分析】延长BC，CD，DE，EF交⊙O于N，J，K，H，过O作OQ⊥CD，根据圆和正六边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长BC，CD，DE，EF交⊙O于N，J，K，H，过O作OQ⊥CD，
∵正六边形ABCDEF的中心为O，
∴∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴CQ＝CD＝1，∠COQ＝∠COD＝30°，
∴OC＝2CQ＝2，
在Rt△OCQ中，
OQ＝＝＝，
∴S△OCD＝CD•OQ＝，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OCD＝6，
∴图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正六边形ABCDEF）＝•（9π﹣6）＝π﹣，
故选：B．

【点评】本题考查了圆面积的计算，正六边形的性质，正确作出辅助线和正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共8小题，满分24分）
11．（3分）若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥0　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：若式子﹣2在实数范围内有意义，
则x的取值范围是：x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．（3分）分解因式：2a2﹣18＝　2（a+3）（a﹣3）　．
【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）
＝2（a+3）（a﹣3）．
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
13．（3分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是　15.6　℃．

【分析】根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2＝15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
故答案为：15.6．
【点评】此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
14．（3分）阅读：设实验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，用A表示事件：“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）＝，在桌面上放了一张50cm×50cm的正方形白纸ABCD，⊙O是它的内切圆，小明随机地将1000粒大米撒到该白纸上，其中落在圆内的大米有800粒，由此可得圆周率π的值为 　3.2　．
【分析】根据题意可得：＝，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝，
解得：π＝3.2，
故答案为：3.2．
【点评】本题考查了概率的意义，三角形的内切圆与内心，几何概率，利用概率的意义列出相应的方程是解题的关键．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝70°，过A，B，C三点的圆交AD的延长线于点E，连结BE，则∠ABE＝　75　度．

【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，OE，根据题意证明△AOB≌△BOC，然后证明∠EBO＝20°，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OE，
∴OA＝OB＝OC＝OE，

在菱形ABCD中，AD∥BC，AB＝CB，
∴∠ABC＝180°﹣∠EAB＝180°﹣70°＝110°，
在△AOB和△BOC中，
，
∴△AOB≌△BOC（SSS），
∴∠OBA＝∠OBC，
∴∠OBA＝∠OBC＝∠OAB＝∠OCB＝ABC＝55°，
∵OA＝OE，OB＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，∠OBE＝∠OEB，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA＝180°，
∴2∠EAO+2∠EBO+2∠OAB＝180°，
∴∠EAO+∠EBO+∠OAB＝90°，
∵∠EAO+∠OAB＝70°，
∴∠EBO＝20°，
∴∠ABE＝∠EBO+∠OBA＝20°+55°＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是得到△AOB≌△BOC．
16．（3分）如图，已知点A，B是函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO交BN于点E，若NE＝NB，四边形AMNE的面积为3，则k的值为 　9　．

【分析】先设点B坐标为（a，b），用a、b表示出△OEN的面积，再根据四边形AMNE的面积求得k的值便可．
【解答】解：设点B坐标为（a，b），则ON＝a，BN＝b，k＝ab，
∵NE＝NB，
∴NE＝b，
∵＝ab＝，
∵AM⊥x轴于M，
∴，
∵四边形AMNE的面积为3，
∴k﹣k＝3，
解得k＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法，根据△OAM与△OEN的面积差为四边形AMNE的面积列出方程求解．
17．（3分）已知三个实数a，b，c，满足a+2b+3c＝9，2a﹣b﹣4c＝﹣2，且a≥0，b≥0，c≥0，则4a+3b+c的最小值为 　17　．
【分析】有两个已知等式a+2b+3c＝9，2a﹣b﹣4c＝﹣2，可用其中一个未知数表示另两个未知数得，然后由条件：a、b、c均是非负数，可求出第一个未知数c的取值范围，代入m＝3a+b﹣7c，即可得解．
【解答】解：联立，
解得，
由题意知：a、b、c均是非负数，
则，
解得﹣1≤c≤2，
所以4a+3b+c
＝4（1+c）+3（4﹣2c）+c
＝4+4c+12﹣6c+c
＝16﹣c
当c＝﹣1时，4a+3b+c有最小值，即4a+3b+c＝16﹣（﹣1）＝17．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查不等式的性质、解三元一次方程组、代数式求值，涉及的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．
18．（3分）如图，折线AB﹣BC中，AB＝3，BC＝5，将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC＝　　．

【分析】连接AC，AE，过点A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，可证四边形AFCH是矩形，可得AF＝CH，由旋转的性质可得AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得AC＝AE，由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF＝，AF＝，由三角函数可求解．
【解答】解：如图，连接AC，AE，过点A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，

∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC，
∴四边形AFCH是矩形，
∴AF＝CH，
∵将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，
∴AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AC＝AE，
∵AC＝AE，AB＝AD，AF⊥BC，AH⊥EC，
∴BF＝DF，CH＝EH，
∵AB2＝AF2+BF2，DE2＝DC2+CE2，
∴9＝AF2+BF2，25＝（5﹣2BF）2+4AF2，
∴BF＝，AF＝，
∴EC＝2CH＝2AF＝，CD＝5﹣2×＝，
∴tan∠EDC＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BF，AF的长是本题的关键．
三、解答题（共10题，满分76分）
19．（5分）计算：﹣|﹣4|+（π﹣3）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：﹣|﹣4|+（π﹣3）0
＝3﹣4+1
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．（5分）解不等式：．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
【解答】解：，
去分母得：6﹣2（x﹣1）＞3（x+1），
去括号得：6﹣2x+2＞3x+3，
移项，合并同类项得：﹣5x＞﹣5，
系数化为1得：x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
21．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的减法和乘除法运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝x+1，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+1＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题时要掌握分式减法和乘除法的法则，利用因式分解进行化简．
22．（6分）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌的真实历史．为纪念历史，缅怀先烈，我校团委将电影中的四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）若从中任取一张卡片，取出的卡片上是英雄人物“伍千里”的概率为 　　；
（2）小强从中任取一张卡片，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张卡片．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若从中任取一张卡片，取出的卡片上是英雄人物“伍千里”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，
∴小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”，四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m%＝　36　%，n%＝　16　%；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？

【分析】（1）根据参加书法的人数和所占的百分比，可以计算出参加这次问卷调查的学生人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出农户参加航模的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出m、n的值；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少名．
【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%＝150（人），
航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），
补全图形如下：

（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，
即m＝36，n＝16，
故答案为：36、16；
（3）1200×16%＝192（名）．
答：该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有192人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．

【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再证出∠AEF＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝2，AC＝2OE＝4，然后由勾股定理求出OB＝3，则BD＝2OB＝6，最后由菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，
∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，
即×6×4＝13×AE，
解得：AE＝12．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F；
①求证：CA＝CF；
②当BD＝5，CD＝4时，请直接写出BF的长为 　3　．

【分析】（1）欲证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；
（2）由圆周角、弧、弦间的关系即可推出CA＝CF；
（3）通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC．得CF，再求得DF，便可求得BF．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABC+∠DAB＝90°．
∵∠DAC＝∠AED，∠AED＝∠ABC，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵∠DAC+∠DAB＝90°，∠ABC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC．
∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，
∴∠CFA＝∠CAF．
∴CA＝CF；
②解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴．即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36．
解得AC＝6．
∴CA＝CF＝6，
∴DF＝CA﹣CD＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
26．（10分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点O.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．

【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可；
（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，
即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
如图所示，

新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，

∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
【点评】本题考查二次函数的应用、轴对称以及平移等知识，关键是利用平移后的函数对称轴，函数的增减性求m的取值范围．
27．（10分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

【分析】（1）根据销售记录每升利润为1元，所以销售利润为4万元时销售量为4万升；
（2）设BC所对应的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），求出图象中B点和C点的坐标代入关系式中即可．
（3）判断利润率最大，应该看倾斜度．
【解答】解：解法一：
（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5﹣4）＝4（万升）．
答：销售量x为4万升时销售利润为4万元；

（2）点A的坐标为（4，4），从13日到15日销售利润为5.5﹣4＝1.5（万元），
所以销售量为1.5÷（5.5﹣4）＝1（万升），所以点B的坐标为（5，5.5）．
设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，则解得
∴线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x﹣2（4≤x≤5）．
从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5+4×（5.5﹣4.5）＝5.5（万元）．
∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5＝11（万元），所以点C的坐标为（10，11）．
设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx+n，则解得
所以线段BC所对应的函数关系式为y＝1.1x（5≤x≤10）；

（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．

解法二：
（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y＝（5﹣4）x，即y＝x（0≤x≤4）．
当y＝4时，x＝4．
答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．

（2）设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则解得
∴线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x﹣2（4≤x≤5）．
设BC所对应的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵截止至15日进油时的销售利润为5.5万元，
且13日油价调整为5.5元/升，
∴5.5＝4+（5.5﹣4）x，
x＝1（万升）．
∴B点坐标为（5，5.5）．
∵15日进油4万升，进价4.5元/升，
又∵本月共销售10万升，
∴本月总利润为：
y＝5.5+（5.5﹣4）×（6﹣4﹣1）+4×（5.5﹣4.5）
＝5.5+1.5+4
＝11（万元）．
∴C点坐标为（10，11）．
将B点和C点坐标代入y＝kx+b得方程组为：
，
解得：．
故线段BC所对应的函数关系式为：y＝1.1x．（5≤x≤10）．

（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．
【点评】这是一道分段函数难度中上的考题，主要考查从图表获取信息和利用一次函数解决实际问题的能力．本题的关键是要仔细审题，找出数量变化与对应函数图象的关系，思考：线段AB，OA，BC对应的函数有哪些不同其根本原因是每升的成本，利润的变化，导致销售量的变化，正确计算出三种情形中的每升利润，是解决这一分段函数的重中之重．
28．（10分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2．若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

【分析】（1）由角平分线求出∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，再证出∠OAP＝∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例，得出OP2＝OA•OB，即可得出结论；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP＝∠OPB，即可得出∠APB＝180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB＝OB•AH，即可得出S△AOB＝2sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：＝，得出OB＝3b，OA＝，求出OA•OB＝，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB＝CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，得出OA•OB＝，求出OP，即可得出点P的坐标．
【解答】（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝135°，
∵∠APB＝135°，
∴∠APO+∠OPB＝135°，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴，
∴OP2＝OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；
（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA•OB＝OP2，
∴，
∵P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝α，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°﹣α，
即∠APB＝180°﹣α；
过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：
则S△AOB＝OB•AH＝OB•OAsinα＝OP2•sinα，
∵OP＝2，
∴S△AOB＝2sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：
BC＝2CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：
∵BC＝2CA，
∴，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴OB＝3b，OA＝，
∴OA•OB＝•3b＝＝，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：
∵BC＝2CA，
∴AB＝CA，
在△ACH和△ABO中，
，
∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，
∴OA•OB＝a•b＝，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为：（，），或（，﹣）．




【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似和三角形全等才能得出结果．
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