2023年江苏省苏州市工业园区星湾中学中考数学零模试卷（含答案）

这是一份2023年江苏省苏州市工业园区星湾中学中考数学零模试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市工业园区星湾中学中考数学零模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。）
1．（3分）计算的结果为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a8 D．3a2+4a3＝7a5
3．（3分）以下调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解全市同学每周睡眠的时间
B．调查一批灯管的使用寿命
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
4．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ADC＝50°，AD平分∠BAC，则∠ACD的度数是（　　）

A．110° B．100° C．120° D．130°
5．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝39°，∠2＝46°，则∠3的度数为（　　）

A．46° B．89° C．95° D．134°
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（　　）

A． B．8 C．6 D．
7．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）

A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC•OD＝16
8．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（　　）

A．5 B．10 C．5 D．10
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）有理数的相反数是 　 　．
10．（3分）数据8，9，10，11，12的方差S2为　 　．
11．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜3，则a的取值范围是 　 　．
12．（3分）如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同事闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 　 　．

13．（3分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝　 　．

14．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　．
15．（3分）如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O，P是边CD靠近点D的四等分点，连接PA，PB分别交BD，AC于M，N．连接MN，则的值是 　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中AB＝8，AD＝6，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：2tan45°+4sin30°•cos60°﹣（﹣）0．
18．（5分）解方程：3（2x﹣3）2＝2（2x﹣3）．
19．（8分）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“A优秀：90≤x≤100；B良好：75≤x≤89；C合格60≤x≤74；D不合格：x＜60”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 　 　名学生；
（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为 　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
20．（6分）某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．
（1）求甲小组第一个展示的概率；
（2）用列举法（画树状图或列表）求丙小组比甲小组先展示的概率．
21．（6分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

22．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．


23．（8分）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长．

24．（8分）某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件．公司规定：售价不超过70元．
（1）若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元？
（2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元？
25．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝40cm，BC＝45cm，

（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO＝　 　°；
②投影探头的端点D到桌面OE的距离　 　．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，∠ABC＝30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
26．（10分）如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E，交△ABC的外接圆于点D、边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）若AC＝5，BC＝6，AB＝7．求的值；
（3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P'重合，则tan∠BAC＝　 　．

27．（12分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形ABCD中，AB＝CD、AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB，CD称为腰，另两边AD，BC称为底
【提出问题】
（1）如图2，△ABC与△DEC都是等腰直角三角形．∠ACB＝∠DCE＝90°，135°＜∠AEC＜180°．求证：四边形BDEA是“等垂四边形”；
【拓展探究】
（2）如图3，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，点M、N分别是AD，BC的中点，连接MN．已知腰AB＝5，求MN的长；
【综合运用】
（3）如图4，四边形ABCD是“等垂四边形”，AB＝CD＝4，底BC＝9，则较短的底AD长的取值范围为 　 　．


2023年江苏省苏州市工业园区星湾中学中考数学零模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。）
1．（3分）计算的结果为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
【解答】解：＝＝2，
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a8 D．3a2+4a3＝7a5
【解答】解：A、2a2•3a＝6a3，故A符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故B不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、3a2与4a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
3．（3分）以下调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解全市同学每周睡眠的时间
B．调查一批灯管的使用寿命
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【解答】解：A．了解全市同学每周睡眠的时间，适合全面调查，故本选项符合题意；
B．调查一批灯管的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ADC＝50°，AD平分∠BAC，则∠ACD的度数是（　　）

A．110° B．100° C．120° D．130°
【解答】解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝50°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝140°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAC＝110°，
故选：A．
5．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝39°，∠2＝46°，则∠3的度数为（　　）

A．46° B．89° C．95° D．134°
【解答】解：如图：

∵l1∥l2，∠1＝39°，
∴∠1＝∠4＝39°，
∵∠2＝46°，
∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝95°，
故选：C．

6．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（　　）

A． B．8 C．6 D．
【解答】解：如图，作MN⊥BC于点N，
由折叠可得：△ABE≌△AFE．
∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AME＝∠CEM，
又MN⊥BC，
∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，
在△AFM和△MNE中，
，
∴△AFM≌△MNE（AAS）．
∴AM＝ME，
设MF＝x，则AM＝ME＝x+2，
在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，
即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．
故MF＝8．
故选：B．

7．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）

A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC•OD＝16
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，
∴B（5，4）．
故A无误；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，

则BE＝4，AB＝5，
∵AB∥x轴，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∴∠ACO＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝5，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，
∴C（8，0），
∵对称轴为直线x＝，
∴D（﹣3，0）
∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，
∴AD＝5，
∴AB＝AD，
故B无误；
设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），
将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），
∴a＝﹣，
故C无误；
∵OC＝8，OD＝3，
∴OC•OD＝24，
故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．
8．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（　　）

A．5 B．10 C．5 D．10
【解答】解：以A为顶点，AC为一边在下方作∠CAM＝45°，过P作PF⊥AM于F，过B作BD⊥AM于D，交AC于E，如图：

BP+AP＝（BP+AP），要使BP+AP最小，只需BP+AP最小，
∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴FP＝AP，
∴BP+AP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BP+AP最小值是线段BD的长度，
∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，
∴∠AED＝∠BEC＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴sin∠BEC＝sin45°＝，tan∠BEC＝，
又BC＝4，
∴BE＝4，CE＝4，
∵AC＝6，
∴AE＝2，
而sin∠CAM＝sin45°＝，
∴DE＝，
∴BD＝BE+DE＝5，
∴BP+AP的最小值是BD＝10，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）有理数的相反数是 　　．
【解答】解：有理数的相反数是．
故答案为：．
10．（3分）数据8，9，10，11，12的方差S2为　2　．
【解答】解：数据8，9，10，11，12的平均数＝（8+9+10+11+12）＝10；
则其方差S2＝（4+1+1+4）＝2．
故答案为：2．
11．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜3，则a的取值范围是 　a≥3　．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＜3，
∴a≥3．
故答案为：a≥3．
12．（3分）如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同事闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 　　．

【解答】解：∵闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，
∴任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，
∴小灯泡发光的概率等于：．
13．（3分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝　　．

【解答】解：连接OB，设切点为D，连接OD，则OD⊥BC，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，
∴tan∠OBC＝，
∴BD＝＝＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，
∴tan∠OCB＝＝．
故答案为．

14．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，则m＝　﹣1　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴b2﹣4ac＝0，
即m2﹣4×m×（﹣）＝0，
解得：m＝0或m＝﹣1，
当m＝0时，
原方程不是一元二次方程，不符合题意，故舍去，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（3分）如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O，P是边CD靠近点D的四等分点，连接PA，PB分别交BD，AC于M，N．连接MN，则的值是 　　．

【解答】解：设正方形ABCD的边长为4x，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AB∥CD，AC⊥BD，AC＝BD＝4x，OA＝OB＝OC＝OD＝2x，
∵P是边CD上靠近点D的三等分点，
∴DP＝x，PC＝3x，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△PMD，
∴＝，
∴MB＝3DM，且DM+MB＝BD＝4x，
∴DM＝x，OM＝x，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴AN＝CN，
∴AN＝x，CN＝x，
∴ON＝x，
∴S△OMA＝×2x×x＝x2，S△ONB＝×2x×x＝x2，
∴＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中AB＝8，AD＝6，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 　3　．

【解答】解：如图，过点A作AF⊥BD于F，
∵BD是矩形的对角线，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝＝10，
∵AB•AD＝BD•AF，
∴AF＝，
∵BD是⊙C的切线，
∴⊙C的半径为 ，
过点P作PE⊥BD于E，
∴∠AFT＝∠PET，
∵∠ATF＝∠PTE，
∴△AFT∽△PET，
∴＝，
∴＝×PE，
∵＝＝1+，
要 最大，则PE最大，
∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，
∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，
∴最大值为1+×＝3，
故答案为：3．

三、解答题（本大题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：2tan45°+4sin30°•cos60°﹣（﹣）0．
【解答】解：2tan45°+4sin30°•cos60°﹣（﹣）0
＝2×1+4××﹣1
＝2+1﹣1
＝2．
18．（5分）解方程：3（2x﹣3）2＝2（2x﹣3）．
【解答】解：3（2x﹣3）2＝2（2x﹣3），
3（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）[3（2x﹣3）﹣2]＝0，
（2x﹣3）（6x﹣11）＝0，
2x﹣3＝0或6x﹣11＝0，
x1＝，x2＝．
19．（8分）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“A优秀：90≤x≤100；B良好：75≤x≤89；C合格60≤x≤74；D不合格：x＜60”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 　120　名学生；
（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为 　54°　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
【解答】解：（1）此次共调查学生：（25+23）÷40%＝120（名），
故答案为：120；
（2），
即扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为54°，
故答案为：54°；
（3）C的女生人数为：120×20%﹣12＝12（名）；
A的男生人数为：120﹣16﹣25﹣23﹣12﹣12﹣10﹣8＝14（名），
将条形统计图补充完整：

（4）1500×＝375（人），
答：估计卫生防疫知识考核优秀的学生约375人．
20．（6分）某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．
（1）求甲小组第一个展示的概率；
（2）用列举法（画树状图或列表）求丙小组比甲小组先展示的概率．
【解答】解：（1）有可能甲小组第一个展示，也有可能乙小组第一个展示，还有可能丙小组第一个展示，
∴甲小组第一个展示的概率是；

（2）画树状图如下：

∴共有6种等可能出现的结果，其中丙小组比甲小组先展示有3种结果，
∴丙小组比甲小组先展示的概率为：＝．
21．（6分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

【解答】解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°，
∴∠BDE＝∠C＝69°．
22．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．


【解答】解：将B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数y＝中，得
，
解得，
∴反比例函数的表达式为y＝；
由于∠PBC＝∠ABC，
则点P关于直线x＝2的对称点P′在直线AB上，
∵n＝4，
∴P（8，1），
∴点P关于直线x＝2的对称点为P′（﹣4，1）
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得，
，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x+3．
23．（8分）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长．

【解答】解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：
如图，连接OM，
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC＝∠CAM，
又∵MC＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴∠OAC＝∠ACM，
∴OA∥MC，
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴，
∵CM是半径，
∴⊙M与x轴相切．
（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
∴AN＝BN＝AB，
∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，
∴四边形MNOC是矩形，
∴NM＝OC，MC＝ON＝10，
设AO＝m，则OC＝12﹣m，
∴AN＝10﹣m，
在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，
∴102＝（10﹣m）2+（12﹣m）2，
解得m＝4或m＝18（舍去），
∴AN＝6，
∴AB＝12．

24．（8分）某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件．公司规定：售价不超过70元．
（1）若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元？
（2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元？
【解答】解：设这次销售中获得利润为W元，售价为x元，依题意得，
W＝（60+x﹣50）（800﹣25x），整理，得W＝﹣25x2+550x+8000
（1）令W＝10800得
10800＝﹣25x2+550x+8000，
整理得，x2﹣22x+112＝0
解得，x1＝8；x2＝14
∵售价不超过70元．
∴x2＝14（不合题意，舍去）
∴此时售价为：60+8＝68元
故这批产品的售价每件应提高8元．
（2）由题意，
W＝﹣25x2+550x+8000
∵a＝﹣25＜0
∴由顶点公式x＝＝＝11，
∵当x＝11时，售价为60+11＝71＞70
∴x≠11，
∴当x＝10有最大利润，此时利润W＝﹣25×102+550×10+8000＝11000
此时定价为：60+10＝70元
故这批产品售价每件应定为70元．
25．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝40cm，BC＝45cm，

（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO＝　160　°；
②投影探头的端点D到桌面OE的距离　36cm　．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，∠ABC＝30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，

∵BC∥OE，
∴AG∥OE，
∴∠GAO＝∠AOE＝90°，
∴∠BAO＝90°+70°＝160°，
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，

则AF＝AB•sin∠ABF＝40sin70°≈37.6（cm），
则投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD≈37.6+6.4﹣8＝36（cm）；
（2）过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，如图3，

∵∠MBA＝70°，∠ABC＝30°，
∴∠MBC＝40°，
在Rt△BMC中，MC＝BC•sin∠MBC＝45sin40°≈28.8（cm），
则投影探头的端点D到桌面OE的距离≈CD+36﹣MC﹣CD≈36﹣28.8＝7.2（cm）．
故投影探头的端点D到桌面OE的距离约为7.2cm．
故答案为：160；36cm．
26．（10分）如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E，交△ABC的外接圆于点D、边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）若AC＝5，BC＝6，AB＝7．求的值；
（3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P'重合，则tan∠BAC＝　　．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
又∵M是BC的中点，
∴MD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC与∠CAD都是所对的圆周角，
∴∠DBC＝∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠DBC，
又∵∠D是公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴＝，即＝，
∵AB＝7，
∴BE＝，
同理，△DEC∽△DCA，
∴＝，
∵BD＝CD，AC＝5，
∴CE＝，
∵BE+CE＝BC＝6，
∴+＝6，
∴＝；
（3）解：如图，连接BP、BP′、CP′，

∵M是BC的中点，点P与点P'关于点M对称，
∴四边形BPCP'是平行四边形，
∴∠BP'C＝∠BPC，
∵点P′在圆上，
∴∠BP'C+∠BAC＝180°，
∵点P是△ABC两个内角∠BAC与∠ACB的角平分线交点，
∴BP平分∠ABC，
∴∠BPC＝90°+∠BAC，
∴∠BP′C＝90°+∠BAC，
∴90°+∠BAC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝60°，
∴tan∠BAC＝tan60°＝．
故答案为：．

27．（12分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形ABCD中，AB＝CD、AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB，CD称为腰，另两边AD，BC称为底
【提出问题】
（1）如图2，△ABC与△DEC都是等腰直角三角形．∠ACB＝∠DCE＝90°，135°＜∠AEC＜180°．求证：四边形BDEA是“等垂四边形”；
【拓展探究】
（2）如图3，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，点M、N分别是AD，BC的中点，连接MN．已知腰AB＝5，求MN的长；
【综合运用】
（3）如图4，四边形ABCD是“等垂四边形”，AB＝CD＝4，底BC＝9，则较短的底AD长的取值范围为 　9﹣4≤AD＜﹣4　．

【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠ECA+∠BCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，
延长BD交AE延长线于F，AF交BC于点O，

∵∠BOF＝∠AOC，
∴∠BFO＝∠BCA＝90°，
∴AE⊥DB，
∴四边形BDEA是“等垂四边形”；
（2）解：连接BD，取BD的中点G，连接GM，GN，延长BA，CD交于点H，

∵四边形ABCD是“等垂四边形”，
∴CD⊥AB，AB＝CD＝4，
∴∠CBH+∠HCB＝90°，
∵点M，N，G分别是AD，BC，BD的中点，
∴MG＝AB＝2，GN＝CD＝2，CD∥NG，GM∥AB，
∴∠GNB＝∠C，∠DGM＝∠HBD，GM＝GN，
∴∠MGN＝∠MGD+∠NGD＝∠ABD+∠DBC+∠GNB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°，
∴△GNM是等腰直角三角形，
∴MN＝MG＝AB＝2；
（3）如图：以点B、C为圆心6为半径作圆，以BC为直径作圆，

当D、P重合时，线段AD最长，
在Rt△BPC 中，BP＝＝＝，
∴AD＝﹣4，
∵四边形ABCD是“等垂四边形”，
∴AD＜2；
延长BA、CD交于点P，分别取AD、BC的中点M、N，连接PM、PN、MN，

∵∠DPA＝∠BPC＝90°，AB＝DC＝4，BC＝9，
∴MP＝DA，NP＝CB＝，
由（2）知，NM＝AB＝2，
∵PN﹣NM≤PM≤PN+NM，即﹣2≤PM≤+2，
∴﹣2≤DA≤+2，即9﹣4≤DA≤9+4，
综上：9﹣4≤AD＜﹣4，
故答案为：9﹣4≤AD＜﹣4．