2023年江苏省苏州市工业园区星汇学校中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省苏州市工业园区星汇学校中考数学二模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市工业园区星汇学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2022的倒数是(    )
A. −2022 B. −12022 C. 2022 D. 12022
2. 2023年“五一”假期，文化和旅游行业复苏势头强劲，全国假日市场平稳有序.经文化和旅游部数据中心测算，全国国内旅游出游合计274000000人次，274000000用科学记数法可表示为(    )
A. 2.74×108 B. 27.4×107 C. 2.74×107 D. 0.274×109
3. 下列计算正确的是(    )
A. a2+a3=a5 B. (a2)3=a5
C. (ab)2÷(−ab)=−ab D. (2a+1)(2a−1)=2a2−1
4. 一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为(    )



A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
5. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.


6. 中国传统文化中很多内容体现了数学中的对称美，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化，对称统一的形式美和谐美.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内置一枚小针则针尖落入黑色区域内的概率为(    )


A. π4 B. π5 C. π6 D. π8
7. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方，图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是(    )


A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
8. 如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是(    )
A. 3
B. 2
C. 2 2
D. 2 3


二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若 x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
10. 分解因式：xy2−x=          ．
11. 下面是某班23名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：
个数/个
35
38
42
45
48
人数
3
5
7
4
4
则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是______ ．
12. 如图，▱ABCD的顶点A(0,4)，B(−3,0)，以点B为圆心，AB长为半径酒弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是______ ．
13. 如图.将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC.若OA=2，则图中阴影部分的面积是______ ．


14. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60°，∠ACB=15°，AC=40cm，则支架BC的长为______ cm.(结果精确到1cm，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732，
6≈2.449)

15. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2 3，以AD为直径作⊙O，E为BC的中点，AE交⊙O于F，连CF，则CF的长为______ ．


16. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，连接ED、EC，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EN，将EC绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接MN，则线段MN的取值范围为______ ．


三、解答题（本大题共12小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：4sin60°+(−13)−1− 12+|−5|．
18. (本小题5.0分)
解方程：2x−2=1+xx−2+1．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2−1x2−2x+1，其中x= 5−1．
20. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB=5，BC=7，则AC=______时，四边形AECF为正方形．





21. (本小题6.0分)
第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其中杭州主赛区设有四个竞赛场馆，分别为：A.杭州“大莲花”体育场、B.杭州奥体中心体育馆、C.杭州奥体中心游泳馆、D.杭州奥体中心同球中心.小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
(1)小明被分配到D.杭州奥体中心网球中心做志愿者的概率为______ ；
(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
22. (本小题8.0分)
中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，同称“二十大”.在会议召开期间，国家领导人就许多民众关心的热点问题进行了时论，并形成了许多的决议.为了了解民众对“二十大”相关政策的了解情况，某小区居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词，分别为：“A、依法治国；B.社会保障；C.乡村振兴；D.教育改革；E.数字化生活”，每人只能从中选一个最关注的议题，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)图中B所在扇形的圆心角度数为______ ；
(2)扇形统计图中，a= ______ ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若这个小区居民共有1300人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有多少人？
23. (本小题6.0分)
在平衡直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”.已知二次函数y=x2+3x+m．
(1)当m=3时，求二次函数y=x2+3x+m上的“零和点”；
(2)若二次函数y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，求m的值．
24. (本小题6.0分)
如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=2OB，反比例函数y=27x在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，点A′恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D′的坐标．


25. (本小题7.0分)
丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x(元/件)
…
35
40
45
…
每天销售数量y(件)
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
26. (本小题7.0分)
如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE=AC，sin∠BAC=45，求tan∠CEO的值．





27. (本小题10.0分)
如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：△OCD∽△A′BD；②DBBA的最小值；
(3)当S△OCD=8SA′BD时，求直线A′B的解析式．

28. (本小题10.0分)
课本再现
(1)在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是______ ；

类比迁移
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合：先作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是______ ；
方法运用
(3)如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC=∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC=90°；
②连接BD，如图4，已知AD=m，DC=n，ABAC=2，求BD的长(用含m，n的式子表示)．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：2022的倒数是12022，
故选：D．
根据乘积是1的两个数互为倒数得出结论即可．
本题主要考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念是解题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：274000000=2.74×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】C 
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、原式=a6，不符合题意；
C、原式=−ab，符合题意；
D、原式=4a2−1，不符合题意，
故选：C．
A、利用合并同类项法则判断；
B、根据幂的乘方运算法则计算判断；
C、利用同底数幂除法运算法则计算判断；
D、利用平方差公式计算判断．
此题考查了整式的混合运算，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意得：∠ACB=45°，∠F=30°，利用平行线的性质可求∠DCB=30°，进而可求解．
【解答】
解：如图，∠ACB=45°，∠F=30°，

∵BC//EF，
∴∠DCB=∠F=30°，
∴∠1=45°−30°=15°，
故选：C．  
5.【答案】A 
【解析】解：从正面看，共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1．
故选：A．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，
所以针尖落在黑色区域内的概率=12⋅π⋅a24a2=π8．
故选：D．
用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件对应的面积与总面积之比．

7.【答案】B 
【解析】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴左下角的数为：6+20−22=4，
∴最中间的数为：x+6−4=x+2或x+6+20−22−y=x−y+4，
右下角的数为：6+20−(x+2)=24−x或x+6−y=x−y+6，
∴x+2=x−y+424−x=x+y+6，
解得：x=10y=2，
∴x+y=12，
故选：B．
由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，

∴∠AHD=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=90°−∠A=60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=12AB=4，
∴DH=12AD=2，
由旋转得：BE=BF，∠EBF=60°，
∴∠EBF=∠ABC=60°，
∴∠EBF−∠EBC=∠ABC−∠EBC，
∴∠ABE=∠CBF，
∵BD=BC=4，
∴△BDE≌△BCF(SAS)，
∴DE=CF，
当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2，
∴CF长的最小值是2，
故选：B．
取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AB的长，∠ABC的度数，再根据线段的中点定义可得AD=BD=12AB=4，从而可得DH=12AD=2，然后利用旋转的性质可得：BE=BF，∠EBF=60°，从而利用等式的性质可得∠ABE=∠CBF，进而利用SAS证明△BDE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得DE=CF，再根据垂线段最短，即可解答．
本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

9.【答案】x≥8 
【解析】解：∵ x−8在实数范围内有意义，
∴x−8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
根据二次根式有意义的条件，可得：x−8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．

10.【答案】x(y−1)(y+1) 
【解析】
【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．  
11.【答案】42 
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列，排在中间的数是42，
则中位数为42．
故答案为：42．
根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

12.【答案】(5,4) 
【解析】解：∵▱ABCD的顶点A(0,4)，B(−3,0)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB= OA2+OB2= 32+42=5，
根据作图可知，BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠GBC，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠AGB=∠GBC，点G与点A的纵坐标相等，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG=5，
∴点G的坐标是(5,4)，
故答案为：(5,4)．
根据作图可知，BG是∠ABC的角平分线，然后由平行四边形的性质可得AG的长，因而可得答案．
此题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

13.【答案】2π3− 3 
【解析】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，

∵扇形AOB中，OA=2，
∴OC=OA=2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD=OD=1，CD⊥AO，
∴OC=AC，
∴OA=OC=AC=2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD⊥OA，
∴CD= OC2−OD2= 3，
∴阴影部分的面积为：60π×22360−12×2× 3=2π3− 3．
故答案为：2π3− 3．
由翻折的性质得到CA=CO，而OA=OC，得到△OAC是等边三角形，求出扇形OAC的面积，△AOC的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14.【答案】49 
【解析】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB=90°，
∵∠CAD=60°，AC=40(cm)，
∴CD=AC⋅sin∠CAD=40×sin60°=40× 32=20 3(cm)，
∵∠ACB=15°，
∴∠CBD=∠CAD−∠ACB=60°−15°=45°，
∴BC= 2CD= 2×20 3=20 6≈20×2.449≈49(cm)，
故答案为49．
如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB=90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．

15.【答案】2 3 
【解析】解：连接DF，如图，
∵AD为直径，
∴∠AFD=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=2 3，BC=AD=4，∠BAD=90°，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，
在Rt△ABE中，∵tan∠BAE=BEAB=22 3= 33，
∴∠BAE=30°，
∴∠DAF=60°，
∴∠ADF=30°，
在Rt△ADF中，∵AF=12AD=2，
∴DF= 3AF=2 3，
∵∠FDC=60°，DC=DF=2 3，
∴△CDF为等边三角形，
∴CF=DF=2 3．
故答案为：2 3．
连接DF，如图，先根据圆周角定理得到∠AFD=90°，再利用正切的定义求出∠BAE=30°，则∠DAF=60°，所以∠ADF=30°，∠FDC=60°，接着计算出DF= 3AF=2 3，然后证明△CDF为等边三角形，所以CF=DF=2 3．
本题考查了圆周角定理：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了矩形的性质和解直角三角形．

16.【答案】4≤MN≤2 5 
【解析】解：如图，过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，过点N作NG⊥AB，交AB的延长线于点G，作NH⊥FM于点H，
则∠EFM=∠EGN=∠FHN=∠NHM=90°，

由旋转得：EM=EC，EN=ED，∠CEM=∠DEN=90°，
∴∠MEF+∠CEB=90°，∠DEA+∠NEG=90°，
∵∠MEF+∠EMF=90°，∠DEA+∠EDA=90°，
∴∠CEB=∠EMF，∠NEG=∠EDA，
∵正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，设AE=x(0≤x≤2)，则BE=2−x，
∴AB=AD=BC=2，∠DEA=∠CBE=90°，
在△MEF和△ECB中，
∠EFM=CBE=90°∠EMF=∠CEBEM=EC，
∴△MEF≌△ECB(AAS)，
∴MF=BE=2−x，EF=BC=2，
同理：NG=AE=x，EG=AD=2，
∴FG=EF+EG=2+2=4，
∵∠MFE=∠NGE=∠FHN=90°，
∴四边形FGNH是矩形，
∴HN=FG=4，FH=NG=x，
∴MH=MF−FH=2−x−x=2−2x，
在Rt△MNH中，MN2=MH2+HN2=(2−2x)2+42=4(x−1)2+16，
∵0≤x≤2，
∴0≤(x−1)2≤1，
∴16≤4(x−1)2+16≤20，
即16≤MN2≤20，
∵MN>0，
∴线段MN的取值范围为4≤MN≤2 5．
故答案为：4≤MN≤2 5．
过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，过点N作NG⊥AB，交AB的延长线于点G，作NH⊥FM于点H，可证得△MEF≌△ECB(AAS)，得出MF=BE=2−x，EF=BC=2，同理：NG=AE=x，EG=AD=2，得出FG=EF+EG=2+2=4，再证得四边形FGNH是矩形，得出HN=FG=4，FH=NG=x，MH=MF−FH=2−x−x=2−2x，再运用勾股定理即可求得答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．

17.【答案】解：原式=4× 32+3−2 3+5
=2 3+3−2 3+5
=8． 
【解析】直接利用二次根式以及负整数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：∵2x−2=1+xx−2+1，
∴方程两边同时乘以(x−2)得：2=1+x+x−2，
解得：x=32．
检验：当x=32时，x−2≠0，
∴原分式方程的解为x=32． 
【解析】方程两边同时乘以(x−2)，把分式方程化成整式方程，解整式方程，检验后，即可得出分式方程的解
本题考查了可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键

19.【答案】解：(xx−1−1)÷x2−1x2−2x+1
=x−(x−1)x−1⋅(x−1)2(x+1)(x−1)
=1x−1⋅(x−1)2(x+1)(x−1)
=1x+1，
当x= 5−1时，原式=1 5−1+1= 55． 
【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAC=∠ECA，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=CF，AE=CE，
∴∠FAC=∠ACF，∠ACE=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACF，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；
(2)3 2或4 2， 
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
(1)由线段垂直平分线的性质可得AF=CF，AE=CE，可证∠EAC=∠ACF，可得AE//CF，由菱形的判定可证四边形AECF为菱形；
(2)由正方形的性质可得AE=EC，∠AEC=∠AEB=90°，AC= 2AE，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
【解答】
(1)见答案；
(2)若四边形AECF为正方形，
∴AE=EC，∠AEC=∠AEB=90°，AC= 2AE，
∵AB2=BE2+AE2，
∴25=(7−AE)2+AE2，
∴AE=3或4，
∴AC=3 2或4 2，
故答案为：3 2或4 2．  
21.【答案】14 
【解析】解：(1)小明被分配到D.国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是14；
故答案为：14；
(2)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】108°  25 
【解析】解：(1)议题B所在扇形的圆心角度数为：360°×30%=108°，
故答案为：108°；
(2)调查总人数为：60÷30%=200(人)，
D议题所占百分比为：20200×100%=10%，
∴a%=1−30%−15%−10%−20%=25%，即a=25．
故答案为：25；
(3)议题A的人数为：200×25%=50(人)，
议题C的人数为：200×15%=30(人)，
补全条形统计图如下：

(4)1300×20200=130(人)，
答：估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有130人．
(1)用360°乘以议题B的人数所占比例；
(2)用议题B的人数除以它对应的百分比可得调查总人数，进而求出D所占百分百，然后用“1”分别减去其他四个议题所占百分百可得a的值；
(3)根据议题A、议题C对应的人数补全图形即可；
(4)用总人数乘以样本中D人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．

23.【答案】(1)当m=3时，二次函数的解析式为：y=x2+3x+3，
根据“零和点”的定义得：x+y=0，
∴y=−x，
解方程组y=x2+3x+3y=−x，得：x1=−1y2=1，x2=−3y2=3
∴二次函数y=x2+3x+m上的“零和点”为(−1,1)或(−3,3)．
(2)根据“零和点”的定义得：x+y=0，
∵二次函数y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，
∴方程组y=x2+3x+my=−x只有一组实数解，
将y=−x代入y=x2+3x+m得：−x=x2+3x+m，
整理得：x2+4x+m=0，
∵方程组y=x2+3x+m，y=−x，只有一组实数解，
∴一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，
∴判别式Δ=42−4×1×m=0，
解得：m=4． 
【解析】(1)根据“零和点”的定义得：x+y=0，然后解方程组y=x2+3x+3，y=−x即可得出答案；
(2)根据“零和点”的定义得：x+y=0，当二次函数y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时，方程组组y=x2+3x+m，y=−x，只有一组实数解，消去y得x2+4x+m=0，此时该方程有两个相等的实数根，最后根据方程的判别式Δ=0即可求出m的值．
此题主要考查了二次函数与方程组之间的关系，解答(1)的关键是把二次函数转化为方程组，解答(2)关键当二次函数y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时，转化为方程组只有一组实数解，最后再转化为一元二次方程有两个相等的实数根．

24.【答案】解：(1)作CH⊥x轴于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴△AOB≌△BHC(AAS)，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴C(9,3)；
(2)由(1)同理可得，点D(6,9)，
∵点A′恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y=6时，x=92，
∴m=92，
∴D′(6+92,9)，即D′(212,9)． 
【解析】(1)作CH⊥x轴于H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=OA=6，CH=OB=3，可得点C的坐标，再将点C代入反比例函数解析式可得答案；
(2)由(1)同理可得，点D(6,9)，根据A′的坐标求出m的值，再利用平移的性质可得D′的坐标．
本题主要考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，根据△OA′P是等腰三角形进行分类讨论是解题的关键．

25.【答案】解：(1)设每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y=kx+b，
把(35,90)，(40,80)代入得：
35k+b=9040k+b=80，
解得k=−2b=160，
∴y=−2x+160；
(2)根据题意得：(x−30)⋅(−2x+160)=1200，
解得x1=50，x2=60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x=50，
答：销售单价应定为50元；
(3)设每天获利w元，
w=(x−30)⋅(−2x+160)=−2x2+220x−4800=−2(x−55)2+1250，
∵−2<0，对称轴是直线x=55，
而x≤54，
∴x=54时，w取最大值，最大值是−2×(54−55)2+1250=1248(元)，
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 
【解析】(1)设每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y=kx+b，用待定系数法可得y=−2x+160；
(2)根据题意得(x−30)⋅(−2x+160)=1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
(3)设每天获利w元，w=(x−30)⋅(−2x+160)=−2x2+220x−4800=−2(x−55)2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．

26.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠BAC+∠BCO=90°，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD+∠BCO=90°，
即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵sin∠BAC=BCAB=45，
∴可设BC=4k，AB=5k，则AC=CE=3k，
∵OH⊥BC，
∴CH=BH=12BC=2k，
∵OA=OB，
∴OH=12AC=32k(三角形中位线定理)，
∴EH=CE−CH=3k−2k=k，
∴tan∠CEO=OHEH=32kk=32． 
【解析】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
(1)连接OC，证明OC⊥CD即可；
(2)过点O作OH⊥BC于点H.由sin∠BAC=BCAB=45，可以假设BC=4k，AB=5k，则AC=CE=3k，用k表示出OH，EH，可得结论．

27.【答案】(1)解：∵二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，
∴二次函数的解析式为：y=12(x−0)(x−4)=12x2−2x；
(2)①证明：如图1，

由翻折得：∠OAC=∠A′，
由对称得：OC=AC，
∴∠AOC=∠OAC，
∴∠COA=∠A′，
∵∠A′DB=∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA′B=CDBD，
∵AB=A′B，
∴BDAB=CDOC，
∴BDAB的最小值就是CDOC的最小值，
y=12x2−2x=12(x−2)2−2，
∴C(2,−2)，
∴OC=2 2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，BDAB的值最小，
当CD=2时，BDAB的最小值为22 2= 22；
(3)解法一：∵S△OCD=8S△A′BD，
∴S△OCD：S△A′BD=8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴S△OCDS△A′BD=(OCA′B)2=8，
∴OCA′B=2 2，
∵OC=2 2，
∴A′B=AB=1，
∴BF=2−1=1，
如图2，连接AA′，过点A′作A′G⊥OA于G，延长CB交AA′于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，

由翻折得：AA′⊥CH，
∵∠AHB=∠BFC=90°，∠ABH=∠CBD，
∴∠BCF=∠BAH，
tan∠BCF=tan∠GAA′，
∴BFCF=A′GAG=12，
设A′G=a，则AG=2a，BG=2a−1，
在Rt△A′GB中，由勾股定理得：BG2+A′G2=A′B2，
∴a2+(2a−1)2=12，
∴a1=0(舍)，a2=45，
∴BG=2a−1=85−1=35，
∵A′G//OQ，
∴△A′GB∽△QOB，
∴A′GOQ=BGOB，即45OQ=353，
∴OQ=4，
∴Q(0,4)，
设直线A′B的解析式为：y=kx+m，
∴m=43k+m=0，
解得：k=−43m=4，
∴直线A′B的解析式为：y=−43x+4， 
【解析】(1)利用交点式可得二次函数的解析式；
(2)①根据两角相等可证明两三角形相似；
②根据△OCD∽△A′BD，得OCA′B=CDBD，则BDAB=CDOC，即BDAB的最小值就是CDOC的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，DBBA有最小值是 22；
(3)根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2 2：1，可得A′B=AB=1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A′G和BG的长，最后再证明△A′GB∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A′B的解析式．
本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．

28.【答案】(1)∠DCA′
(2)AD2+DE2=AE2(3)①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．

∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点
∴点O是△ADC的外心，
∴∠AOC=2∠ADC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，∠OAC=∠ABC，
∴2∠ADC+2∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=90°．

②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT=∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．

∵∠CTD=∠CAB=90°，∠CDT=∠ABC，
∴△CTD∽△CAB，
∴∠DCT=∠ACB，CDCB=CTCA，
∴CDCT=CBCA，∠DCB=∠TCA
∴△DCB∽△TCA，
∴BDAT=CBCA，
∵ABAC=2，
∴AC:AB:BC=CT:DT:CD=1:2: 5，
∴BD= 5AT，
∵∠ADT=∠ADC+∠CDT=∠ADC+∠ABC=90°，DT=2 55n，AD=m，
∴AT= AD2+DT2= m2+(2 55n)2= m2+45n2，
∴BD= 5m2+4n2． 
【解析】(1)解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A=∠DCA′，
故答案为：∠DCA′．
(2)解：如图2中，


∵∠ADC+∠ABC=90°，∠CDE=∠ABC，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
∴AD2+DE2=AE2．
故答案为：AD2+DE2=AE2．

(3)①见答案．
②见答案．

(1)根据图形的拼剪可得结论．
(2)利用勾股定理解决问题即可．
(3)①如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O.利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题．
②如图4中，在射线DC的下方作∠CDT=∠ABC，过点C作CT⊥DT于T.利用相似三角形的性质证明BD= 5AT，求出AT，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了三角形的外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．