2023年江苏省苏州市姑苏区金鸡湖学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市姑苏区金鸡湖学校中考数学二模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  角的直角三角板与直线，的位置关系如图所示，已知，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  学校举办跳绳比赛，九年班参加比赛的名同学每分钟跳绳次数分别是，，，，，，这个数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则：为(    )
 

A. ： B. ： C. ： D. ：

8.  如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

10.  因式分解：          ．

11.  如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若点到的距离为，则 ______ ．

12.  如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、，连接，若，则______

13.  如果一元二次方程的两个根为，，则______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图象经过点和的中点，则的值是          ．
 

15.  如图，在中，，，，点为斜边上的一个动点点不与点、重合，过点作，，垂足分别为点和点，连接，交于点，连接，当为直角三角形时，的长是______．

16.  我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形根据定义：
等边三角形一定是奇异三角形；在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；如图，是的直径，是上一点不与点、重合，是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，则是奇异三角形；在的条件下，当是直角三角形时，其中，说法正确的有______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算题：．

18.  本小题分
解不等式组，并写出不等式组的整数解．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
小明男从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为______ ；
小明男和小红女分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率用树状图或列表法写出分析过程

21.  本小题分
如图，四边形是菱形，于点，于点．
求证：≌；
若，，求菱形的边长．

22.  本小题分
某学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整的统计图：不太了解，：基本了解，：比较了解，：非常了解请你根据图中提供的信息回答以下问题：

请求出这次被调查的学生家长共有多少人？
请补全条形统计图．
试求出扇形统计图中“比较了解”部分所对应的圆心角度数．
该学校共有名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少？

23.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象相交于点和点，与轴的正半轴相交于点．
求的值；
连接，，若点为线段的中点，求的面积．

24.  本小题分
图是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图所示，由车架和两个大小相同的车轮组成车轮半径为，已知，，，，，当，，在同一水平高度上时，．
求的长；
为方便存放，将车架前部分绕着点旋转至，按如图所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长的收纳箱收纳箱的宽度和高度足够大，请说明理由参考数据：．

 

25.  本小题分
如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，为边的中点，连．
请判断是否为的切线，并证明你的结论．
当：：时，时，求的半径．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．

求抛物线的解析式；
如图，为边上的一动点，为边上的一动点，点坐标为，求周长的最小值．

27.  本小题分
如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接点从点出发，沿方向匀速运动、速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为交于点，连接，，设运动时间为解答下列问题：
当时，求的值；
设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

是角的直角三角板，
．
，
．
，
．
故选：．
利用三角形外角与内角的关系先求出，再利用平行线的性质求出．
本题考查了平行线的性质，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”与“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，
中位数，
故选：．
将这组数据从小到大排列，根据中位数的计算方法即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将代入方程
得：，解得：．
故选：．
将代入方程得到关于的方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的底面的半径为，则，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算：即可．
【解答】
解：设圆的半径为，则，，
则，
解得，
则：：：．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，
，，
点是边的中点，
，
连接，

，
将沿翻折得到，
，
，
当点、、三点共线时，最小，

的最小值为．
故选：．
根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点、、三点共线时，最小．
本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：过作于，

由作图得：平分，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
先根据角平分线的性质得出，再根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理及角平分线的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

射线与相切于点，
，
．
，
，
．
故答案为：．
连接，利用切线的性质定理可求，利用直角三角形的两个锐角互余可得，利用圆周角定理即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，圆周角定理，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
 

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
即，，，
．
故答案为：．
因为，是一元二次方程的两个根，所以即，，，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根的判别式，找出，，是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

解：过点作轴，轴；过点作轴．

根据题意可知，，
设，
四边形的面积为，
，
为的中点，轴，轴，
为的中位线，
，，
四边形的面积为，
，
解得：，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
根据反比例函数的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．  

15.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
当时，如图，

在中，，，，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
当时，如图，

，，，
四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，
综上所述，当为直角三角形时，的长是或，
故答案为：或．
由已知求出，，再分和两种情况进行讨论，即可求出答案．
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设等边三角形的边长为，
则，满足奇异三角形的定义，
等边三角形一定是奇异三角形，
故正确；
在中，，
，
，，
若是奇异三角形，一定有，
，
，得．
，
，
，
故错误；
在中，，
是的直径，
，
在中，；
在中，．
是半圆的中点，
，
，
，
又，，
．
是奇异三角形，
故正确；
由可得是奇异三角形，
．
当是直角三角形时，
由可得或，
当时，
，即，
，
，
．
当时，
，即，
，
，
，
的度数为或，
故错误；
故答案为：．
设等边三角形的边长为，代入检验即可；在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；要证明是奇异三角形，只需证即可；由可得是奇异三角形，所以，当是直角三角形时，由可得或，然后分两种情况讨论．
本题主要考查了勾股定理；圆周角定理及推论；直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，再计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】 

【解析】解：男生选考项目为掷实心球或引体向上，
小明男从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为．
故答案为：．
设掷实心球记为，引体向上记为，仰卧起坐记为，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人都选择掷实心球的结果有种，
两人都选择掷实心球的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两人都选择掷实心球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：设菱形的边长为，
，，
，
≌，
，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
菱形的边长是． 

【解析】由菱形的四条边相等、对角相等的性质知，；然后根据已知条件“，”知；最后由全等三角形的判定定理证明≌；
由全等三角形≌的对应边相等知，然后根据菱形的四条边相等求得，设，已知，则，利用勾股定理即可求出菱形的边长．
本题考查了菱形的性质，解题的关键熟记菱形的性质并灵活运用．菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
 

22.【答案】解：这次抽样调查的家长有人；
表示“不太了解”的人数为：人，表示“非常了解”的人数为：人，
补全条形图如图：

“比较了解”部分所对应的圆心角是：；
人，
答：估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有人． 

【解析】根据的人数除以占的百分比，得出调查总数即可；
先用总人数得出表示“不太了解”的人数，将总人数减去、、的人数即可得的人数；
用的人数占被调查人数的比例乘以可得；
用样本估算总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：；
点是线段的中点，
点的纵坐标为，
点的横坐标为：，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点是线段的中点，
． 

【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出；
求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式，灵活运用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键．
 

24.【答案】解：过点作，垂足为，连接，则、、在同一条直线上，

，
，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，，
设，，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
，
，
，
的长为；
该滑板车折叠后能放进长的收纳箱，
理由：过点作，垂足为，延长交的延长线于点，

，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
折叠后的总长

，
该滑板车折叠后能放进长的收纳箱． 

【解析】过点作，垂足为，连接，则、、在同一条直线上，根据已知可求出，从而可得是等腰直角三角形，然后设，从而得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而列出关于的方程，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，延长交的延长线于点，根据已知可得是等腰直角三角形，从而利用锐角三角函数定义可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，翻折变换折叠问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：是的切线，
证明：连接，；

在，为边的中点，
．
在和中，
，
≌．
．
是的切线．

连接，

是的直径，
，
，
为的中点，
，
，，
∽，
，
，
设，，
，
负值舍去．
，．
的半径． 

【解析】连接，，根据全等三角形的判定，易得≌，进而可得，故DE是的切线．
连接，设，，证明∽，由相似三角形的性质得出，代入数据可得关于的方程，解可得答案．
本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线经过点，点．
，
，
抛物线的解析式为；

如图，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．

由对称性可知，，的周长，
当，共线时，的周长最小，最小值为的长，
令，则，
解得或，
，
，
是等腰直角三角形，
垂直平分，且，
，
，关于轴对称，
，
，
的周长的最小值为． 

【解析】利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
如图，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，当，共线时，的周长最小，最小值为的长．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短问题，待定系数法求二次函数的解析式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
 

27.【答案】解：如图：

在中，，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，，
，
，
，
∽，
，即，
，
；
答：的值为；
过作于，过作于，如图：

将绕点按逆时针方向旋转得到，
，即，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，


；
答：与之间的函数关系式是；
存在某一时刻，使，理由如下：
过作于，如图：

由知，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
答：存在，当时，． 

【解析】由将绕点按逆时针方向旋转得到，知，，，，证明∽，有，可得，即得的值为；
过作于，过作于，证明∽，有，，即得，，由∽，可得，，从而；
过作于，证明∽，有，即可解得．
本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换，相似三角形的判定与性质，三角形、四边形面积等，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．