2023年广东省茂名市高州市中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省茂名市高州市中考数学三模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，23小题，满分120分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有理数﹣1，﹣4，0，3中，最小的数是（ ）
A．﹣4B．﹣1C．0D．3
2．方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3B．x＝0
C．x1＝x2＝3D．x1＝x2＝﹣3
3．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x6B．（x+1）2＝x2+1
C．＝x3D．+＝
5．在平面直角坐标系中，若点P（1﹣2x，x﹣1）在第四象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．12.5°B．25°C．30°D．40°
7．一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的半径长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
8．如图，AB切⊙O于C，点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，运动1秒时OD＝2cm，运动2秒时OD长是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．2cm
9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（ ）m．
A．75.5B．77.1C．79.8D．82.5
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个判断：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+b＜0；④a+b+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．分解因式：4x3﹣16x＝ ．
12．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是 ．
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，△ADE的面积是2，则△ABC的面积是 ．
14．正比例函数y1＝﹣2x与反比例函数的图象相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF与AC相交于点G，若AB＝3AD，AC＝3，BC＝6，CG＝0.8，则CE的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）“同享一片蓝天，共建美好家园”，每年的3月12日是我国的义务植树节，受疫情的影响，今年不能去植树，某校政教处鼓励学生们“网上植树”（活动时间为3月12日～3月15日）．学校调查发现，有90%的学生参与了此次活动．从参与活动的学生中随机调查30名，所植的棵数情况如下：（单位：棵）
1 1 2 4 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3
5 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6
对以上数据进行整理、描述和分析，并绘制出如下条形统计图（不完整）．
（1）请补全条形统计图；
（2）这30名学生网上植树数量的中位数是 棵，众数是 棵；
（3）统计显示，这30名学生中有18名是在3月12日当天参与了“网上植树”，若该校有3000名学生，由此估计该校有多少名学生在3月12日当天参与了“网上植树”？活动期间全校学生“网上植树”共多少棵？
19．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们的测量数据计算这棵树的高度．
20．实验学校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书其中《九章算术》的单价比《几何原本》的单价低16元，用9600元购进《九章算术》的数量是用4800元购进《几何原本》的数量的3倍．
（1）求《九章算术》和《几何原本》的单价分别是多少元？
（2）该校打算购进这两种书共300本，且《九章算术》的数量不超过《几何原本》的数量的2倍，求购进这两种书各多少本时，花费最少？
21．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD＝∠AED，且DE＝，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠DAE＝，求EF的长；
（3）延长DE，AB交于点C，若OB＝BC，求⊙O的半径．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵1＜4，
∴﹣4＜﹣1＜0＜3，
故选：A．
2． 解：x2﹣9＝0，
变形得：x2＝9，
开方得：x1＝3，x2＝﹣3；
故选：A．
3． 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4． 解：∵（﹣x2）3＝（﹣1）3•（x2）3＝﹣x6，运算正确；
B、（x+1）2符合完全平方公式结果有三项，x2+2x+1，故不对；
C、属于同底数幂的除法，底数不变，指数相减，结果是x4，故不对；
D、+不能合并，故不对；
故选：A．
5． 解：根据题意，得：，
解不等式①，得：x＜，
解不等式②，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜，
故选：A．
6． 解：∵EF∥AC，∠1＝50°，
∴∠1＝∠BAC＝50°，∠2＝∠FAC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠FAC＝∠BAC＝25°，
∴∠2＝25°，
故选：B．
7． 解：设上水面所在圆的半径长为为x cm，依题意有：
＝，
解得x＝3．
故选：C．
8． 解：∵AB切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∵点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，
∴运动1秒时CD＝1cm，
又∵运动1秒时OD＝2cm，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
∵运动2秒时CD长为2cm，
∴此时OD＝＝＝．
故选：C．
9． 解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝78（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），
即树高79.8m，
故选：C．
10． 解：∵抛物线开口向上、与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
故结论①正确；
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴结论②正确；
∵抛物线的对称轴在0和1之间，a＞0，
∴﹣＜1，
∴2a+b＞0，
故结论③错误；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴结论④错误；
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝4x（x2﹣4）＝4x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：4x（x+2）（x﹣2）．
12． 解：设口袋中蓝球的个数有x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝4，
经检验得：x＝4是原方程的根，
则随机摸出一个球是蓝球的概率是：＝．
故答案为：．
13． 解：∵AD＝2，DB＝3，
∴AB＝AD+BD＝2+3＝5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△ADE的面积是2，
∴，
∴S△ABC＝12.5．
故答案为：12.5．
14． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为1，
∴点B的横坐标为﹣1．
∵由函数图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1．
15． 解：如图，
作DH⊥BC于H，作DT⊥AC与T，交EF于R，
∴∠BHD＝∠CHD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BHD，
∴△BHD∽△BCA，
∴，
∵AB＝3AD，
∴BD＝AB，
∴，
∴BH＝4，DH＝3，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∴CH＝DH，
∵∠ACB＝∠DHC＝∠DTC＝90°，
∴四边形DTCH是矩形，
∴矩形DTCH是正方形，
∴CT＝DH＝2，DT∥CH，
∴TG＝CT﹣CG＝2﹣＝，△RTG∽△ECG，
∴＝，
设CE＝2x，RT＝3x，
∴DR＝DT+RT＝2+3x，EH＝CH﹣CE＝2﹣2x，
由折叠得：∠BED＝∠FED，
∴DQ＝DH＝2，EQ＝EH＝2﹣2x，
∵DT∥CH，
∴∠BED＝∠RDE，
∴∠FED＝∠RDE，
∴RE＝DR＝2+3x，
∴RQ＝RE﹣EQ＝（2+3x）﹣（2﹣2x）＝5x，
在Rt△DQR中，
RQ2+DQ2＝DR2，
∴（5x）2+22＝（2+3x）2，
∴x1＝，x2＝0（舍去），
∴CE＝2x＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：
＝﹣1+2×﹣3
＝﹣1+﹣3
＝2﹣4．
17． 解：，
解不等式①，得：x＜5，，
解不等式②，得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x＜5．
18． 解：（1）统计得出有11人植树三棵，有9人植树四棵，补全条形统计图如图所示：
（2）将这30名学生的植树的棵数从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是13棵，因此中位数是13，
植树棵数出现次数最多的3棵，共用11人，因此植树的众数是3棵，
故答案为诶；3，3；
（3）3000×90%×＝1620（名），
3000×90%×＝9270（棵），
答：估计该校有1620名学生在3月12日当天参与了“网上植树”，活动期间全校学生“网上植树”共9270棵．
19． 解：∵∠CBD＝60°，∠CBD＝∠A+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∵∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACB，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10，
在Rt△BCD中，CD＝BC•sin∠CBD＝10×＝5．
答：这棵树的高度为5米．
20． 解：（1）设《九章算术》单价为x元，则《几何原本》的单价为（x+16）元，
根据题意得：＝3×，
解得：x＝32，
经检验，x＝32是原方程的根，
32+16＝48，
答：《九章算术》和《几何原本》的单价分别是32元，48元；
（2）设学校购进《九章算术》m本，则购进《几何原本》（300﹣m）本，共需费用w元，
则w＝32m+48（300﹣m）＝﹣16m+14400，
∵m≤2（300﹣m），
解得：m≤200，
∵﹣16＜0，
∴当m＝200时，w最小，最小值为11200，
此时300﹣200＝100，
答：当学校购进《九章算术》200本，则购进《几何原本》100本时，费用最小．
21． 解：（1）在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝3，
∴该函数的解析式为y＝（x＞0），
把y＝2代入y＝，
得x＝，
∴E（，2）；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），
∴S△EFC＝BF•CE＝×（2﹣k）k，
＝k﹣k2
＝﹣（k2﹣6k+9﹣9）
＝﹣（k﹣3）2+，
在边AB上，不与A，B重合，即0＜＜2，
解得0＜k＜6，
∴当k＝3时，S有最大值．
S最大值＝．
22． （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠PAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，
∴∠PAD＝∠ABD，
∴∠DAB+∠PAD＝90°，即∠PAB＝90°，
∴AB⊥PA，
∵AB是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴＝，∠DAE＝∠BAE＝∠DBE，
∴BE＝DE＝，tan∠DAE＝tan∠BAE＝tan∠DBE＝＝，
∴＝，
∴EF＝1；
（3）解：连接OE，如图：
∵OE＝OA，
∴∠AEO＝∠OAE，
∵∠OAE＝∠DAE，
∴∠AEO＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴＝，
∵OA＝OB＝BC，
∴＝2，
∴＝2，
∵DE＝，
∴CE＝2，CD＝CE+DE＝3
设BC＝OB＝OA＝R，
∵∠BDC＝∠BAE，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CEA，
∴＝，即＝，
∴R＝2，
∴⊙O的半径是2．
23． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，连接QB，
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点A，B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
∴当C，B，Q三点共线时，△AQC的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′（k≠0），
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
在y＝x﹣3中，当x＝1时，y＝﹣2，
∴Q（1，﹣2）；
（3）同理可求出直线AQ的解析式y＝﹣x﹣1，
过点C作AQ的平行线，交抛物线于点P1，
同理可求出直线P1C的解析式为y＝﹣x﹣3，
联立得：
，
解得：或（舍去），
∴P1（1，﹣4）；
∵直线AQ与y轴的交点为（0，﹣1），
点C（0，﹣3）到（0，﹣1）的距离为2个单位，根据平行线间间距相等可知将直线AQ向上平移2个单位，得到直线y＝﹣x+1，其与抛物线的两个交点也符合题意，
联立得：，
解得：或，
同理可得，，
综上所述：点P的坐标为P1（1，﹣4），，．