专题03 【大题限时练三】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题03 大题限时练三

1．在中，内角，，所对的边分别为，，，．

（1）若，，求；

（2）点在边上，且，证明：平分．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由，可得，

所以，

因为，

所以；

（2）证明：设，，

因为，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得：，①

在中，由正弦定理得：，②

因为，，

所以可得，

因为，，

所以，即平分．

2．已知数列的前项和为，．

（1）从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列的通项公式；

①数列是等差数列；

②数列是等比数列；

（2）记，求数列的前项和．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】证明：（1）若选数列是等差数列，

①，②，

②①得，即，

且，

是首项为，公差为1的等差数列，

；

若选数列是等比数列，

①，②，

②①得，即，

，整理得，

，

是等比数列且首项为，公比为，

，

；

解：（2），

，

，

．

3．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．如表1是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：

表

（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；

（2）交警统计年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到表2，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

表

参考公式：，．

，其中．

【答案】见解析

【解析】（1）由表中数据可得，，，

，

，

故回归直线方程为，

2022年，即，．

（2）列联表如下：

，

有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．

4．在三棱柱中，，，，，，为中点，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）证明：，为中点，，

平面平面，平面平面，

平面，

平面；

（2）在平面内过点作，如图，建立空间直角坐标系，

由，，，

，，

，，

，0，，，0，，，，5，，

，

由，得，，，

，，，

平面的一个法向量，0，，

设与平面所成角为，

则，

直线与平面所成角的正弦值为．

5．双曲线经过点，，且渐近线方程为．

（1）求，的值；

（2）点，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：直线与圆相切．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）解：，解得，则；

（2）证明：易知直线一定不为水平直线，设为，设，，，，，

联立，整理得，则，

由于外接圆过原点且关于轴对称，设为，则，

则，则，

则，

则原点到直线的距离，即证．

6．设函数，为自然对数的底数，．

（1）若，求证：函数有唯一的零点；

（2）若函数有唯一的零点，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2），

【解析】（1）证明：当时，恒成立，所以单调递减，

又，

所以存在唯一的，使得，命题得证；

解：（2）由（1）可知，当时，有唯一零点，

当时，，

设，则有唯一零点，

，

设，

则，所以单调递增，

又，列表可知，在单调递减，在单调递增，

即，

当时，恒成立，无零点，即不符题意，

当时，，即仅有一个零点，即符合题意，

当时，，

因为，

所以存在，使得，即不符题意，

综上，的取值范围为，．