专题08 【大题限时练八】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题08 大题限时练八

1．在中，角，，所对的边分别为，，，且，．若是的中点，且，求的面积．

【答案】

【解析】在中，由余弦定理可得，

即，可得，，则为等腰直角三角形，

由，可得，

在中，，，

由正弦定理可得，

即，所以，

所以的面积为．

2．已知等比数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）在数列中的和之间插入个数，，，，，使，，，，，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前项和为，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设等比数列的公比为，

由①，②，

得，，所以，

因为，所以，

故数列的通项公式为．

（2）由题意知，数列的前21项为，，，，，，，，，，，，，

即数列1，，2，，，4，，，，8，，，32，

因为，，，，，，成等差数列，

所以

．

3．某高校的入学面试中有编号为，，的3道试题，每位面试者依次作答这3道试题．面试共有3次机会，只要答对其中一道题面试即通过，无需继续答题，否则就作答下一题，直到3次答题机会全部用完．该校规定：答对题通过者得30分，答对题通过者得20分，答对题通过者得10分，未通过面试者得0分．若小明同学答对题的概率是，答对题的概率是，答对题的概率是，且各题作答相互独立．

（1）求小明同学答题不超过2道的概率；

（2）记小明同学得分为分，求的概率分布及数学期望．

【答案】见解析

【解析】（1）由题可知小明同学答题1道的概率为，

小明同学答题2道的概率为，

所以小明同学答题不超过2道的概率．

（2）由题可知可取30，20，10，0，则

，，，，

的概率分布为：

．

4．图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，，为的中点．将其沿，折起使得与重合，连结，，如图2．

（1）证明：在图2中，，且，，，四点共面；

（2）在图2中，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）证明：取的中点，连接，，如图，

因为矩形、为的中点．则，又因为为等边三角形，则，

，，平面，则有平面，又平面，

所以，矩形中，，平行四边形中，，因此，

所以，，，四点共面；

（2）由（1）知，，，则为二面角的平面角，，

在平面内过作，有，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

，0，，，，，，0，，，，，，，，

，，，，，，

设平面的一个法向量为，，，

则，即，令，则，，

平面的一个法向量为，，，

由，，，，，，，

设直线与平面所成的角为，

，，

直线与平面所成角的正弦值．

5．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点到右准线的距离为．点是第一象限内的定点，点，是椭圆上两个不同的动点（均异于点，且直线，的倾斜角互补．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线的斜率，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由椭圆的离心率，右焦点，右准线为，

则，解得，，因此，

所以椭圆的方程为：；

（2）直线的斜率，设直线的方程为，，，，，，，

联立方程组，，消去，整理得，

所以，，

由直线，的倾斜角互补．则，

所以，

所以，

所以，

因此，，

所以，

因为点在第一象限，

所以，，所以，

点的坐标．

6．已知实数，函数，是自然对数的底数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求证：存在极值点，并求的最小值．

【答案】见解析

【解析】（1）当时，，

，

令，解得：，

令，解得，

故在单调递减，在单调递增，

所以函数的增区间为，减区间为；

（2）证明：，，

设，

，，

△，

，，，，

，

不妨设，，

由于的定义域为

，

，

，

使得为的极小值点，

，

，（a），

，

（a），，

（a）在单调递增，在，单调递减，

（a），

，

在单调递增，

（e），（e），

，

综上，的最小值为．

（2）另解：设，

，，

△，

，，，，

，不妨设，，

由于的定义域为

使得为的极小值点，

又（e）

故，

又由（1）可知，当时，，

故，（等号可以成立）

所以的最小值为．