专题03 【大题限时练3】-备战2022年湖南高考数学满分限时题集

专题03 大题限时练3

1．记正项等差数列的前项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知等比数列满足，，若，求数列前项的和．

【答案】（1）；（2）3906

【详解】解：（1）设正项等差数列的公差为，，，

，解得．

．

（2）等比数列满足，，

，，

公比，，

，

，解得，

数列前6项的和．

2．已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．设g（x）＝f（x）•．

（1）求函数g（x）的最小正周期T；

（2）在△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，AD＝，设∠BAC＝θ，cosθ＜0，，求△ABC的面积．

【答案】（1）T＝π（2）

【详解】解：（1）由图知A＝1，＝2（），解得ω＝2，

∴，

∵，∴，∴y＝sin（2x+），f（x）＝sin（x+），

∵sinxsin（x+）＝sinx（sinx+cosx）

＝

＝，

∴g（x）＝，

∴T＝π．

（2）∵g（θ）＝，∴sin（2）＝0，

∵cosθ＜0，即，∴θ＝，

设BC＝2m，AC＝x，

∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，

∵AB＝6，AD＝，

∴分别在△ADB和△ADC中，由余弦定理得，

∴4m2＝2x2﹣4，

在△ABC中，由余弦定理得（2m）2＝36+x2cos∠BAC＝36+x2+6x，

∴2x2﹣4＝36+x2+6x，∴x＝﹣4（舍），或x＝10，即AC＝10，

∴△ABC的面积为：

S△ABC＝．

3．如图，正四面体，为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】解：（1）证明：为的中点．，，

，，，，平面，平面，

平面，平面平面；

（2）设，，，设正四面体的边长为1，则则，，则，则，

设平面的法向量为，

则，，①

，，②

由①②令，可得，平面的法向量为，

，

，，为的中点．，

又，，

又，

与平面所成角为．

则，．

与平面所成角的正弦值为．

4．甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的运动员积3分，负者积0分，以取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．

（1）甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分的概率分布列和数学期望；

（2）甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率．

【答案】见解析

【详解】解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

的分布列为：

数学期望；

（2）记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件，

设第场甲、乙两名运动员积分分别为，，则，，2，

因两名运动员积分相等，

，

即，则，

．

5．在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，．

①求证：为定值；

②求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】解：因为，所以，

又，

所以，

所以，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）①当的斜率为0时，显然，．

当的斜率不为0时，设，

由得，

设，，，，

故有，

所以．

因为，

所以．

综上所述，恒有为定值．

②，

即，

当且仅当，即时取等号 （此时适合△，

所以面积的最大值为．

6．已知函数，．

（1）求函数在，上的最小值；

（2）证明：当时，．

【答案】（1）当时，；当时，；（2）见解析

【详解】解：（1）当时，令得，当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，故：

①当时，显然，故在上单调递减，在上单调递增，故此时；

②当时，在，上单调递增，故；

综上可知：当时，；当时，．

（2）证明：先证时，，令，，得；得，

故在上单调递减，在，上单调递增，故（1），

所以时，，即③恒成立，

当时，要证，即，结合③式，

即证即成立，即证在上恒成立，

令，，由得，当时，，时，，

故在单调递减，在单调递增，故，即④恒成立，

因为③④两式取等号的条件不一致，故当时恒成立，

即当时，．