专题04 【大题限时练四】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题04 大题限时练四

1．若数列满足：，，对于任意的，都有．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）证明：由，得，

即，又，，得，

所以是以2为首项，以3为公比的等比数列；

（2）由（1）可知，故，

所以，又，

所以是以为首项，以为公差的等差数列，

，故．

2．在平面四边形中，，，，．

（1）求的面积；

（2）求的长．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）中，由余弦定理得，，

即，

所以，

的面积；

（2）中，由正弦定理得，，

所以，

同理，中，由正弦定理得，

因为，，

所以，

所以，

所以，

所以．

3．如图1，在平行四边形中，，，，，垂足为．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面与平面所成的角为（如图．

（1）求证：；

（2）若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）证明：平面与平面所成的角为，平面平面，

平面平面，，平面，

平面，

平面，．

（2）平面，，，

，，，两两垂直，

以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

在中，，，，，则，

，，，，，，，0，，，0，，

设，则，，，，

，，，，，，

设平面的一个法向量为，，，

则，

设，则，

平面的一个法向量为，0，，

二面角为，

，

解得，，到平面的距离为，

，

三棱锥的体积为．

4．空气质量指数与空气质量等级的对应关系如下：

下列频数分布表是某场馆记录了一个月天）的情况：

（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）

（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：，结果精确到

（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：

已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）

【答案】见解析

【解析】（1）法一：；

法二：；

（2）一个月30天中达到优或良的天数为9，空气质量等级达到优或良的概率为，

未来一周天）中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为；

（3）按照这个数据，每年需要6到10个滤芯，也就是，9，10，而需求假设为，会有

，

，

，

那么当时，会有花费的分布为

，

，

，

均值，

同理算出，，

故此买9个最划算．

5．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上．

（1）求的方程；

（2）过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过定点．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由题意可知点，两点关于原点对称，所以，一定在双曲线上，

而，因为，但，所以点不在双曲线上，

所以点，，在双曲线上，则，解得，，

所以双曲线方程为；

（2）证明：设直线的方程为，代入双曲线方程可得：，

设，，，，则，则，，

所以直线的方程为：，即，

令，则，

因为，，

所以，

所以，

综上，直线过定点．

6．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，证明：．

【答案】见解析

【解析】（1）解：函数的定义域为，求导得，

当时，恒成立，则在上单调递增，

当时，的解集为，的解集为，

即的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：因为，由（1）知，，且（a），解得，

设，则，要证，即证，即证，

即证，设．，

则，即在上单调递减，有（a），

即，，则成立，因此成立，

要证，即证，即证，即证，即证，，

而，即证，，

令，，则，

设，，求导得，即在上单调递增，

则有（e），即，在上单调递减，而，，，当时，

（a）（e），则当时，成立，故有成立，

所以．