江苏省连云港市海州区新海实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份江苏省连云港市海州区新海实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省连云港市海州区新海实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是(    )
A． B． C． D．
2．被誉为：“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜的反射面总面积约为，将250000用科学记数法可表示为（  ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．下列三个日常现象：

其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（    ）
A．① B．② C．③ D．②③
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（      ）
A． B． C．且 D．且
6．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝55°，那么∠4的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．125°
7．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（    ）

A．4 B．5 C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，，，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，矩形ABCD被直线所扫过部分的面积为S，直线在x轴上平移的距离为t，可则S与t对应关系的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
9．8的立方根为______．
10．分解因式：2x2﹣8=_______
11．某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是：30，33，24，29，24．这组数据的中位数是__________．
12．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有_______两．（注：明代时1斤=16两）
13．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________m．

14．如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点O．以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AE于点M，N．若BC＝2，则的长为______（结果保留π）．

15．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=10分米，晾衣臂（OA）撑开时与支脚（OC）的夹角∠AOC=105°，则点A离地面的距离AM为______分米．（结果保留根号）

16．如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，轴于点M，交直线于点N，点P是线段ON上的一个动点，，，点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．


三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组 并写出它的最大整数解．
19．先化简，再求值：，其中．
20．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生．某学校决定购买，两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知种比种每件多25元，预算资金为1700元；其中800元购买种商品，其余资金购买种商品，且购买种的数量是种的3倍．求，两种饰品的单价；
21．距离2022年中招体育考试的时间已经越来越近，某校初三年级为了了解本校学生在平时体育训练的效果，随机抽取了男、女各60名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为A，B，C，D四个等级分别是：
A：，B：，C：，D：

60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图：
男生成绩在B组的前10名考生的分数为：
47.5，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45．
60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：
性别
平均数
中位数
众数
男生
47.5
a
47
女生
47.5
47
47.5

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，并补全条形统计图．
(2)根据以上数据，你认为在此次考试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）．
(3)若该年级有800名学生，请估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为A等级的考生人数．
22．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．
(1)第一周选择的是八年级班级的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
23．桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于（墨子·备城门），是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，；当点A从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶上升的高度．（参考数据：，，）

24．小明学习菱形时，对矩形进行了画图探究，其作法和图形如下：

①连接；
②分别以点，为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，交于点，交于点；
③连接，．
(1)根据以上作法，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
25．如图，点O在的平分线上，与相切于点C．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)的延长线与交于点E．若的半径为3，．求弦的长．
26．第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．

(1)求b、c的值；
(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
27．某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
(1)【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点处，当∠BEF＝25°，则∠FE ＝_____°．

(2)【特例探究】如图2，连接DF，当点恰好落在DF上时，求证：AE＝2 F．

(3)【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与F之间的数量关系式．

(4)【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．

参考答案：
1．C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】250000=2.5×105，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【分析】由合并同类项、同底数幂除法，完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
4．B
【分析】根据垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，逐个分析判断即可．
【详解】解：①可以用垂线段最短解释；②可以用两点之间线段最短解释；③可以用两点确定一条直线解释．
故选：B.
【点睛】本题考查了垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，掌握以上知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式可得k≠0且Δ0，解之得出k的范围．
【详解】解：根据题意知k≠0且 ，
解得：且k≠0．
故答案选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则有b2−4ac≥0⇔方程有两实根，b2−4ac＞0⇔方程有两不等实根，b2−4ac＝0⇔方程有两相等实根，b2−4ac＜0⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．
6．C
【分析】利用平行线的判定和性质即可解决问题．
【详解】如图，

∵∠1+∠2＝180°，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝∠5，∠3＝55°，
∴∠4＝∠3＝55°，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7．D
【分析】过A点作AN⊥DF于N，根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，则可知△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即tan∠ABE得解．
【详解】过A点作AN⊥DF于N，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正切、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△AFD是等腰三角形是解答本题的关键．
8．A
【分析】主要分0≤t≤1时、1＜t≤4时、4＜t≤5时三种情况来进行讨论，得出函数关系式，再进行选择即可
【详解】设平移后的函数关系式为：y=2x+b，
∵矩形ABCD在第一象限，，，
∴AB=2，BC=4，，，
将代入，得b=﹣2，
∴当y=2x向右平移经过点B时，函数关系式为y=2x-2，
令y=0，则x=1，即向右平移了1个单位，
故当0≤t≤1时，
此时，开口向上；
将代入，得b=﹣8，
∴当y=2x向右平移经过点D时，函数关系式为y=2x-8，
令y=0，则x=4，即向右平移了4个单位，
故当1＜t≤4时，，
此时，图像是一条线段；
将代入，得b=﹣10，
∴当y=2x向右平移经过点C时，函数关系式为y=2x-10，
令y=0，则x=5，即向右平移了5个单位，
故当4＜t≤5时，，
此时，开口向下；
故选：A
【点睛】此题是一个信息题目，根据图象信息找到所需要的数量关系，所以解决本题的关键是读懂图意，得到相应的函数关系式．
9．2
【分析】根据立方根的意义即可完成．
【详解】∵
∴8的立方根为2
故答案为：2
【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键．
10．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
11．29℃
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】解：数据排序为：24、24、29、30、33，
∴中位数为29，
故答案为：29℃．
【点睛】此题考查中位数问题，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
12．46
【分析】题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数一样建立等式，进行求解．
【详解】解：设有人一起分银子，根据题意建立等式得，
，
解得：，
银子共有：（两）
故答案是：46．
【点睛】本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，解题的关键是：读懂题目意思，根据题目中的条件，建立等量关系．
13．
【分析】根据圆周角定理得BC为⊙O的直径，即BC=2，所以AB= ，设该圆锥的底面圆的半径为rm，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=2m，
∵AB=AC，
∴AB= ，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得r= ，
即该圆锥的底面圆的半径为m．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是弄清扇形弧长和底面圆的周长的关系．
14．
【分析】根据在正五边形ABCDE，计算出正五边形的每个内角为：540°÷5=108°，所以∠BCD=108°，BC=CD，CD=DE，得到三角形BCD和三角形CDE是等腰三角形，得到BC=BO=2，从而得到∠BOE=180°-∠BOC=108°，根据弧长公式先求出所以的长，再求的长即可；
【详解】连接OM，ON；

∵在正五边形ABCDE
∴正五边形的每个内角为：540°÷5=108°
所以∠BCD=108°，BC=CD，CD=DE
即三角形BCD和三角形CDE是等腰三角形，
∴∠ECD=∠CBD=（180°-108°）÷2=36°
∠BCO=180°-36°=72°，
∠BOC=180°-72°-36°=72°，
∴∠BOC=∠BCO
所以三角形BCO为等腰三角形，
∴BC=BO=2
∴∠BOE=180°-∠BOC=108°
∠ABO=108°-∠CBO-∠CB0=108°-36°=72°
∵OB=OM
∴∠OBM=∠BMO-72°
∴∠BOM=180°-∠OBM-∠OMB=180°-72°-72°
同理可得;∠NOE=36°
∴∠MON=108°-∠BOM-∠NOE
=108°-36°-36°=36°
所以=
故答案为：
【点睛】本题考查了弧长的计算，以及正五边形的有关性质，解题的关键是熟悉弧长的计算，以及正五边形的内角，以及等腰三角形的性质和判定．
15．（5+5）
【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM．
【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，

∵AM⊥CD，
∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM=OP，
∵OC=OD=10，∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP=∠COD=30°，
∴QM=OP=OC•cos30°=5（分米），
∵∠AOC=105°，∠QOP=90°，
∴∠AOQ=105°+30°-90°=45°，
∴AQ=OA•sin45°=5（分米），
∴AM=AQ+MQ=（5+5）分米．
故答案为：（5+5）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．
【分析】根据直角坐标系的性质，得，根据一次函数的性质，得；根据勾股定理的性质计算得，根据相似三角形和三角函数的性质，得；根据相似三角形的性质，推导得，即可得点B在线段CD上，从而完成求解．
【详解】如图，根据题意，当点P和点O重合时，点B运动到点C；当点P和点N重合时，点B运动到点D

∵点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，轴于点M，
∴，点N横坐标为2
∵交直线于点N
∴，即
∴
∴
∴
∵，
∴
根据题意，得：，，
∴，
∴
∴
∴
∵
如图，点P在点O和点N之间

∴
∵,
∴
根据题意，得：，，
∴，
∴
∴
∴
∴点B在线段CD上
∴当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径为：
∴点B运动的路径长是
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角坐标系、一次函数、勾股定理、三角函数、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、相似三角形的性质，从而完成求解．
17．4
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝2×＋3−+1
＝＋3−+1
＝4．
【点睛】此题主要考查了特殊三角函数值，零指数幂，绝对值，二次根式的加减，正确化简各数是解题关键．
18．
【分析】直接解不等式组求解，并在解集中取最大整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
方程组的最大整数解为．
【点睛】本题考查不等式组的解法，寻找各不等式公共解集是解题的关键．
19．，
【分析】由题意先利用分式的运算法则进行计算化简，进而代入计算即可.
【详解】解：



当时，
原式=.
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则以及分母有理化的方法是解题的关键.
20．种饰品的单价为40元，种饰品的单价为15元
【分析】解设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，然后根据预算资金为1700元；其中800元购买种商品，其余资金购买种商品，且购买种的数量是种的3倍列出方程求解即可．
【详解】解：设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
（元，
答：种饰品的单价为40元，种饰品的单价为15元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
21．(1)作图见解析，，
(2)女生体考成绩好，理由见解析
(3)该年级所有参加体考的考生中，成绩为A等级的考生人数为320人

【分析】（1）由，可知男生的体考成绩在B等级的人数，可补全统计图，查找男生B等级前10的分数可知第6与第7位数分别为47,46，计算二者的平均数可得中位数a，由，可知b的值；
（2）在体考成绩平均数相同的情况下，女生成绩的中位数47大于男生体考成绩的中位数46.5，可判断女生成绩更好；
（3）由题意知，计算即可．
【详解】（1）解：∵
∴男生的体考成绩在B等级的人数为16
补全条形统计图，如图：

男生的体考成绩中位数落在B等级，是第6与第7位数的平均数
查找男生B等级前10的分数可知第6与第7位数分别为47,46
∴平均数为
∴
∵
∴
故答案为：46.5，30．
（2）解：女生体考成绩好
因为在体考成绩平均数相同的情况下，女生成绩的中位数47大于男生体考成绩的中位数46.5
∴女生体考成绩好．
（3）解：∵（人）
∴（人）
∴该年级所有参加体考的考生中，成绩为A等级的考生人数为320人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，样本估计总体等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
22．(1)
(2)两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为

【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为；
故答案为：
（2）根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，
∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
23．水桶上升的高度米
【分析】过O作，过B作于C，过作于D，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可．
【详解】解：过O作，过B作于C，过作于D，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵米，，
∴米，米，
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶上升的高度为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
24．(1)四边形是菱形，理由见详解
(2)

【分析】（1）根据作图可知：垂直平分，先证明，再证明，即有，进而有，问题得解；
（2）由，可得，在中，有，即有，解方程即可求出，问题得解．
【详解】（1）四边形是菱形，理由如下：
根据作图可知：垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵在中，有，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
25．(1)与相切，理由见解析
(2)

【分析】（1）连接，过点作，交于点，根据角平分线的性质，可得，即可得到与相切；
（2）设交于点，连接，证明，求出的长，利用相似比，得到，再利用勾股定理，进行求解即可．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
连接，

∵与相切于点C，
∴，
过点作，交于点，
∵点O在的平分线上，
∴，
∴点在上，
∴与相切．
（2）设交于点，连接，

则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∵的半径为3，，
∴，
∴，
∴或（舍去）；
∴，
∴，
在中：，即：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
26．(1)，
(2)①   ②时，最大，为

【分析】（1）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论；
（2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为．
【详解】（1）解：过作于，于，如图所示：

，
着陆坡AC的坡角为30°，即，
，
在中，，
则，
，
，即，，
将，代入得，解得；
（2）解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，
当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，
，解得，
水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；
②作轴交抛物线于，交于，如图所示：

设直线的表达式为，将，代入得，解得，即直线的表达式为，
由（1）知抛物线表达式为，
，
运动员离着陆坡的竖直距离，
由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
27．(1)25；
(2)见解析；
(3)，理由见解析；
(4)．

【分析】（1）先求得的度数，从而得到的度数，即可求解；
（2）由折叠的性质可得，，，从而得到，证得，得到，利用三角函数的定义即可求证；
（3）由（2）可得E为AB的中点，利用三角函数的定义可得，即可求解；
（4）在AB上截取BG，使得BG=BF，连接GF，在FD上截取FH，使得FH=BF，连接EH，则为等边三角形，利用全等三角形的判定与性质，得到为等边三角形，设，，利用全相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
∴，
由折叠的性质可得：，
∴
故答案为：25
（2）证明：由折叠的性质可得，，，，
∴
由题意可得：，
∴，
∴
又∵，
∴（AAS）
∴，即E为AB的中点，
由三角函数的定义可得：，，
∵，
∴，即，
∴
（3）解：，理由如下：

由（2）可得，E为AB的中点，
又∵AD＝mAB，
，
由三角函数的定义可得：，
∵，
∴，即，
∴
（4）解：，理由如下：
在AB上截取BG，使得BG=BF，连接GF，在FD上截取FH，使得FH=BF，连接EH，如下图：

∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
由题意可得：，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（SAS）
∴，，
又∵
∴，
∴为等边三角形，
∴
设，，则，
∵，
∴
∴，即
解得，负值已舍去
，
∴
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义，综合性比较强，难度较大，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，对于（4）小问，要作出合适的辅助线，构造出全等三角形和等边三角形．