江苏省苏州市姑苏区苏州中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份江苏省苏州市姑苏区苏州中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省苏州市姑苏区苏州中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列运算一定正确的是（    ）.
A．； B．； C．； D．
2．已知一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．24cm2 B．15cm2 C．21cm2 D．12cm2
3．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（    ）.
A．； B．； C．； D．.
4．若不等式组有解，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
5．化简等于（    ）
A． B．0
C． D．以上都不对
6．若，则（    ）
A．0 B． C． D．或
7．如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为（    ）

A． B． C．24 D．
8．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
9．已知关于的方程，若为正实数，则下列判断正确的是（    ）
A．有三个不等实数根 B．有两个不等实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
10．如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为(　　)

A．6 B．4 C．4 D．6

二、填空题
11．在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相同.小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是25 %，则估计这只袋子中有红球________.
12．将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是_______________.
13．与是相反数，计算______．
14．若表示不超过的最大整数，，则______．
15．如图，M、N分别为两边、的中点，与交于点O，则______．

16．如图，已知圆O的面积为，为直径，弧的度数为，弧的度数为，点P为直径上任一点；则的最小值为______．

17．从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是________ ．
18．已知二次函数，当，y有最大值为，则a的值为_____．
19．若满足的每一个实数都是不等式的解，则实数取值范围为______．
20．由直线和直线（是正整数）与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是______．

三、解答题
21．计算：．
22．化简求值：已知：，求代数式的值．
23．为了倡导“节约用水，从我做起”，某社区决定对该辖区200户家庭用水情况进行调查．调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.40
b
c
0.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空：a＝_______，b＝_______，c＝_______．本组数据的中位数是_______．
(2)根据样本数据，估计该辖区200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
(3)该社区决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．
24．已知抛物线过点，且与直线只有一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
25．为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：
该地区每周接种疫苗人数统计表
周次
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
接种人数（万人）
7
10
12
18
25
29
37
42
该地区全民接种疫苗情况扇形统计图

A：建议接种疫苗已接种人群
B：建议接种疫苗尚未接种人群
C：暂不建议接种疫苗人群


根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人；
（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．
①估计第9周的接种人数约为________万人；
②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？
（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？
26．如图，点E，F分别在正方形的边，上，且，点P在射线上（点P不与点F重合）．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线，垂足为点H，交射线于点Q．

(1)如图1，若点E是的中点，点P在线段上，请直接写出线段，，满足的数量关系______．
(2)如图2，若点E不是的中点，点P在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)正方形的边长为9，，，请直接写出线段的长______．
27．定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．

(1)利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形______（填写序号）
①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形
(2)如图1，在对角互余四边形中，，且，．若，求四边形的面积和周长．
(3)如图2，在四边形中，连接，，点是外接圆的圆心，连接，．求证：四边形是“对角互余四边形”；
(4)在（3）的条件下，如图3，已知，，，连接，求的值．（结果用带有a，b的代数式表示）

参考答案：
1．D
【分析】根据同类项的合并、幂的运算法则、平方差公式判断.
【详解】解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算法则及乘法公式，熟练运用整式的法则和公式是解题的关键.
2．B
【分析】根据勾股定理求出母线，再根据扇形面积公式求解.
【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥的侧面积为π×3×5=15π(cm2)，
故选:B．
【点睛】熟记扇形面积公式,并灵活运用，圆锥的侧面积可表示为:母线长×半径×π..
3．A
【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第一次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可.
【详解】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.
4．B
【分析】先确定不等式的解集，进而得出关于a的不等式，求出解集即可．
【详解】根据题意，得，
可知，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解，理解不等式组有解的含义是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴原式，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意可得，再把原式变形为，再把代入可得到，再次把代入可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴






故选：C
【点睛】本题考查了降次思想及整体思想，本题的关键是将高次幂通过降次全部降到一次幂截止，然后再合并同类项即可求解．
7．D
【分析】本题是一个三棱柱，底面是一个等边三角形，边上的高是，底边是一个边长为2的正三角形，三棱柱的高是4，写出三棱柱的表面积公式即可得到结果．
【详解】解：由题意知本题是一个三棱柱，
底面是一个等边三角形，边上的高是，
∴底面是一个边长为2的正三角形，三棱柱的高是4，
∴几何体的全面积是，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的全面积，由三视图正确恢复原几何体是解题关键．
8．C
【分析】结合题意得，，从而求出，对进行化简得代入即可求解．
【详解】解：，，，
，，，
，，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是结合题意求出．
9．C
【分析】先整理方程，把方程的解转化为函数的图象与的图象交点问题，然后在同一平面直角坐标系内画出大致图象即可得解．
【详解】解：方程
整理得：，
∴原方程的解的个数等于等于函数的图象与的图象的交点的个数，
∵，
∴函数的图象的最低点为，
∴函数的图象位于第一、二象限，
∵为正实数，
∴，
∴函数的图象位于第二、四象限，
如图，

∴两函数图象一定有一个交点．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，把方程的解的个数转化为两个函数图象的交点的个数，正确分析作出函数的大致图象是解题的关键．
10．A
【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．
【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH
四边形ABCD是正方形
，

，，即
又

，即

由三角形的三边关系定理得：
由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上
由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆A的交点时，取得最小值，最小值为
，
在中，由勾股定理得
即的最小值为
故选：A．

【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
11．80
【分析】用频率乘以总数=个数.
【详解】因为摸到红球的频率是25 %，
所以，估计这只袋子中有红球：320×25 %=80（个）
故答案为80
【点睛】理解频率的意义，用频率表示概率.
12．
【分析】先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移1个单位可得到抛物线，再根据上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位得到的抛物线.
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移1个单位可得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位可得到抛物线．
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13．
【分析】根据相反数的定义得到，求出，得出，利用完全平方公式变形得到，即可求出答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了相反数的应用，完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键．
14．
【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到．
【详解】解：，那么，
∴，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．
15．
【分析】连接，由中位线定理及三角形中线性质可得，，，进而得，可得，可知可得，，即可得答案．
【详解】解：连接，

∵M、N分别为两边、的中点，
∴，为的中位线，
则，，
∴，
∴，则
∴，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，三角形中位线定理，中线的性质，连接中点构造中位线是解决问题的关键．
16．3
【分析】先设圆的半径为，由圆的面积为求出的值，再作点关于的对称点，连接，，，，则的长即为所求，进而可得出结论．
【详解】解：设圆的半径为，
∵的面积为，
∴，即．
作点关于的对称点，连接，，，，如图，

由对称可知，，则（当，，在同一直线上时，取等号）
则的长即为的最小值，
∵的度数为，
∴的度数为，则的度数为，
∵的度数为，
∴的度数为与的度数之和，即的度数为，
∵，
∴，
过作，则，
∴，即的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查圆上的最值问题，弧与圆心角的关系，解直角三角形，利用圆的对称性作对称点是解决问题．
17．5.5
【分析】先根据题意求出和的所有可能的结果，然后求出a、b，再根据中位数的定义解答即可．
【详解】根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：
1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，
2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，
3+5=8，3+7=10，3+8=11，
5+7=12，5+8=13，
7+8=15，
它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，所以是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，
则样本6，5，5，9按大小排列为：5，5，6，9，
则这组数据的中位数是；
故答案为5.5．
【点睛】本题主要考查了中位数的定义，正确求出a、b，熟知中位数的概念是解题的关键．
18．或
【分析】由二次函数解析式可得出其对称轴为直线．分类讨论：①当，即时，②当，即时和③当，即时，分别画出大致图象，结合图象判断当时的增减性，即得出当x为何值时，y有最大值为，最后将此时x和y的值代入原二次函数解析式，解出a的值即可．
【详解】由二次函数解析式可得出其对称轴为直线，
分类讨论：①当，即时，如图1，

∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：，（舍）；
②当，即时，如图2，

∴当时，，
代入中，得：，
解得：（舍）；
③当，即时，如图3，

∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：，（舍）．
综上可知a的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
19．##
【分析】先求出当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，再根据题意确定此时不等式的解集为，由此即可得到．
【详解】解：∵，
∴或
∴或，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
∵满足的每一个实数都是不等式的解，
∴此时不等式的解集为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，把不等式转化为两个一元一次不等式组是解题的关键．
20．
【分析】首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．
【详解】解：恒过，也恒过，k为正整数，那么，如图，

直线与x轴的交点是，与y轴的交点是
直线与x轴的交点是，与y轴的交点是，
那么，
=



又，
∴当时，值最小，
因此，当时，四边形的面积最小，最小值．
故答案为：
【点睛】本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识求最值问题．
21．
【分析】利用算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的定义，负整数指数幂计算．
【详解】原式

【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的定义，负整数指数幂．
22．；1
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：



，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．(1)20；0.18；0.20；5吨；
(2)该辖区200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有132户；
(3)画图见解析；；所有等可能的结果分别为：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）．

【分析】（1）根据题意，首先计算得被调查样本数，再根据频数和频率的性质计算，即可得到答案；根据中位数的定义求解即可；
（2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案；
（3）根据用树状图求概率的方法计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：抽查的户数为：4÷0.08＝50（户），
∴a＝50×0.40＝20，
b＝9÷50＝0.18，
c＝10÷50＝0.20，
根据这50户家庭的月平均用水量吨数从小到大进行排序，排在第25、26的月平均用水量都是5吨，所以中位数是5吨；
故答案为：20；0.18；0.20；5吨．
（2）∵4+20+9＝33（户），
∴该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有：200×＝132（户）．
（3）画树状图如图所示：

∵共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为，
所有等可能的结果分别为：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）．
【点睛】本题考查了调查统计和概率的知识，画出树状图或列出表格，得到所有可能出现的结果是解题的关键．
24．(1)；
(2)存在满足题意的点．或或或或

【分析】（1）把点代入得，联立，得，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是，求出，，，分三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，得，解得，
联立，
得，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
解得或2，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）存在满足题意的点．
联立，
解得或，
∴，，

由抛物线，可知抛物线对称轴为，
设点Q的坐标是，
则，，
由勾股定理，得，
当点为顶角时，，即，
解得或，
∴或；
当为腰，为顶角时，，即，
解得或，
∴或；
当为底时，，即，
解得，
∴．
故满足题意的点坐标为：或或或或．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、勾股定理求两点间的距离、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
25．（1）22.5，800；（2）①48；②最早到13周实现全面免疫；（3）25周时全部完成接种
【分析】（1）根据前8周总数除以8即可得平均数，8周总数除以所占百分比即可；
（2）①将代入即可；②设最早到第周，根据题意列不等式求解；
（3）设第周接种人数不低于20万人，列不等式求解即可
【详解】（1）22.5，
故答案为：
（2）①把代入

故答案为：48
②∵疫苗接种率至少达到60%
∴接种总人数至少为万
设最早到第周，达到实现全民免疫的标准
则由题意得接种总人数为
∴
化简得
当时，
∴最早到13周实现全面免疫
（3）由题意得，第9周接种人数为万
以此类推，设第周接种人数不低于20万人，即
∴，即
∴当周时，不低于20万人；当周时，低于20万人；
从第9周开始当周接种人数为，
∴当时
总接种人数为：解之得
∴当为25周时全部完成接种.
【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式解决实际问题,读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
26．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)4或8

【分析】（1）先证明可得，再根据、，即可得出结论；
（2）先证明可得，再根据，，且即可证明；
（3）①当点P在线段上时，点Q在线段上，由（2）可得，根据即可求出结果；②当点P在线段上时，点Q在线段的延长线上，证明，可得，再根据，求出，即可求出结果．
【详解】（1）解：，证明如下：
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又点E是的中点，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
．
（2）解：成立，证明过程如下：
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
又，
．
（3）解：①当点P在线段上时，点Q在线段上，如图所示；
由（2）可知：，
，，；
②当点P在线段上时，点Q在线段的延长线上，如图：
，
，
又，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
综上所述，线段的长为4或8．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及线段中点的定义和对顶角的性质、正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定证明是解题的关键．
27．(1)①③
(2)周长为；面积
(3)见解析
(4)

【分析】（1）结合定义来判断，重点是拼成的四边形一对对角互余．
（2）因为，，所以，所以在对角互余四边形中，只能．这样利用含直角三角形三边的特殊关系，就可以解决问题；
（3）连接，则，得出，进而得出，即可得出；
（4）如图，作，过点作于点，连．得出，同理可得，进而证明，得出，在中，，即可得出．
【详解】（1）解：①两个等腰三角形底边相等，顶角互余，就可以，故①可以得到一个对角互余四边形；
②等边三角形不成，即使是全等的等边三角形拼成四边形对角和为或，故②得不到对角互余四边形；
③两个全等的直角三角形或有一条直角边相等的相似的两个直角三角都可以，故③可以得到一个对角互余四边形；
④若是两个全等的直角三角形，根据③可以得到一个对角互余四边形，两个一般全等三角形，不成立，
故答案为：①③．
（2）∵，，
∴，
∵对角互余四边形中，，
∴，
在中，，，，
∴，，
在中，，，
∴，，
∵，，
∴，
四边形的周长；
（3）连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是“对角互余四边形”；
（4）如图，作，过点作于点，连．

∵，
∴．
∴，即．
∵，，
∴．
同理可得．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴，
∴．
在中，，
∴．
∴，即．
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．