2022-2023学年江苏省泰州市海陵区教育集团九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市海陵区教育集团九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式中计算正确的是( )
A. x2⋅x4=x6B. x5+2x5=3x10C. (2a)3=6a3D. m6÷m2=m3
2. 下面的几何体中，主视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得数据如表：
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近( )
A. 200B. 300C. 500D. 800
4. 已知第一组数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，第二组数据恰好是第一组数据中每个都加2，则两组数据的下列统计量对应相同的是( )
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
5. 已知点(−3,y1)、(−1,y2)、(1,y3)在下列某一函数图象上，且y3A. y=3xB. y=3x2C. y=3xD. y=−3x
6. 方程x2+3x−1=0的根可视为函数y=x+3与y=1x图象交点的横坐标，若关于x的方程x3−mx−2=0(0A. −12
二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）
7. 2022年5月15日4时40分，我国自主研发的极目一号Ⅲ型科学考察浮空艇升高至海拔9032m，将9032用科学记数法表示为 ．
8. 单项式2x2y的次数是：______．
9. 函数y=2 x+2中，自变量x的取值范围是______．
10. 把多项式x2−16分解因式的结果为______．
11. 不等式组12x≥−12x+6>0的解集为______ ．
12. 若关于x的分式方程mx−3=23−x+1有增根，则m= ______ ．
13. 一元二次方程x2+mx+2m=0(m≠0)的两个实根分别为x1，x2，则x1+x2x1x2=______．
14. 如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC>CB，AB=2，那么AC的长度为______ ．
15. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中题目译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，根据题意可列一元一次方程为______．
16. 已知平行四边形ABCD的面积为4，对角线AC在y轴上，点D在第二象限内，且AD⊥y轴，当反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B、D时，k= ______ ．
17. 在平面直角坐标系中，点T是y轴上一点，已知点P(不与点T重合)，将点P绕点T逆时针方向旋转90°得到点Q，则称点P、Q互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点.已知点A(1,0)、B(2,0)，点P(a,b)在一次函数y=2x+1的图象上.若在线段AB上存在点P的和谐Q，则实数a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
(1)计算： 27−2cs30°+(12)−2−|1− 3|；
(2)先化简，再求值：x2+xx2−2x+1÷(x+1)2x2−1−x−3x−1，其中x= 3+1．
19. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2−4x+3=0；
(2)x+1x−1+41−x2=1．
20. (本小题8.0分)
小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目(依次用A、B、C表示)，第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目(依次用D、E表示)，参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
21. (本小题8.0分)
近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
22. (本小题8.0分)
如图，AC与BD交于点O，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于F.给出下列信息：①AB=CD；②∠ABC=∠BCD；③∠A=∠BDC．
(1)请在上述这三条信息中任选两个作为补充条件，求证：△AOB≌△DOC.你选择的条件是______ (只填序号)．
(2)在(1)的条件下，若AB=2，BC=3，CE=1，求EF的长．
23. (本小题8.0分)
某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为9米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°．
(1)求建筑物CD的高度；
(2)求建筑物AB的高度.(结果精确到0.1米，参考数据： 3≈1.73，sin37°≈35，tan37°≈34)
24. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象的顶点D的坐标为(4,−3)，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P(m,n)是该二次函数的图象上一动点，求2m+3n的最小值．
25. (本小题8.0分)
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB=∠BCD，过点C作CE⊥AD于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若OB=BD，求证：点E是OB的中点；
(3)在(2)的条件下，若点F是⊙O上一点(不与A、B、C重合)，求EFDF的值．
26. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于点A、B(A在B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，点P是抛物线上位于点B、C之间的动点．
(1)求∠ABC的度数；
(2)若∠PBC=∠ACO，求点P的坐标；
(3)已知点P(p,n)，若点Q(q,n)在抛物线上，且p>q；
①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q；
②若PQ=2t，求p2+tq−3t+2022的值．
27. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，点A、B是反比例函数y1=kx的图象上的两点，且点A与点A′关于原点对称，直线l：y2=px+q(p<0)经过点A，设点A、B的横坐标分别为a、b(a
(1)若k=4，a=−4，b=−1，且点B在直线l上．
①求函数y2的表达式；
②求△ABA′的面积；
(2)当△ABA′是直角三角形时，求证：ab=k；
(3)过点A′作y轴的平行线交直线l于点D，以A′D为边向左侧作矩形A′DEF其中DE//x轴，且tan∠A′ED=−2p，试说明：直线l与线段EF的交点P始终在函数y1的图象上．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、原式=x6，符合题意；
B、原式=2x5，不符合题意；
C、原式=8a3，不符合题意；
D、原式=m4，不符合题意，
故选：A．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
【解答】
解：A、主视图是长方形，故A选项错误；
B、主视图是长方形，故B选项错误；
C、主视图是三角形，故C选项正确；
D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：∵正面朝上的频率接近于0.5，
∴若抛掷硬币的次数为1000，
则“正面朝上”的频数最接近0.5×1000=500，
故选：C．
随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得，第二组数据为74，75，78，78，79，80，80，80，
第一组数据处在最中间的数据为76和77，出现次数最多的数据为78，
∴第一组数据的中位数为76+772=76.5，众数为78，
同理第二组数据的中位数为78+792=78.5，众数为80；
第一组数据的平均数为：72+73+76+76+77+78+78+788=76，
第二组数据的平均数为：74+74+78+78+79+80+80+808=78，
第一组数据的方差为(72−76)2+(73−76)2+2×(76−76)2+(77−76)2+3×(78−76)28=4.75，
第二组数据的方差为(74−78)2+(75−78)2+2×(78−78)2+(79−78)2+3×(80−78)28=4.75
∴只有方差对应相同，
故选：B．
分别计算出两组数据的平均数，中位数，方差和众数即可得到答案．
本题主要考查了求平均数，中位数，众数和方差，熟知相关计算公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断y的大小．
根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．
【解答】
解：A.y=3x，因为3>0，所以y随x的增大而增大，所以y1B.y=3x2，当x=1和x=−1时，y相等，即y3=y2，故不符合题意；
C.y=3x，当x<0时，y随x的增大而减小，x>0时，y随x的增大而减小，所以y2D.y=−3x，当x<0时，y随x的增大而增大，x>0时，y随x的增大而增大，所以y3故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：对于方程x3−mx−2=0，可整理为x2−m=2x，
故该方程的根可视为函数y=x2−m与y=2x图象交点的横坐标，
函数图象大致如图所示，

当x=1时，二次函数y1=12−m=1−m，
∵0∴0此时反比例函数y2=21=2，
根据二次函数和反比例函数的增减性可知，交点在x=1的右边；
当x=2时，二次函数y1′=22−m=4−m，
∵0∴3此时反比例函数y2′=22=1，
根据二次函数和反比例函数的增减性可知，交点在x=2的左边；
∵交点在第一象限，
∴1故选：C．
将方程x3−mx−2=0整理为x2−m=2x，故该方程的根x0可视为函数y=x2−m与y=2x图象交点的横坐标，画出相应的函数图象，并结合二次函数和反比例函数的图象与性质即可得到x0的取值范围．
本题主要考查了反比例函数与二次函数的交点问题，解题关键是得到所求方程为一个二次函数图象和反比例函数图象的交点的横坐标．
7.【答案】9.032×103
【解析】
【分析】
此题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解本题的关键．
把9032表示成a×10n，其中1⩽a<10，n为整数即可．
【解答】
解：9032=9.032×103．
故答案为：9.032×103．
8.【答案】3
【解析】解：根据单项式次数的定义，字母x、y的次数分别是2、1，和为3，即单项式的次数为3．
故答案为3．
根据单项式次数的定义来确定．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
本题考查单项式次数的定义，要记清，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
9.【答案】x>−2
【解析】解：由题意，得
x+2>0，
解得：x>−2，
故答案为：x>−2．
根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
10.【答案】(x+4)(x−4)
【解析】解：x2−16=(x+4)(x−4)．
故答案为：(x+4)(x−4)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
11.【答案】x≥−2
【解析】解：解不等式12x≥−1得：x≥−2，
解不等式2x+6>0得：x>−3，
∴x≥−2，
故答案为：x≥−2．
分别求解不等式即可得到不等式组的解集．
本题考查了求一元一次不等式组的解集；解题的关键是熟练掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”．
12.【答案】−2
【解析】解：方程两边都乘(x−3)，
得m=−2+x−3，
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x−3)=0，
解得x=3，
当x=3时，m=−2，
故答案为−2．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】−12
【解析】解：∵一元二次方程x2+mx+2m=0(m≠0)的两个实根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−m，x1⋅x2=2m，
∴x1+x2x1x2=2m−m=−12．
故答案为：−12．
由根与系数的关系可得x1+x2=−m，x1⋅x2=2m，继而求得答案．
此题考查了根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．
14.【答案】 5−1
【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，并且AC>CB，
∴ACAB= 5−12，
∵AB=2，
∴AC= 5−1，
故答案为： 5−1．
根据黄金比值为 5−12计算即可．
本题考查黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金比值是解答的关键．
15.【答案】5x+45=7x+3
【解析】解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45=7x+3．
故答案为：5x+45=7x+3．
设合伙人数为x人，根据买羊需要的钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16.【答案】−2
【解析】解：设点D的坐标为(x,y)，且点D在第二象限内，x<0，如下图：

∴AD=−x，OA=y，
∵AD//x轴//BC，AC在y轴上，
∴AC与BD互相平分，
∵平行四边形ABCD的面积为4，
∴AC=2OA，
∴AD⋅AC=AD⋅2OA=4，
∴−2xy=4，
∴xy=−2即k=−2，
故答案为：−2．
设点D的坐标为(x,y)，由题意可知：k<0，且AD//x轴//BC，由于AC在y轴上，且由平行四边形的对角线的性质，可知AC与BD互相平分，由因为点B、D在双曲线y=kx上，由双曲线的对称性可知：AC与BD的交点在原点处，进而可得xy的值，即可k的值．
此题主要考查了反比例函数的性质，掌握平行四边形的面积与性质是关键．
17.【答案】−1≤a≤−23
【解析】解：如图，

B、Q为和谐点，设Q(a,2a+1)，△QTB为等腰直角三角形，过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠QHT=∠BOT=∠BTO=90°，
∴∠BTO+∠QTH=90°，∠QTH+∠TQH=90°，
∴∠TQH=∠BTO，
∵TQ=BT，
∴△BOT≌△THQ(AAS)，
∴QH=TO=−a，TH=OB=2，
∴−2a+1=2−a，
∴a=−1
在图2中，

A、Q为和谐点，设Q(a,2a+1)，△QTA为等腰直角三角形，过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠THQ=∠TOA=∠ATQ=90°，
∴∠ATO+∠QTH=90°，∠QTH+∠TQH=90°，
∴∠ATO=∠TQH，
∵TQ=BT，
∴△AOT≌△THQ(AAS)，
∴QH=TO=−a，TH=OA=1，
∴−a=1+1+2a，
∴a=−23，
综上所述：−1≤a≤−23，
故答案为：−1≤a≤−23．
如图1，B、Q为和谐点，设Q(a,2a+1)，△QTB为等腰直角三角形，在图2中，A、Q为和谐点，设Q(a,2a+1)，△QTA为等腰直角三角形，分别利用三角形全等求出两图中的m的值即可得出最后结论．
本题考查一次函数的性质，掌握一次函数性质是解题关键．
18.【答案】解：(1)原式=3 3−2× 32+4− 3+1
=3 3− 3+4− 3+1
= 3+5．
(2)原式=x(x+1)(x−1)2⋅(x+1)(x−1)(x+1)2−x−3x−1
=xx−1−x−3x−1
=3x−1．
∵x= 3+1，
∴原式=3 3+1−1= 3．
【解析】(1)按照平方根，特殊角的三角函数值，负指数，绝对值的运算法则化简，然后合并解题；
(2)按照分式的运算法则化简，再代入数值计算解题．
本题考查分式的混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
∴x−1=0，x−3=0，
解得：x1=1，x2=3．
(2)x+1x−1+41−x2=1，
(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
x2+2x+1−4=x2−1，
2x=2，
x=1．
检验：x=1时，(x+1)(x−1)=0，
∴原方程无解．
【解析】(1)先把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
(2)先去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求得答案，再检验即可．
此题考查一元二次方程的解法与分式方程的求解方法．解题的关键是分式方程需检验．
20.【答案】解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为16．
【解析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，属于基础题．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
21.【答案】解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为(1+50%)xkm/h，
依题意，得：25x−30(1+50%)x=660，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴(1+50%)x=75．
答：走路线B的平均速度为75km/h．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为(1+50%)xkm/h，根据时间=路程÷速度结合走路线B比走路线A少用6min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
22.【答案】①②或②③或①③
【解析】解：(1)选择条件①②时，
在△AOB和△DOC中，
AB=CD∠ABC=∠BCDBC=BC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)；
选择条件②③时，
在△AOB和△DOC中，
∠ABC=∠BCD∠A=∠BDCBC=BC，
∴△AOB≌△DOC(AAS)；
选择条件①③时，
在△AOB和△DOC中，
AB=CD∠A=∠BDC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
故答案为：①②或②③或①③；
(2)∵△AOB≌△DOC，
∴CD=AB=2，
∵EF//CD，
∴∠BDC=∠F，∠BCD=∠E，
∴△BCD～△BEF，
∴CDEF=BCBE，
∴2EF=33+1，
解得EF=83．
(1)由SAS或AAS证明△AOB≌△DOC都可；
(2)又全等三角形的性质得CD=AB=2，再证△BCD～△BEF，得CDEF=BCBE，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在Rt△CDE中，tan∠CED=DCDE，DE=9，∠CED=30°，
∴tan30°=DC9，
解得：DC≈91.73≈5.2，
∴建筑物CD的高度约为5.2米；
(2)过点C作CF⊥AB于点F．
在Rt△CBF中，tan∠FCB=BFFC，BF=DC=5.2，∠FCB=37°，
∴tan37°=5.2FC≈34，FC≈6.93，
在Rt△AFC中，∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=6.93，
∴AB=AF+BF≈12.1，
∴建筑物AB的高度约为12.1米．
【解析】(1)由在Rt△CDE中，tan∠CED=DCDE，DE=9，∠CED=30°，即可求得答案；
(2)首先过点C作CF⊥AB于点F，然后在Rt△CBF中，求得FC，在Rt△AFC中，求得AF，继而求得答案．
此题考查了俯角与仰角的定义．注意能借助俯角与仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)∵图象与x轴相交于点A，且点A的横坐标为1，
∴A(1,0)，
∵二次函数的图象的顶点D的坐标为(4,−3)，
∴设二次函数的解析式为y=a(x−4)2−3，
把点A(1,0)代入，得：a(1−4)2−3=0
∴a=13，
∴二次函数的解析工为：y=13(x−4)2−3；
(2)y=13(x−4)2−3=13x2−83x+73，
∵P(m,n)是该二次函数的图象上一点，
∴n=13m2−83m+73，
∴2m+3n=2m+3(13m2−83m+73)
=2m+m2−8m+7
=m2−6m+7
=(m−3)2−2，
∵(m−3)2≥0，
∴(m−3)2−2≥−2，即2m+3n的最小值为−2．
【解析】(1)根据顶点式设出二次函数解析式为y=a(x−4)2−3，再把点A(1,0)代入解析式，求出a=13，从而可得出二次函数关系式为y=13x2−83x+73；
(2)由P(m,n)是该二次函数的图象上一点求出n=13m2−83m+73，代入2m+3n可求解．
本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质与配方法等知识，正确进行配方是解答本题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵∠CAB=∠BCD，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：∵OB=BD，∠OCD=90°，
∴CB=12OD=OB=BD，
∵OB=OC，
∴BC=OB=OC，
∴△OCB是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴OE=BE=12OB，
∴点E是OB的中点；
(3)解：连接OF，

则OF=OB，而OE=12OB，OB=BD，
∴OE=12OF，OF=12OD，
∴OEOF=OFOD=12，
∵∠EOF=∠FOD，
∴△EOF∽△FOD，
∴EFFD=OEOF=12，
即EFDF的值为12．
【解析】(1)要证明CD是⊙O的切线，只需证明∠OCD=90°，即OC⊥CD即可；
(2)利用直角三角形斜边中线的性质证明△OCB是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得到结论；
(3)连接OF，由OEOF=OFOD=12，∠EOF=∠FOD，证明△EOF∽△FOD，即可得到答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26.【答案】(1)解：当x=0时，y=−x2+2x+3=3，
∴点C的坐标是(0,3)，
∴OC=3，
当y=0时，−x2+2x+3=0，解得x1=3.x2=−1，
∴点A的坐标是(−1,0)，点B的坐标是(3,0)，
∴OB=3，
∴OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABC=45°；
(2)延长BP与y轴相交于点M，作BN⊥AC于点N，

∵AB=AO+OB=4，
∵AC= OA2+OC2= 12+32= 10，
∴BN=6 105，AN= AB2−BN2= 42−(6 105)2=2 105，
∴NC=AC−AN= 10−2 105=3 105，
∴tan∠BCN=BNNC=2，
∵∠BCN=∠OCB+∠ACO=45°+∠ACO，∠OBM=∠OBC+∠PBC=45°+∠PBC，∠PBC=∠ACO，
∴∠OBM=∠NCB，
∴tan∠OBM=tan∠NCB=OMOB=2，
∴OM=6，
∴M(0,6)，
设直线BP的解析式为y=kx+b，将M(0,6)，B(3,0)代入得，b=63k+b=0，
解得b=6k=−2，
∴直线BP的解析式为y=−2x+6，
联立得y=−2x+6y=−x2+2x+3，
解得x=1y=4或x=3y=0(舍去)，
∴点P的坐标是(1,4)；
(3)①在y轴上找到点N(0,n)，用无刻度直尺连接PN，则PN与抛物线的交点即为点Q，

②∵抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为x=−22×(−1)=1，点P(p,n)，点Q(q,n)且p>q，
∴PQ=p−q，p+q2=1，
∴p+q=2，
∴PQ=2−q−q
=2−2q
=2(1−q)，
∵PQ=2t，
∴t=1−q，
∴p2+tq−3t+2022
=(2−q)2+q(1−q)−3(1−q)+2022
=2023．
【解析】(1)先求出点A、B、C的坐标，得到OB=OC，则△BOC是等腰直角三角形，即可得到结论；
(2)延长BP与y轴相交于点M，作BN⊥AC于点N，先求出AC= 10，再利用等积法求出BN=6 105，勾股定理求出AN=2 105，则NC=AC−AN=3 105，得到tan∠BCN=2，再证明∠OBM=∠NCB，则tan∠OBM=tan∠NCB=2，即可得到OM=6，得到点M(0,6)，利用待定系数法求出直线BP的解析式为y=−2x+6，与抛物线解析式联立，进一步即可得到点P的坐标；
(3)①在y轴上找到点N(0,n)，用无刻度直尺连接PN，则PN与抛物线的交点即为点Q；
②求出抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为x=−22×(−1)=1，由点P(p,n)，点Q(q,n)且p>q的PQ=p−q，p+q2=1，则p+q=2，即p=2−q，得PQ=2(1−q)，由PQ=2t，则t=1−q，把p=2−q和t=1−q代入p2+tq−3t+2022即可得到答案．
此题是二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、勾股定理、解直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、整式的混合运算等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
27.【答案】解：(1)①当k=4时，则y1=4x，
当a=−4时，则把x=−4代入y1=4x，得y=−1，
∴A(−4,−1)，
当b=−1时，则把x=−1代入y1=4x，得y=−4，
∴B(−1,−4)，
把A(−4,−1)，B(−1,−4)代入y2=px+q，得−4p+q=−1−p+q=−4，
解得：p=−1q=−5，
∴y2=−x−5；
②令y2=0，则0=−x−5，
∴x=−5，
设直线y2=−x−5与x轴交于点M，直线A′B交x轴于N，则M(−5,0)，

∵点A(−4,−1)与点A′关于原点对称，
∴A′(4,1)，
设直线A′B解析式为y=mx+n，
把A′(4,1)，B(−1,−4)代入，得4m+n=1−m+n=−4，
解得：m=1n=−3，
∴直线A′B解析式为y=x−3，
令y=0，则x=3，
∴N(3,0)，
∴S△ABA′=S△MNB+S△AON−S△AMO=12(3+5)×4+12×3×1−12×5×1=15；
(2)当x=a时，y1=ka，
∴A(a,ka)，
同理可得B(b,kb)，
∵点A与点A′关于原点对称，
∴A′(−a,−ka)，
∴AB2=(a−b)2+(ka−kb)2=a2−2ab+b2+k2(b−a)2a2b2，A′B2=(−a−b)2+(−ka−kb)2=a2+2ab+b2+k2(b+a)2a2b2，A′A2=(−a−a)2+(−ka−ka)2=4a2+4k2a2，
当△ABA′是直角三角形时，只能是∠ABA′=90°，
∴A′A2=AB2+A′B，
∴4a2+4k2a2=a2−2ab+b2+k2(b−a)2a2b2+a2+2ab+b2+k2(b+a)2a2b24a2+4k2a2=2a2+2b2+2k2a2+2k2b2，
∴2a2−2b2=2k2b2−2k2a2a2−b2=k2(a2−b2)a2b2a2b2=k2，
∵a0，
∴ab=k；
(3)∵点A的横坐标为a，点A的在反比例函数y1=kx的图象上，
∴A(a,ka)，
又点A的在直线l：y2=px+q(p<0)上，
∴A(a,ap+q)，
∴ka=ap+q，则k=a2p+aq或a2p=k−aq，
∵A′D//y轴交直线l：y2=px+q(p<0)于点D，A′(−a,−ka)，
∴D(−a,−ap+q)，
∴A′D=−ka−(−ap+q)=−ka+ap−q，
∵四边形A′DEF是矩形，
∴∠A′DE=90°，
∴tan∠A′ED=A′DED=−2P，
即−ka+ap−qED=−2p，
∴ED=k2ap−a2+q2p=k−a2p+aq2ap，
∵DE//x轴，
∴点E横向坐标为−a−k−a2p+aq2ap=−k+a2p+aq2ap，纵坐标与点D纵坐标相同，为−ap+q，
∴E(−k+a2p+aq2ap,−ap+q)，
∵矩形A′DEF，A′D//y轴，
∴EF//y轴，
把x=−k+a2p+aq2ap代入y=px+q，求得y=−k+a2p−aq2a，
∴直线l与线段EF的交点p(−k+a2p+aq2ap,−k+a2p−aq2a)，
∴(−k+a2p+aq2ap)⋅(−k+a2p−aq2a)=k+a2p+aq2ap⋅k+a2p−aq2a=k+k2ap⋅a2p+a2p2a=2k2ap⋅2a2p2a=k
∴直线l与线段EF的交点P始终在反比例函数y1=kx的图象上．
【解析】(1)①先求出点A(−4,−1)，B(−1,−4)，不规则用待定系数法求出函数y2的表达式即可；
②设直线y2=−x−5与x轴交于点M，直线A′B交x轴于N，则M(−5,0)，S△ABA′=S△MNB+S△AON−S△AMO求解即可；
(2)先求出A(a,ka)，B(b,kb)，A′(−a,−ka)，当△ABA′是直角三角形时，只能是∠ABA′=90°，则A′A2=AB2+A′B，即代入计算即可得出结论；
(3)根据A(a,ka)可得A′(−a,−ka)，又点A的在直线l：y2=px+q(p<0)上，所以A(a,ap+q)，则ka=ap+q，所以k=a2p+aq或a2p=k−aq，再根据A′D//y轴交直线l，求得D(−a,−ap+q)，从而求出E(−k+a2p+aq2ap,−ap+q)，继而求得p(−k+a2p+aq2ap,−k+a2p−aq2a)，然后证明(−k+a2p+aq2ap)⋅(−k+a2p−aq2a)=k，即可得出结论．
本题考查用待定数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，三角形面积，本题属一次函数与反比例关系函数综合、函数与几何综合题目，难度较大，属中考试常考题目．
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244