2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  “人中至少有人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列点中，一定在抛物线上的是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不在

8.  在中，，为上一动点，若，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  方程的根是______．

10.  分解因式：          ．

11.  支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，纳米米，将用科学记数法表示为______ ．

12.  有一个圆锥形零件，底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______ ．

13.  已知线段，若是的黄金分割点，则长为______ ，精确到

14.  若，，则的值为______．

15.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______ ．

16.  如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程．
；
．

19.  本小题分
解不等式组：．

20.  本小题分

先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．

21.  本小题分
武侯区某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动，随机选取了该校八年级的名学生进行测评，统计数据如表：

这名学生的测评成绩的平均数是        分，众数是        分，中位数是        分，方差是        分；
若该校八年级共有学生名，测评成绩在分以上包含分为优秀，试估计该校八年级优秀学生共有多少名？

22.  本小题分
一只不透明的袋子中，装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．
搅匀后从中随机摸出两个球，请通过列表或树状图求“所摸到的两球都是白球”的概率；
若再加入个黑球除颜色外与白球、红球都相同，将这个球搅匀后从中随机摸出个球，请直接写出“所摸到的两个球都是白球”的概率为______．

23.  本小题分
如图，在▱中，、分别为、的中点，点、在对角线上，且．
求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．

24.  本小题分
在苏科版九年级物理第十一章简单机械和功章节中有这样一个问题：“如图示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起当杆与水平面夹角为时，求动力臂”从数学角度看是这样一个问题：如图，已知，，于点且，连接，求点到的距离请写出解答过程求出点到的距离结果保留根号
 

25.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点点、是抛物线上的动点．
求抛物线的解析式；
当点在直线下方时，求面积的最大值
直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．
 

27.  本小题分
某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元，购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元．
每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共本，总费用不超过元，则最少要购买图片纪念册多少本？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了绝对值的性质，熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键．根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】
解：的绝对值．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：函数，
，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围，解题关键是让二次根式有意义．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
故选：．
由圆周角定理得出，进而得出即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了随机事件，必然事件、不可能事件，掌握各种事件对应的概率是解题的关键．
先确定“人中至少有人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，即可求解．
【解答】
解：“人中至少有人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，
“人中至少有人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得：，，
则的值为：．
故选：．
直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
将代入得，
抛物线经过，
由抛物线的对称性可得抛物线经过．
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线的对称轴及抛物线与轴交点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：以为顶点，为一边在下方作，过作于，过作于，交于，如图：

，要使最小，只需最小，
，，
是等腰直角三角形，
，
最小即是最小，此时与重合，与重合，即最小值是线段的长度，
，，
，
，
，，
又，
，，
，
，
而，
，
，
的最小值是，
故选：．
，求的最小值属“胡不归”问题，以为顶点，为一边在下方作角即可得答案．
本题考查线段和的最小值，解题的关键是做角，将求的最小值转化为求垂线段的长．
 

9.【答案】， 

【解析】

【分析】
先提公因式，再化为两个一元一次方程即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【解答】
解：，
或，
，，
故答案为，．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】

解：
，
．
故答案为：．

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案是：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得该圆锥的侧面积
故答案为：．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出该圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解二元一次方程组和代数式求值，正确选用解题方法是解题关键．
直接利用已知条件，解方程组由得出，即可得出答案．
【解答】
解：  ，  ，
，得，
因此，．
故答案为：．  

15.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，且，
解得：且．
故答案为：且．
根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，过点作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，
，且，
，
，
在与中，

≌，
，，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
即点在的角平分线上运动，
点在的延长线上，
当最小，
在中，，，
，
故答案为．
连接，过点作交延长线于点，通过证明≌，确定点在的射线上运动，作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上，当，，三点共线时，最小，在中，，，求出即可．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
方程两边同乘得：
，
解得：，
检验：时，，
是原方程的根；
，
移项得：，
分解因式得：，
或，
解得：，． 

【解析】先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出的值，最后对方程的解进行检验即可；
先移项，用因式分解法解一元二次方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
 

19.【答案】解：解得，
解得．
则不等式组的解集为． 

【解析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
本题考查不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：原式，
．
当时，原式． 

【解析】首先对括号内的分式进行通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后代入或求解；
本题考查了分式的化简求值，正确进行通分、约分是关键，本题中要注意不能取，以及．
 

21.【答案】       

【解析】解：这名学生的测评成绩的众数是分，众数是，中位数是，
这名学生的测评成绩的平均数是；
方差；
故答案为：，，，；
该校八年级优秀学生共有，
答：该校八年级优秀学生共有名．
将名学生数学成绩按照从小到大顺序排列，找出中位数与众数，求出极差即可；
由优秀的百分比乘以即可得到结果；
本题考查了方差，加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
 

22.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共由种等可能的结果，其中两球都是白球的有种，
“所摸到的两球都是白球”的概率为；
画树状图如下：

共由种等可能的结果，其中两球都是白球的有种，
“所摸到的两球都是白球”的概率为；
故答案为：．
列树状图求出所有等可能的情况数，再用概率公式计算即可；
方法同．
本题考查列树状图求概率，解题的关键是掌握列树状图求出所有等可能的情况数和概率公式．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别为、的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
连接交于，如图所示：
由得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】证≌，得，，则，证出，即可得出结论；
连接交于，先证四边形是平行四边形，再证，即可得出▱是菱形．
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设点到的距离为，
过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：点到的距离为． 

【解析】设点到的距离为，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
解：连接，

由得，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
连接，根据，可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论；
连接，先证得∽，再根据可得，，从而得，然后由勾股定理可得答案．
 

26.【答案】解：设函数的表达式为，将点坐标代入上式并解得，
故抛物线的表达式为．
如图，设直线与轴交于点，设点，

将点、的坐标代入一次函数表达式并解得
直线的表达式为，则，
，其中、分别为点、的横坐标，
，故有最大值，当时，其最大值为．
如图，，，
，故与相似时，分为两种情况：
当时，
，，，
过点作与点，

，解得，
则，则，
则直线的表达式为，
联立并解得舍去负值，
故点
时，
，
则直线的表达式为，
联立并解得，
故点，
综上，点或 

【解析】设函数的表达式为，将点坐标代入上式，即可求解；
设直线与轴交于点，设点，将点、的坐标代入一次函数表达式并解得直线的表达式，由可求解；
分、两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、锐角三角函数、三角形相似的性质、三角形面积的计算等，其中要注意分类求解，避免遗漏．
 

27.【答案】解：设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元．
设可以购买图片纪念册本，则购买手绘纪念册本，
依题意得：，
解得：．
答：最少能购买手绘纪念册本． 

【解析】设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买手绘纪念册本，则购买图片纪念册本，根据总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．