2023年中考九年级数学高频考点 专题训练 二次函数动几综合题

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2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数动几综合题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ 32 ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
2．如图，抛物线y=ax2﹣5ax﹣4交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C，过点C作CD∥AB，交抛物线于点D，连接AC、AD，AD交y轴于点E，且AC=CD，过点A作射线AF交y轴于点F，AB平分∠EAF．

（1）此抛物线的对称轴是　 　；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）若点P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求△APF面积S△APF的最大值，以及此时点P的坐标；
（4）点M是线段AB上一点（不与点A，B重合），点N是线段AD上一点（不与点A，D重合），则两线段长度之和：MN+MD的最小值是　 　．
3．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
5．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，−3）三点，顶点为D．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求经过A、D两点的直线的表达式；
（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
6．已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标；
（3）如图2，过点N作NM⊥y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标．
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
8．如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A ，与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交于 y 轴上的一点 B， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 ．

（1）求二次函数的表达式；
（2）点 M 为一次函数下方抛物线上的点， △ABM 的面积最大时，求点 M 的坐标；
（3）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数的图象的另一交点为 D ，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且 ΔPBD 为直角三角形，求点 P 的坐标．
9．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 、 B 的横坐标分别为 a 、 a+2 ，二次函数 y=−x2+(m−2)x+2m 的图像经过点 A 、 B ，且 m 满足 2a−m=d ( d 为常数).
（1）若一次函数 y1=kx+b 的图像经过 A 、 B 两点.
①当 a=1 、 d=−1 时，求 k 的值；
②若 y1 随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围.
（2）当 d=−4 且 a≠−2 、 a≠−4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明理由；
（3）点 A 、 B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A 、 B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C 、 D ，线段 CD 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由.
10．已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）求出S与t的函数关系式．
11．在平面直角坐标系中，抛物线 y=−12x2+mx+m （m为常数）．
（1）当点 (m，−12) 在该抛物线上时，求m的值．
（2）将抛物线在 x⩽2m 的部分图象沿y轴翻折得到新图象记为G，当 −2⩽x⩽−1 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）当该抛物线在 x⩽2m 的部分图象的最高点到 y=−12 的距离为1时，求m的值．
（4）当 m>0 时，过点 A(1，−12) 作垂直于x轴的直线交该抛物线于点B，在AB延长上取一点C，使 BC=13AB ，将线段AB绕点A顺时针旋转 90° 得到线段AE，以AC、AE为邻边作矩形ACDE，当该抛物线的顶点在矩形的边上时，直接写出该抛物线在该矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差．
12．如图，抛物线y＝12x2－2x－6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点P作直线PD⊥x轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．

（1）求A、B两点的坐标，及直线BC的表达式；
（2）若DE＝2PE时，求线段DE的长；
（3）在（2）的条件下，若点Q是直线PD上的一个动点，点M是抛物线上的一个动点，是否存在以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图（1），已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为x=1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=x+1经过A，且与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图（2），点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点（不含B，C两点），设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？

（3）如图（3），将△ODB沿直线y=x+1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分，请直接写出此时平移的距离．

14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于C，tan∠CAB=3；双曲线y=kx(k≠0)经过抛物线y=ax2+bx+3的顶点D，点D的横坐标为1．

（1）求抛物线和双曲线的解析式．
（2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接BP、CP，求当四边形ABPC取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值．
（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得QB=QC，请求出点Q的坐标．
15．已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．

（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；
（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；
（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．
16．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于A(−2，0)、B(5，0)两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线解析式；
（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；
（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若CM+BH=MO，∠CPM=∠BAP，CM=EW，求点Q的坐标．

答案解析部分
1．【答案】（1）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−3)(x+1)，
∵m≠0，
∴当y=0时， x1=−1，x2=3，
∴A(−1，0)，B(3，0)
（2）解：设 C1：y=ax2+bx+c ，将A. B. C三点的坐标代入得：
a−b+c=09a+3b+c=0c=−32， 解得 a=12b=−1c=−32，
故 C1：y=12x2−x−32.
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

由B. C的坐标可得直线BC的解析式为： y=12x−32，
设 P(x，12x2−x−32)， 则 Q(x，12x−32)，
PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+32x)×3=−34(x−32)2+2716，
当 x=32 时， S△PBC 有最大值， Smax=2716，
12×(32)2−32−32=−158，
P(32，−158)；
（3）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m，
顶点M坐标(1，−4m)，
当x=0时，y=−3m，
∴D(0，−3m)，B(3，0)，
∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1，
MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4，
BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有： DM2+BD2=MB2 或 DM2+MB2=BD2.
DM2+BD2=MB2 时有： m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=−1(∵m0时，A（-1，0），D（1，0），
∴MQ=AD=2，AQ=ND=k+3，
∴OQ=k+4，
∴点M的坐标为（-k-4，2），
∴k(−k−4)+3=2，即k2+4k−1=0，
解得k=5−2或k=−5−2（舍去），
∴直线PC的解析式为y=(5−2)x+3，
联立y=(5−2)x+3y=−x2+2x+3
得x2+(5−4)x=0，
解得x=4−5或x=0（舍去），
∴点P的横坐标为4−5；
同理当k+3≤0时，可以求得点P的横坐标为 4+5，
综上所述，点P的横坐标为4+5或4−5；
（3）解：（1，32）
7．【答案】（1）解：由直线BC：y=x−4，可得与x轴交点为B(4，0)，与y轴交点为C(0，-4），
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴MN//x 轴，
∴M、N关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x=x1+x22=32，
∴抛物线与x轴的另一个交点为A(-1，0)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−4)，将C(0，-4)代入，
得：-4a=-4，
解得：a=1，
∴y=(x+1)(x−4)=x2−3x−4，
故该抛物线解析式为y=x2−3x−4．
（2）解：如图，连接CQ，

∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴CQ=OQ，
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短，
当x−4=−2时，解得：x=-2，
∴Q(-2，-2)，
∵OB=OC=4，
∴BC=OB2+OC2=42，
∴△QOB周长最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=42+4；
（3）解：设P(m，m-4)，且0＜m＜4，
则F(m，0)，G(m，m2−3m−4)，
∵PF=PG，
∴−(m−4)=(m−4)−(m2−3m−4)，
解得：m1=1，m2=4（舍），
∴F(1，0)，P(1，-3)，
∴FP=3．
①如图，PF为菱形的边且点H在点P左侧，

延长HQ交x轴于点N，
∵FP=FQ=3，QH//FP，QF//HP，
∴∠QNF=90°，∠NFQ=∠ABC=45°，
∴NQ=NF=22FQ=322，
∴ON=NF−OF=322−1=32−22，
∵Q点在第三象限，
∴Q1(2−322，−322 )；
Q2(2+322，322)，Q3 (4，-3)，Q4(−12，−32)．
8．【答案】（1）解： ∵y=0.5x+2 交x轴于点 A ，
∴0=0.5x+2 ，
∴x=−4 ，
∴A(−4，0) ，
∵直线 y=0.5x+2 与 y 轴交于点 B ，
∴B 点坐标为 (0，2) ，
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 ，
∴ 可设二次函数 y=a(x−2)2 ，
把 B(0，2) 代入得， a=0.5 ，
∴ 二次函数的表达式： y=0.5x2−2x+2 ；
（2）解：作 MH⊥AD 于 H，MG//y 轴交 AD 于点 G ，

则∠MGH=∠OBA，∠MHG=∠AOB=90°，
∴ΔAOB∼ΔMHG ，
∴MHOA=MGAB ，
设 M(t，0.5t2−2t+2) ，则G（t， 0.5t+2 ），
∴MG=(0.5t+2)−(0.5t2−2t+2)=−12t2+52t ，
又∵AB= 42+22=25 ，OA=4，
∴MH=425(−12t2+52t) ，
∵SΔABM=12AB⋅MH=12×25×425(−12t2+52t)=−t2+5t ，
当 t=52 时， SΔABM 最大，此时， y=12×254−2×52+2=18 ，
∴M(52，18) ；
（3）解：（Ⅰ）当点B为直角顶点时，过 B 作 BP1⊥AD 交 x 轴于 P1 点，则 RtΔAOB∼RtΔBOP1 ，如图1，

∴AOBO=BOP1O ，
∴42=2OP1 ，得 OP1=1 ，
∴P1(1，0) ；
（Ⅱ）当点D为直角顶点时，作 P2D⊥BD ，如图2，

将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2−2x+2 联立，
可得 D 点坐标为 (5，4.5) ，
∴AD=(5+4)2+(4.5−0)2=952 ，
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2 ，
∴ΔABO∼ΔAP2D ，
∴ABAP2=AOAD ，即 25AP2=4952 ，
解得： AP2=11.25 ，则 OP2=11.25−4=7.25 ，
故 P2 点坐标为 (7.25，0) ；
（Ⅲ）当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E ，如图3，

设 P3(a，0) ，
则由 RtΔOBP3∼RtΔEP3D ，得 OP3DE=OBP3E ，
∴a4.5=25−a ，
∵ 方程无解，
∴ 点 P3 不存在，
∴ 点 P 的坐标为 P1(1，0) 和 P2(7.25，0) ．
9．【答案】（1）解：①∵a=1，d=−1，2a−m=d ，∴m=2a−d=3 ，∴二次函数的表达式为 y=−x2+x+6 ．∵A 、 B 两点的横坐标分别为 a，a+2 ，当 a=1 时， A 、 B 两点的横坐标分别为 1，3 ，代入二次函数的表达式，得 A 、 B 两点的纵坐标分别为 6，0 ，即 A（1，6），B（3，0） ．
将点 A 、 B 的坐标分别代入 y1=kx+b ，得： {k+b=63k+b=0 ，解得： {k=−3b=9 ，∴k 的值为 −3 ．
②∵2a−m=d ，∴m=2a−d ，二次函数的表达式为 y=−x2+（2a−d−2）x+2（2a−d） ．∵A 、 B 两点在二次函数的图象上，∴点 A 的坐标为 （a，a2−ad+2a−2d） ，点 B 的坐标为 （a+2，a2+2a−4d−8−ad） ．∵在 y1=kx+b 中， y1 随 x 的增大而减小， aa2+2a−4d−8−ad ，解得： d>−4
（2）解： AB//x 轴．理由如下：
当 d=−4 时， A（a，a2+6a+8），B（a+2，a2+6a+8） ．
∵a≠−2 、 a≠−4 ，
∴A 、 B 两点的纵坐标相等且不为0．
∵横坐标不等，
∴AB//x 轴．
（3）解：当点 A 运动到 y 轴上时， a=0 ，∴点 A 的对应点 C 的坐标为 （0，−2d） ，
当点 B 运动到 y 轴上时， a=−2 ，∴点 B 的对应点 D 的坐标为 （0，−2d−8） ，∴|CD|=|−2d−（−2d−8）|=8 ，∴CD 的长不变
10．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
a+b=−19a+3b=−1 ，
解得： a=13b=−43 ，
故抛物线解析式为y= 13 x2﹣ 43 x
（2）解：∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0），
∵A（1，﹣1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是 12 OP= 12 ×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，﹣t）
（3）解：如图，点Q与点A重合时，

OP=1×2=2，t=2÷2=1，
点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，
所以，分三种情况讨论：
①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，S= 12 ×（2t）× 2t2 =t2，
②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，
S=S△OP′Q′﹣S△AEQ′= 12 ×（2t）× 2t2 ﹣ 12 ×（ 2 t﹣ 2 ）2=2t﹣1；
③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积
S=S梯形OABC﹣S△BGF= 12 ×（2+3）×1﹣ 12 ×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+ 52 ；
所以，S与t的关系式为S= t2(0