2023年中考九年级数学专题训练 二次函数（综合题）

这是一份2023年中考九年级数学专题训练 二次函数（综合题），共31页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考九年级数学专题训练--二次函数（综合题）
一、综合题
1．如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线 y=14x2+bx+c 经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；
（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
2．二次函数y=ax2＋bx＋2的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.

（1）求二次函数y=ax2＋bx＋2的表达式；
（2）连接BD，当t= 32 时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标.
3．如图，抛物线y=﹣ 33 x2﹣ 3 x+ 433 与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点D（0，﹣ 3 ）．

（1）求直线AC的解析式；
（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，将△BPQ′沿直线BD平移，记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″，在平移过程中，设直线P′B′与x轴交于点E．则是否存在这样的点E，使得△B′EQ″为等腰三角形？若存在，求此时OE的长．
4．如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点.

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PB，PC，PO，若S△POC＝S△PBC，求点P的坐标；
（3）如图2.连接AP，交直线BC于点D，当点D是线段BC的三等分点时，求tan∠ADC的值.
5．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交于点 A(1，0) ， B(9，0) ，与 y 轴交于点 C ，已知 ∠OAC=∠OCB .

（1） 求抛物线的函数表达式；
（2） 若点 P 在 y 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 Q ，满足 ∠AQP=90° ？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3） 若点 P 在 y 轴上，满足 sin∠APB=23 的点 P 是否存在？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.

（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，四边形OAPB的面积最大，求出此时点P的坐标.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−mx+n.
（1）当m=2时，
①抛物线的对称轴为直线　 　，顶点的纵坐标为　 　（用含n的代数式表示）；
②若点A(−2，y1)，B(x2，y2)都在抛物线上，且y2>y1，则x2的取值范围　 　；
（2）已知点P(−1，2)，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n=3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
9．已知抛物线 y=−3x2+bx+c 经过点 A(2,0) ， B(0,23) ，与 x 轴的另一个交点为 C .


（1）求出此抛物线的表达式及点 C 坐标
（2）如图1， AB 的中点记为 D ， ∠MDN=30° ，将 ∠MDN 绕点 D 在 AB 的左侧旋转， DM 与射线 BO 交于点 E ， DN 与射线 AO 交于点 F .设 BE=m ， AF=n(m>0,n>0) ，求 m 关于 n 的函数关系式.
（3）当 ∠MDN 的边经过点 C 时，求 m ， n 的值（直接写出结果）.
10．在平面直角坐标系xOy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）.

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（　 　，　 　）、C（　 　，　 　）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；　 　
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C. 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M.
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
11．如图，在△ABC中，AB=AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， 3 ），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣ 33 x2+bx+c经过点A和点C

（1）求b，c的值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
（3）点P是线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）经过点A(1，0)，点B(0，3)．点P在此抛物线上，其横坐标为m．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围；
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2−m．
①求m的值；
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．
13．如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A(4，0)、B(5，5).

（1）a＝　 　，b＝　 　，∠AOB＝　 　°；
（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标　 　；
（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2 2 .设点C的横坐标为m.
①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF.当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；
②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值.
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）.

（1）求B点与顶点D的坐标；
（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S△ADM＝5，求直线l的解析式；
（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G.请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是　 　.
15．在坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D为此抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当△DAC的面积最大时，求点D的坐标；
（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点N纵坐标t的取值范围．
16．如图，抛物线C1：y＝mx2﹣2mx﹣3m(m＜0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，顶点为M，另一条抛物线C2与x轴也交于A、B两点，且与y轴的交点是C(0， −32 )，顶点是N.

（1）求A，B两点的坐标.
（2）求抛物线C2的函数表达式.
（3）是否存在m，使得△OBD与△OBC相似？若存在，请求出m的值；若不存在请说明理由.

答案解析部分
1．【答案】（1）解：直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，-3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y= 14 x2-x-3…①，
则：C（6，0）；
（2）解：符合条件的有M和M′，如下图所示，

当∠MBE=75°时，
∵OA=OB，∴∠MBO=30°，
此时符合条件的M只有如图所示的一个点，
MB直线的k为- 3 ，所在的直线方程为：y=- 3 x-3…②，
联立方程①、②可求得：x=4-4 3 ，
即：点M的横坐标4-4 3 ；
当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，
直线MB的k值为- 33 ，其方程为y=- 33 x-3，
将MB所在的方程与抛物线表达式联立，
解得：x= 12−433 ，
故：即：点M的横坐标4-4 3 或 12−433 ．
（3）解：存在．

①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n=- 14 m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1= nm−6 ，
P′B所在的直线k2= n+3m ，则：k1•k2=-1…④，
③、④联立解得：m=2 6 ，则P′（2 6 ，3-2 6 ），
则Q′（6-2 6 ，2 6 -3）；
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y= 12 x-3，
则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（6-2 6 ，2 6 -3）或（2，8）或（-10，32）．
2．【答案】（1）解：将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2＋bx＋2，得∴a= −12 ，b= 32 ，∴y=−12x2+32x+2
（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx＋b，将点B（4，0），C（0，2）代入解析式，得： 4k+b=0b=2 ，解得： k=−12b=2 ，∴BC的直线解析式为 y=−12x+2 ，当t= 32 时，AM=3，∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴S△DNB =S△DMB -S△MNB = 12 ×MB×DM－ 12 ×MB×MN= 12 ×2×2=2
（3）解：∵BM=5－2t，∴M（2t－1，0），设P（2t－1，m），∵PC2=（2t－1）2+（m－2）2，PB2=（2t－5）2＋m2，∵PB=PC，∴（2t－1）2＋（m－2）2=（2t－5）2＋m2，∴m=4t－5，∴P（2t－1，4t－5），又∵点B（4，0），C（0，2），∴PC直线解析式为： y=4t−72t−1x+2 ；PB直线解析式为： y=4t−52t−5x+20−16t2t−5 ；再∵PC⊥PB，∴4t−72t−1⋅4t−52t−5=−1 ，∴t=1或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）
3．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣ 33 x2﹣ 3 x+ 433 与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0， 433 ），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有 −4k+b=0b=433 ，
∴k= 33 ，b= 433 ，
∴直线AC的解析式为y= 33 x+ 433
（2）解：如图1中，分别过D、B作x轴，y轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，﹣ 33 m2﹣ 3 m+ 433 ）．

S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB
= 12 •1•（﹣ 33 m2﹣ 3 m+ 433 + 3 ）+ 12 • 3 •（1﹣m）﹣ 12⋅3 •1
=﹣ 36 （m+3）2+ 833 ，
∵﹣ 36 ＜0，
∴m=﹣3时，△PBD的面积最大，此时P（﹣3， 433 ），Q（﹣3，0）．
如图2中，作Q关于y轴的对称点Q′，将Q′向左平移 32 个单位得到Q″，连接PQ″交抛物线对称轴于M，此时PM+MN+NQ最短．

易证四边形MNQ′Q″是平行四边形，
∴NQ=NQ′=Q″M，
∴PM+MN+NQ=PM+MQ″+MN=PQ″+MN，
∵Q″（ 12 ，0），
∴PQ″= (3+32)2+(433)2 = 9216 ，
∴PM+MN+NQ的最小值为 9216 + 32
（3）解：如图3中，由（2）可知直线PB的解析式为y=﹣ 33 x+ 33 ，直线BD的解析式为y= 3 x﹣ 3 ，易证∠PBQ=30°，∠DBO=60°，PB⊥BD．①当点Q″与Q重合时，∵∠B′EQ=∠QB′E=30°，∴EQ=B′Q″=4，∴OE=QE+OQ=7．
②如图4中，当B′E=B′Q″时作B′N⊥x轴于N．
∵B′E=B′Q″=4，∠B′EN=30°，∴B′N= 12 B′E=2，EN=2 3 ，∴B′（ −23+33 ，﹣2），∴OE=2 3 + 23−33 = 833 ﹣1．
③如图5中，当EQ″=EB′时，作B′N⊥x轴于N．
易知EP′=EQ″=EB′= 433 ，B′N= 233 ，EN=2，∴B′（ 13 ，﹣ 233 ），∴EO= 53 ．
④如图6中，当B′E=B′Q″时，
易知B′E=B′Q″=4，在Rt△BEB′中，BE=EB′÷cos30°= 833 ，∴OE=OB+BE= 833 +1，综上所述，满足条件的OE的值为7或 833 ﹣1或 53 或 833 +1．
4．【答案】（1）解：将A（﹣2，0），B（3，0）代入函数表达式，得 4a−2b+2=09a+3b+2=0 ，解得 a=−13b=13 ，
∴所求二次函数的表达式为 y=13x2+13x+2 ；
（2）解：过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，

将x＝0代入 y=13x2+13x+2 中，得y＝2.
∴C（0，2）.
设直线BC对对应的函数表达式为y＝kx+c，
将B（3，0），C（0，2）代入表达式中，
得 3k+c=0c=2 ，解得 k=−23c=2 ，
∴y=23x+2 .
设P（x， −13x2+13x+2 ），Q（x， −23x+2 ），
∴PQ＝yP﹣yQ＝ −13x2+13x+2 ﹣（ −23x+2 ）＝ −13x2+x .
∴S△PBC＝S△PQC+S△PQB＝ 12PQ⋅(xB−xC) ＝ 12(−13x2+x)=3 ＝ −12x2+32x ，
而S△POC＝ 12OC⋅xP ＝ 12×2⋅xP=x .
∵S△POC＝S△PBC，
∴−12x2+32x=x .
∴x1＝0（舍去），x2＝1.
∴P（1，2）；
（3）解：过点A作AE⊥AP交直线BC于点E，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，

∴∠EFA＝∠EAD＝∠AGD＝90°.
∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠DAG+∠EAF＝90°.
∴∠FEA＝∠DAG.
∴△EAF∽△ADG.
∴EFAG=AFDG=AEAD .
∵∠COB＝∠DGB＝90°，∠CBO＝∠CBO，
∴△DBG∽△CBO.
∴BDBC=BGBO=DGCO .
设E（x， −23x+2 ），则AF＝﹣2﹣x，EF＝ −23x+2 .
∵点D是线段BC的三等分点，
∴BDBC=13 或 BDBC=23 .
当 BDBC=13 时，点D（2， 23 ）.
∴AG＝4，DG＝ 23 .
∴−23x+24=−2−x23=AEAD .
∴x=−218 .
∴tan∠ADC=AEAD=1516 .
当 BDBC=23 时，点D（1， 43 ）.
∴AG＝3，DG＝ 43 .
∴−23x+23=−2−x43=AEAD .
∴x=−7819 .
∴tan∠ADC＝ AEAD ＝ 3019 .
5．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
3k+b=0b=3 ，
解得 k=−1b=3 ；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）解：如图：

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= 12 MN（OD+DB）= 12 MN•OB，
∴S△BNC= 12 （﹣m2+3m）•3=﹣ 32 （m﹣ 32 ）2+ 278 （0＜m＜3）；
∴当m= 32 时，△BNC的面积最大，最大值为 278 ．
6．【答案】（1） 解： ∵∠OAC=∠OCB ， ∠AOC=∠COB=90° ，
∴△OAC ∽ △OCB ，
∴OCOB=OAOC ，
∴OC2=9×1=9 ，
∵OC>0 ，
∴OC=3 ，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交于点 A(1，0) ， B(9，0) ，
设 y=a(x−1)(x−9) ，
把 C(0，3) 代入得 a(0−1)(0−9)=3 ，解得 a=13 ，
∴ 抛物线的函数表达式 y=13(x−1)(x−9)=13x2−103x+3 ；
（2） 解：存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点 Q ，满足 ∠AQP=90° ，就是指以 AP 为直径的圆与对称轴：直线 x=9+12=5 有唯一的交点，即相切.
如图，

设 AP 的中点为 M ，
∵A(1，0) ，
∴ 点 M 的横坐标为 0.5 ，
∴ 点 M 到直线 x=5 的距离为 4.5 ，
∴ 直径 AP 的长为 9 ，
∴OP=92−12=45 ，
∴ 点 P 的坐标为 (0，45) 或 (0，−45) ；
（3） 解：存在，如图：

当点 P 在以 AB 为弦的 ⊙N 上，圆心角 ∠ANB=2∠APB .
过点 N 做 NH⊥AB 于 H ，则 ∠ANH=∠APB .
∴sin∠ANH=sin∠APB=AHAN=23 ，
∵AH=BH=4 .
∴AN=6 ，
∴NH=62−42=25 ，
∴N(5，25) 或 N(5，−25) ，
设 P(0，P) ，
∵PN=AN=6 ，
当 N(5，25) 时， (0−5)2+(25−P)2=62 ，
∴P=25−11 或 P=25+11 ，
同理，当 N(5，−25) 时， p=−25−11 或 P=−25+11
综上所述，点 P 的坐标为 (0，25−11) 或 (0，25+11) 或 (0，−25−11) 或 (0，−25−11) .
7．【答案】（1）解：将点B、C的坐标代入解析式y＝ax2+bx﹣5中，得
25a−5b−5=0a+b−5=0 ，解得 a=1b=4 ，
∴此抛物线的表达式是 y=x2+4x−5 ；
（2）解：令 y=x2+4x−5 中x=0，得y=-5，
∴A（0，-5），
∵AD∥x轴交抛物线于点D，
∴点D的纵坐标为-5，
当y=-5时，解得x=0或x=-4，
∴D（-4，-5），即AD=4，
∵点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标为5，
∴点E到直线AD的距离是10，
∴△EAD的面积= 12×4×10=20 ；
（3）解：如图，连接OP，作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，

设点P的坐标为（x， x2+4x−5 ），
四边形OAPB的面积= S△OAP+S△OBP
= 12⋅OA⋅PH+12⋅OB⋅PG
= 12×5×(−x)+12×5(−x2−4x+5)
= −52(x+52)2+2258 ，
∵−52103.
9．【答案】（1）解：分别把A、B坐标代入抛物线解析式可得：
0=−43+2b+c23=0+0+c ，解之得： b=3c=23 ，
∴抛物线的表达式为： y=−3x2+3x+23 ，
令y=0，即得： 0=−3x2+3x+23 ，解之可得x=2或x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-1，0）；
（2）解：延长 DA 使得 AG=AF ，连结 FG ，

∴∠DBE=∠EDF=∠FDG=30° ， ∴△DBE∽△FGD ，
∴DBFG=BEDG∴2m=3nn+2 ， m=2n+43n
（3）解：当 DM 经过 C ，作 DH⊥x 轴，

∴OEDH=COCH=12 ，
∴OE=32
m=332 ， n=85 .
当 DN 经过 C ，或 n=3 ， m=1039
10．【答案】（1）3；0；0；3；解：∵A（—1，0）B（3，0）∴可设过A、B、C三点的抛物线为 y=a(x+1)(x−3)(a≠0) 。又∵C（0， 3 ）在抛物线上，∴3=a(0+1)(0−3) ，解得 a=−33 。∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 y=−33(x+1)(x−3) 即 y=−33x2+233x+3
（2）解：①当△OCE∽△OBC时，则 OCOB=OEOC 。
∵OC= 3 ， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴33=x−13 。∴x=2。
∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴 x=−b2a=−2332⋅(−33)=1 对称。
∵C（0， 3 ），∴M（2， 3 ）。
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN= 3 。 ∴ EN=1。
∴EM=EN2+MN2=12+(3)2=2 。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时， ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2 3 ) 。
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1， 233 )
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2 3 ）或（1， 233 ）时，
△EPM为等腰三角形。
11．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， 3 ），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣ 33 x2+bx+c经过点A和点C，
∴c=3−33×(−3)2−3b+c=0 ，
解得： c=3b=−233 ；
（2）解：在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形，
当AQ=QC，如图1，
由（1）得：y=﹣ 33 x2﹣ 233 x+ 3 =﹣ 33 （x+1）2+ 233 ，
即抛物线对称轴为：直线x=﹣1，则QO=1，AQ=2，
∵CO= 3 ，QO=1，
∴QC=2，
∴AQ=QC，
∴Q（﹣1，0）；
当AC=Q1C时，过点C作CF⊥直线x=﹣1，于一点F，
则FC=1，
∵AO=3，CO= 3 ，
∴AC=2 3 ，
∴Q1C=2 3 ，
∴FQ1= 11 ，故Q1的坐标为：（﹣1， 3 + 11 ）；
当AC=CQ2=2 3 时，由Q1的坐标可得；Q2（﹣1，﹣ 11 + 3 ）；
当AQ3=AC=2 3 时，则QQ3(23)2−22 =2 2 ，故Q3（﹣1，﹣2 2 ），根据对称性可知Q4（﹣1，2 2 ）（Q4和Q3关于x轴对称）也符合题意，
综上所述：符合题意的Q点的坐标为：（﹣1，0）；（﹣1， 3 + 11 ）；（﹣1，﹣ 11 + 3 ）；（﹣1，﹣2 2 ），（﹣1，2 2 ）

（3）解：如图2所示，

当四边形MEBC是平行四边形，则ME=BC，
∵AB=AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， 3 ），
∴B（0，﹣ 3 ），
则BC=2 3 ，
设直线AB的解析式为：y=kx+e，
故 −3k+e=0e=−3 ，
解得： k=−33e=−3 ，
故直线AB的解析式为：y=﹣ 33 x﹣ 3 ，
设E（x，﹣ 33 x﹣ 3 ），M（x，﹣ 33 x2﹣ 233 x+ 3 ），
故ME=﹣ 33 x2﹣ 233 x+ 3 + 33 x+ 3 =﹣ 33 x2﹣ 33 x+2 3 =2 3 ，
解得：x1=0（不合题意舍去），x2=﹣1，
故P点在（﹣1，0），此时四边形MEBC是平行四边形；
四边形AECM是梯形，
理由：∵四边形MEBC是平行四边形，
∴MC∥AB，
∵CO= 3 ，AO=3，
∴∠CAO=30°，
∵AC=AB，AO⊥BC，
∴∠BAO=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC=BC，ME=BC，所以AC=ME，
∴四边形AECM是等腰梯形．
12．【答案】（1）解：将点A(1，0)，B(0，3)代入y=x2+bx+c得：1+b+c=0c=3，
解得b=−4c=3，
则此抛物线的解析式为y=x2−4x+3．
（2）解：画出函数图象如下：

则当点P在x轴上方时，m的取值范围为m3．
（3）解：①二次函数y=x2−4x+3=(x−2)2−1的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，−1)，
当x=m时，y=m2−4m+3，
即P(m，m2−4m+3)，
（Ⅰ）如图，当m2（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当m≥2时，

当x≤2时，y随x的增大而减小；当2