2023年中考九年级数学高频考点 专题训练 圆的综合题

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 2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--圆的综合题一、综合题1．如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．  （1）若BC=DC，∠CBD=39°，求∠BCD的度数；  （2）若在AC上有一点E，且EC=BC=DC，求证：∠1=∠2．  2．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．3．如图，在 中， ，过 延长线上的点 作 ，交 的延长线于点 ，以 为圆心， 长为半径的圆过点 （1）求证：直线 与 相切；   （2）若 ， 的半径为 ，则 ＝   　     　.   4．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D.点E在⊙O上.（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；   （2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长.   5．如图， 是⊙O外一点， 为切线，割线 经过圆心 ．（1）若 ，求 的半径长；（2）作 的角平分线交 于 ，求 的度数．6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D.（1）E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线；   （2）若AC＝3CD，求∠A的大小.   8．如图，在 中， ，以 为直径的 与边 相交于点 ，与边 相交于点 ， ，垂足为点 ，连接 .  （1）求证： 与 相切；   （2）若 ， 的半径 ，求 的长.   9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC.（1）求证：直线BF是⊙O的切线；   （2）若CD＝2 ，BP＝1，求⊙O的半径.   10．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D。（1）求证：AD是⊙O的切线。（2）若⊙O的半径为6，sin∠D= ，求BD的长。  11．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米．  （1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；  （2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；  （3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．  12．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．  （1）求证：DE是⊙O的切线；  （2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．  13．已知：如图， 为 的直径，点 为 上一点， 的平分线与 交于点 ，与 交于点 .点 为 的延长线上一点，满足 . （1）求证： 与 相切；（2）若 ， ，求 的值.14．如图， 是半圆 的直径， 、 是半圆 上的两点，且 ， 与 交于点 . （1）若 ，求弧 的度数；（2）若 ， ，求半圆 的半径.15．在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．16．如图，已知AB是的直径，点D为弦BC中点，过点C作切线，交OD延长线于点E，连结BE，OC.（1）求证：EC＝EB.（2）求证：BE是⊙O的切线.
答案解析部分1．【答案】（1）解：∵BC=CD，  ∴ = ，∴∠BAC=∠DAC=∠CBD=39°，∴∠BAD=78°，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BCD=102°；（2）解：∵BC=CD，  ∴∠CBD=∠CDB，又∠BAC=∠BDC，∴∠CBD=∠BAE，∴∠CEB=∠BAE+∠2，∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，∴∠BAE+∠2=∠CBD+∠1，∴∠1=∠2．2．【答案】（1）解：连接AD，BC，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴，∴PA•PB=PC•PD；（2）解：连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，∵PA=  ，AB=  ，PD=DC+2，∴PB=16，PC=2DC+2∵PA•PB=PD•PC，∴×16=（DC+2）（2DC+2），解得：DC=8或DC=﹣11（舍去）∴DE=4，∵OD=5，∴OE=3，即点O到PC的距离为3．3．【答案】（1）证明：连接 ，如图所示：   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ，∵点 在圆 上，∴直线 与 相切（2）4．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴弧AD＝弧BD，∴∠DEB＝ ∠AOC＝ ×40°＝20°；（2）解：∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝ ，则AB＝2AC＝8.5．【答案】（1）解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，设⊙O的半径长为r，在Rt△PCO中，PC= ，PO=12-r，CO=r，由勾股定理得： ，解得r=4；（2）解：∵DP是∠BPC的角平分线，∴∠CPB=2∠BPD，∵OC=OB，∴∠COP=2∠OBC=2∠OCB，在△PCB中，∠CPB+∠B+PCB=180°，∵∠PCO=90°，∴∠CPO+∠COP=45°，∴∠DPB+∠B=45°，∴∠CDP=∠DPB+∠B=45°．6．【答案】（1）解：∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠ADC= 60°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∠BAC= 180°- 90°-60° = 30°；（2）解：连接OC， ∵OB=OC，∠ABC= 60°，∴△OBC是等边三角形．∴OC= BC=4，∠BOC= 60°．∴∠AOC= 120°．∴劣弧AC的长为 7．【答案】（1）解：连接OC，  ∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，∵AO＝OB，E为BD的中点，∴OE∥AD，∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，∴∠2＝∠3，在△COE与△BOE中， ，∴△COE≌△BOE，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴CE是⊙O的切线（2）解：∵AB为⊙O的直径，  ∴∠ACB＝90°，∵AB⊥BD，∴∠ABD＝∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠CBD=90°∴∠A＝∠CBD，∴△ABC∽△BDC，∴ ，∴BC2＝AC•CD，∵AC＝3CD，∴BC2＝ AC2，∴在 中，tanA＝ ，∴∠A＝30°8．【答案】（1）证明：连接 ∵ 为 的直径，∴∴又∵∴∵∴∴∴∴∵∴∴∴∴ 与 相切（2）解：过 作 于 ，   可得四边形 是矩形，∴ ， 又∵ ， ，∴ ，在 中， ∴ ，∴9．【答案】（1）证明：∵弧AC＝弧AC，  ∴∠ABC＝∠ADC，∵∠AFB＝∠ABC，∴∠ADC＝∠AFB，∴CD∥BF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∵AB是圆的直径，∴直线BF是⊙O的切线（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD.如图所示：  ∵AB⊥BF，CD＝2 ，∴PD＝PC＝ CD＝ ，∵BP＝1，∴OP＝r﹣1在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2 ＝（r﹣1）2+（ ）2解得：r＝3.即⊙O的半径为3.10．【答案】（1）解：连接AO并延长，交BC于点E，交 于点F。 ∵AB=AC， ∴∵AF为⊙O的直径， ∴∴∠BAF=∠CAF ∴AE⊥BC ∵AD∥BC， ∴AD⊥OA， 则AD是⊙O的切线（2）解：Rt△AOD中，OA=6，sin∠D= ∴∴OD=10. ∴BD=10+6=1611．【答案】（1）解：抛物线的解析式为y=ax2+c，又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），∴0=256a+8，a=﹣ ．∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+8（﹣16≤x≤16）（2）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2∴R2=（R﹣8）2+162，解得R=20（3）解：①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16﹣4=12，EF=y=3.5米；②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16﹣4=12，O F′=R=20，在Rt△OH F′中，H F′= ，∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12，E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4（米）∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．12．【答案】（1）证明：连接OC，  ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线（2）解：在Rt△AED中，  ∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，∴CD= = =4 ，∴S△OCD= = =8 ，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC= ×π×OC2= ，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8 ﹣ ，∴阴影部分的面积为8 ﹣ ．13．【答案】（1）证明：∵ 为 直径， ∴ ，∴ .∵ ， ，∴ ，即： .∴ ，∴ 与 相切（2）解：连接 .
 ∵ 平分 ，∴ .∴ .∴ .在 中， .在 中， ，∴14．【答案】（1）解：连接 ，如图， 是半圆 的直径， ，又 ， ， ， ，又 ， ， ， ， 的度数是 ；（2）解： ， ， ， ，设半径为 ，则 ，在 中， ，解得 ，即半圆 的半径为13.15．【答案】（1）解： DB=DA．理由：∵CD是△ABC的外角平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，∴∠MCD=∠BAD，∴∠ACD=∠BAD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BAD，∴DB=DA；（2）证明：∵DB=DA，∴=，∵=，∴AF=BC，=，∴CD=FD，在△BCD和△AFD中，，∴△BCD≌△AFD（SSS）；（3）解：连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，∵DB=DA，∴=，∴DN⊥AB，∵∠ACM=120°，∴∠ABD=∠ACD=60°，∵DB=DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠OBA=30°，∴ON=OB=×5=2.5，∴DN=ON+OD=7.5，∴BD==5，∴AD=BD=5，∵=，∴=，∴∠ADC=∠BDF，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACD∽△EBD，∴，∴，∴DE=12.5．16．【答案】（1）证明：∵点D为弦BC中点∴OD⊥BC，CD=DB∴∠CDE=∠BDE在Rt△CDE和Rt△BDECD=BD， ∠CDE=∠BDE，DE=DE∴Rt△CDE≌Rt△BDE∴EC=EB.（2）证明：∵EC=EB，OC=OB∴∠ECB=∠EBC， ∠OCB=∠OBC，∵CE是切线∴∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°∴∠OBC+∠EBC=90°，即BE⊥AB∴BE是的切线.