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2023年中考数学二轮专题训练： 圆的综合题（含解析）
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这是一份2023年中考数学二轮专题训练： 圆的综合题（含解析），共40页。试卷主要包含了，连接CB，CD，AD，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
专题1 圆的综合题中考题型训练
1．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 度；的值等于 ．
2．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
4．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
5．（2022•贵阳）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC．ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF．
（1）求证：∠DCP＝∠DPC；
（2）当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；
（3）在（2）的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．
6．（2022•遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
7．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
8．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．
9．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．
10．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
11．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
12．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
13．（2022•梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．
（1）求证：①△ABF∽△DCF；
②CD是⊙O的切线．
（2）求的值．
14．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．
15．（2022•哈尔滨）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
1．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 36 度；的值等于 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∴∠CEB＝2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°；
∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
∴，
∴CE2＝EO•BE，
设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，
∴a2＝x（x+a），
解得，x＝a（负值舍去），
∴OE＝a，
∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴，
∴＝．
故答案为：36，．
2．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 相切 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE＝OD，利用直线与圆相切的定义解答即可；
（3）过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BOD＝48°，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为⊙O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，
∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为⊙O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，
∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C＝＝42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，
∴DF＝MF＝DM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF＝∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF＝，
∴sin24°＝，
∴OD＝≈≈4.9，
∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
【分析】（1）欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可；
（2）设OB＝OC＝r，证明OP＝3r，可得4r＝12，推出r＝3，利用平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠PCA＝∠CBD，
∴∠PCA＝∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCA+∠ACO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
∵PC＝2OB，
∴PC＝2r，
∴OP＝＝＝3r，
∵PB＝12，
∴4r＝12，
∴r＝3，
由（1）可知，∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∴＝，∠D＝∠PCO＝90°，
∴＝，
∴BD＝4，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D＝90°，
∴AE∥PD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2．
4．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；
（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果；
（3）由（2）的结论，得出 r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．
【解答】（1 ）证明：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r＝，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴，
∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．
5．（2022•贵阳）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC．ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF．
（1）求证：∠DCP＝∠DPC；
（2）当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；
（3）在（2）的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线得∠OCB+∠DCP＝90°，又DE⊥OB，有∠OBC+∠BPE＝90°，可得∠DCP＝∠BPE，即得∠DCP＝∠DPC；
（2）连接OF，根据ED垂直平分OB，可得△BOF是等边三角形，有∠FOB＝∠ABF＝60°，∠FCB＝∠FOB＝30°，而BC平分∠ABF，有∠ABC＝∠ABF＝30°，故∠FCB＝∠ABC，知CF∥AB；
（3）连接OF、OC，由∠ABC＝∠CBF＝30°，得∠COF＝2∠CBF＝60°，即得S扇形COF＝，而OC＝OF，∠COF＝60°，可得△COF是等边三角形，有CF＝OF＝OB＝2，在Rt△FEB中，EF＝＝，可得S△COF＝CF•EF＝×2×＝，从而S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴∠DCO＝90°，即∠OCB+∠DCP＝90°，
∵DE⊥OB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠OBC+∠BPE＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DCP＝∠BPE，
∵∠BPE＝∠DPC，
∴∠DCP＝∠DPC；
（2）证明：连接OF，如图：
∵ED垂直平分OB，
∴OF＝BF，
∵OF＝OB，
∴BF＝OF＝OB，
∴△BOF是等边三角形，
∴∠FOB＝∠ABF＝60°，
∴∠FCB＝∠FOB＝30°，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠ABF＝30°，
∴∠FCB＝∠ABC，
∴CF∥AB；
（3）解：连接OF、OC，如图：
由（2）知，∠ABC＝∠CBF＝30°，
∴∠COF＝2∠CBF＝60°，
∵OB＝2，即⊙O半径为2，
∴S扇形COF＝＝，
∵OC＝OF，∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
∴CF＝OF＝OB＝2，
∵ED垂直平分OB，
∴OE＝BE＝OB＝1，∠FEB＝90°，
在Rt△FEB中，
EF＝＝＝，
∴S△COF＝CF•EF＝×2×＝，
∴S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣，
答：阴影部分的面积为﹣．
6．（2022•遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： 圆内接四边形对角互补 ；依据2： 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 45° ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）①根据轴对称的性质得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，进而得到∠AED＝∠ABC，证明结论；
②连接CF，证明△ABD∽△AFB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝45°，
∴∠4＝45°，
故答案为：45°；
（3）①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：AD•AF的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接CF，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD•AF＝AB2＝8．
7．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
【分析】（1）连接OD，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；
（2）连接OD，BD，设AE＝x，则AD＝1+x，利用相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论；
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得DH，CE的长度，通过判定四边形CHDP为矩形得到△DCP为直角三角形和两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴OD⊥BC．
∵PF是⊙O的切线，
∴OD⊥PF，
∴BC∥PF；
（2）连接OD，BD，如图，
设AE＝x，则AD＝1+x．
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴CD2＝DE•AD＝1×（1+x）＝1+x．
∴BD2＝1+x．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2．
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2．
∴，
解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），
∴AE＝3．
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，
由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴cos∠DAB＝＝．
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝．
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，cos∠ADO＝，
∴DH＝DE×＝．
∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．
∴BH＝＝，
∴CH＝BH＝．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，
∴四边形CHDP为矩形，
∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝，
∴△DCP的面积＝CP•DP＝．
8．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；
（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵＝，
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝；
（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
∵＝＝＝，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，
∴FH＝FG＝4，
∴＝＝2，
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF，
∴∠FDH＝∠ADG，
∴△FDH∽△ADG，
∴＝＝，
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝＝6，
∴⊙O的直径为6．
解法二：由（2）可知sin∠FHG＝，
∴FH＝FG＝4，
∴FB＝FH+HB＝4+2＝6，＝2，
∵DG是∠FDA的角平分线，
可证＝＝2，
∵△DAF∽△DFB，
∴＝，
∴AF＝12，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝6．
9．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．
【分析】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；
ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，求出x的值，则可得出答案；
（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝CE，OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD为菱形；
ii．解：∵OA＝OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵P为BC的中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝2OE，
设OE＝x，则BE＝2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，
∴9﹣x2＝25﹣9x2，
解得x＝（负值舍去），
∴OB＝3x＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）解：：如图，
∵⊙A与⊙B相交于E，F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG＝BG＝AB，EG＝CE，
∵CE＝AE，
∴GE＝AE，CG＝CE+EG＝AE，
∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2﹣＝，
∴AG＝AE，
∴AB＝2AG＝AE，
∴BC2＝BG2+CG2＝AE2+＝5AE2，
∴BC＝AE，
∴．
10．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
【分析】（1）根据题意得出DF是△COM的中位线，即点D是OC的中点，据此求解即可；
（2）过点N作ND⊥OH于点D，根据题意得到△NHD是等腰直角三角形，则ND＝HD，根据锐角三角函数求出ND＝，OD＝，再根据勾股定理求解即可；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，
∴DF是△COM的中位线，
∴点D是OC的中点，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2；
（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，
∵∠OHN＝45°，
∴△NHD是等腰直角三角形，
∴ND＝HD，
∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，
∴＝，
设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，
∵OH＝OA＝4，
∴OH＝3x+4x＝4，
∴x＝，
∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，
∴ON＝＝；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，
∵∠HOM＝50°，OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH＝65°，
∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，
∴∠OTH＝∠OHT＝65°，
∴∠TOH＝50°，
∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴的长＝＝π，
∴点N的运动路径长＝4+π．
11．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
【分析】（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；
②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT＝PP'，从而证明结论；
（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．
【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），
∴P'（﹣1，1），
如图，点Q即为所求；
②连接PP'，
∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，
∴PP'∥ON，
∵P'N＝QN，
∴PT＝QT，
∴NT＝PP'，
∵PP'＝OM，
∴NT＝OM；
（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，
由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，
∴TQ＝2MN，
∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，
∴TQ＝2﹣2t，
∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，
∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，
∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，
∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．
12．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，则可求出答案；
（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，
∴tan∠AOF＝，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝OC＝6，
∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，
∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．
13．（2022•梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．
（1）求证：①△ABF∽△DCF；
②CD是⊙O的切线．
（2）求的值．
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠FAB＝∠D，根据对顶角相等得到∠AFB＝∠DFC，根据相似三角形的判定定理证明△ABF∽△DCF；
②根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的性质得到∠DCO＝∠AOC＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，根据勾股定理用a表示出AE，进而求出AD，根据相似三角形的性质求出EF，再根据相似三角形的性质求出DG，进而求出FG，计算即可．
【解答】（1）证明：①∵CD∥AB，
∴∠FAB＝∠D，
∵∠AFB＝∠DFC，
∴△ABF∽△DCF；
②∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCO＝∠AOC＝90°，
∵OC是半圆的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点F作FH∥AB交OC于H，
设圆的半径为2a，
∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，
∴CE＝OE＝a，AE＝DE，
由勾股定理得：AE＝＝a，
∴AD＝2a，
∵△ABF∽△DCF，
∴＝＝，
∵FH∥AB，
∴＝＝，
∵FH∥AB，
∴＝＝，
∴EF＝，
∵CD是⊙O的切线，
∴DC2＝DG•DA，即（2a）2＝DG•2a，
解得：DG＝，
∴FG＝a﹣﹣＝，
∴＝＝．
14．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．
【分析】（1）由BC是△ABC外接圆⊙O的直径，得∠ABC+∠ACB＝90°，根据∠ACD＝∠B，即得∠BCD＝90°，从而CD是⊙O的切线；
（2）连接AF，CG，证明△AEF∽△GEC，可得AE•CE＝EG•EF，根据E为AC的中点，有AE＝CE，OE⊥AC，即可得OC2﹣OE2＝EG•EF，（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，由四边形MNOC是矩形，得MN＝OC＝BC＝8，根据EF＝2EG，可得NG＝EG，NE＝EG，EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，因CE2＝EG•EF＝2EG2，可得2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（EG）2，解得EG即可得FG＝3EG＝3﹣3．
【解答】（1）证明：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AF，CG，如图：
∵＝，
∴∠AFE＝∠GCE，
∵∠AEF＝∠GEC，
∴△AEF∽△GEC，
∴＝，
∴AE•CE＝EG•EF，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，OE⊥AC，
∴CE2＝OC2﹣OE2，AE•CE＝CE•CE＝CE2＝EG•EF，
∴OC2﹣OE2＝EG•EF，
∴（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）解：过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，如图：
∵∠OCD＝∠ONM＝90°，FG∥BC，
∴四边形MNOC是矩形，
∴MN＝OC＝BC＝8，
∵ON⊥FG，
∴FN＝GN，
∵EF＝2EG，
∴FG＝3EG，
∴NG＝EG，
∴NE＝EG，
∴EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2EG2，
∴CM2＝CE2﹣EM2＝2EG2﹣（8﹣EG）2＝ON2，
而ON2＝OE2﹣NE2＝（OC2﹣CE2）﹣NE2，
∴2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（EG）2，
解得EG＝﹣1（负值已舍去），
∴FG＝3EG＝3﹣3．
方法2：
过O作ON⊥EG于N，过E作EH⊥BC于H，如图：
设EG＝x，则EF＝2x，FG＝3x，
∵ON⊥EG，
∴NG＝FG＝x，
∴NE＝NG﹣EG＝x＝OH，
∴CH＝OC﹣OH＝8﹣x，
∵E为AC中点，O为BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴∠OEC＝∠A＝90°＝∠EHC，
∵∠ECH＝∠OCE，
∴△ECH∽△OCE，
∴＝，
∴CE2＝OC•CH，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2x•x＝2x2，
∴2x2＝8×（8﹣x），
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
∴FG＝3x＝3﹣3．
15．（2022•哈尔滨）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
【分析】（1）欲证明∠ODC＝∠OEC，只要证明△ODC≌△OEC（SAS）即可；
（2）证明∠H＝∠OCE＝30°，根据等角对等边可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△MHG是等边三角形，设AG＝5x，BG＝3x，再证明△HAM≌△HBG（SAS），根据AG＝AM+MG列方程可得x的值，最后再证明BH＝3OF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵点D，点E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD＝OA，OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OE＝OD，
∵∠AOC＝2∠CHB，∠BOC＝2∠CHB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△OCD≌△OCE（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC；
（2）证明：∵CD⊥OA，
∴∠CDO＝90°，
由（1）知：∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴sin∠OCE＝＝，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵∠H＝∠COE＝30°，
∴∠H＝∠OCE，
∴FC＝FH；
（3）解：∵CO＝OH，FC＝FH，
∴FO⊥CH，
∴∠FOH＝90°，
如图，连接AH，
∵∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOH＝∠BOH＝120°，
∴AH＝BH，∠AGH＝60°，
∵AG：BG＝5：3，
∴设AG＝5x，BG＝3x，
在AG上取点M，使得AM＝BG，连接MH，过点H作HN⊥GM于N，
∵∠HAM＝∠HBG，
∴△HAM≌△HBG（SAS），
∴MH＝GH，
∴△MHG是等边三角形，
∴MG＝HG＝2，
∵AG＝AM+MG，
∴5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴AG＝5，BG＝AM＝3，
∴MN＝GM＝×2＝1，HN＝，
∴AN＝MN+AM＝4，
∴HB＝HA＝＝＝，
∵∠FOH＝90°，∠OHF＝30°，
∴∠OFH＝60°，
∵OB＝OH，
∴∠BHO＝∠OBH＝30°，
∴∠FOB＝∠OBF＝30°，
∴OF＝BF，
在Rt△OFH中，∠OHF＝30°，
∴HF＝2OF，
∴HB＝BF+HF＝3OF＝，
∴OF＝．
专题1 圆的综合题中考题型训练
1．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 度；的值等于 ．
2．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
4．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
5．（2022•贵阳）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC．ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF．
（1）求证：∠DCP＝∠DPC；
（2）当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；
（3）在（2）的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．
6．（2022•遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
7．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
8．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．
9．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．
10．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
11．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
12．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
13．（2022•梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．
（1）求证：①△ABF∽△DCF；
②CD是⊙O的切线．
（2）求的值．
14．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．
15．（2022•哈尔滨）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
1．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 36 度；的值等于 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∴∠CEB＝2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°；
∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
∴，
∴CE2＝EO•BE，
设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，
∴a2＝x（x+a），
解得，x＝a（负值舍去），
∴OE＝a，
∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴，
∴＝．
故答案为：36，．
2．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 相切 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE＝OD，利用直线与圆相切的定义解答即可；
（3）过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BOD＝48°，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为⊙O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，
∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为⊙O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，
∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C＝＝42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，
∴DF＝MF＝DM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF＝∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF＝，
∴sin24°＝，
∴OD＝≈≈4.9，
∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
【分析】（1）欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可；
（2）设OB＝OC＝r，证明OP＝3r，可得4r＝12，推出r＝3，利用平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠PCA＝∠CBD，
∴∠PCA＝∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCA+∠ACO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
∵PC＝2OB，
∴PC＝2r，
∴OP＝＝＝3r，
∵PB＝12，
∴4r＝12，
∴r＝3，
由（1）可知，∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∴＝，∠D＝∠PCO＝90°，
∴＝，
∴BD＝4，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D＝90°，
∴AE∥PD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2．
4．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；
（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果；
（3）由（2）的结论，得出 r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．
【解答】（1 ）证明：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r＝，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴，
∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．
5．（2022•贵阳）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC．ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF．
（1）求证：∠DCP＝∠DPC；
（2）当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；
（3）在（2）的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线得∠OCB+∠DCP＝90°，又DE⊥OB，有∠OBC+∠BPE＝90°，可得∠DCP＝∠BPE，即得∠DCP＝∠DPC；
（2）连接OF，根据ED垂直平分OB，可得△BOF是等边三角形，有∠FOB＝∠ABF＝60°，∠FCB＝∠FOB＝30°，而BC平分∠ABF，有∠ABC＝∠ABF＝30°，故∠FCB＝∠ABC，知CF∥AB；
（3）连接OF、OC，由∠ABC＝∠CBF＝30°，得∠COF＝2∠CBF＝60°，即得S扇形COF＝，而OC＝OF，∠COF＝60°，可得△COF是等边三角形，有CF＝OF＝OB＝2，在Rt△FEB中，EF＝＝，可得S△COF＝CF•EF＝×2×＝，从而S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴∠DCO＝90°，即∠OCB+∠DCP＝90°，
∵DE⊥OB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠OBC+∠BPE＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DCP＝∠BPE，
∵∠BPE＝∠DPC，
∴∠DCP＝∠DPC；
（2）证明：连接OF，如图：
∵ED垂直平分OB，
∴OF＝BF，
∵OF＝OB，
∴BF＝OF＝OB，
∴△BOF是等边三角形，
∴∠FOB＝∠ABF＝60°，
∴∠FCB＝∠FOB＝30°，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠ABF＝30°，
∴∠FCB＝∠ABC，
∴CF∥AB；
（3）解：连接OF、OC，如图：
由（2）知，∠ABC＝∠CBF＝30°，
∴∠COF＝2∠CBF＝60°，
∵OB＝2，即⊙O半径为2，
∴S扇形COF＝＝，
∵OC＝OF，∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
∴CF＝OF＝OB＝2，
∵ED垂直平分OB，
∴OE＝BE＝OB＝1，∠FEB＝90°，
在Rt△FEB中，
EF＝＝＝，
∴S△COF＝CF•EF＝×2×＝，
∴S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣，
答：阴影部分的面积为﹣．
6．（2022•遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： 圆内接四边形对角互补 ；依据2： 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 45° ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）①根据轴对称的性质得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，进而得到∠AED＝∠ABC，证明结论；
②连接CF，证明△ABD∽△AFB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝45°，
∴∠4＝45°，
故答案为：45°；
（3）①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：AD•AF的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接CF，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD•AF＝AB2＝8．
7．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
【分析】（1）连接OD，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；
（2）连接OD，BD，设AE＝x，则AD＝1+x，利用相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论；
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得DH，CE的长度，通过判定四边形CHDP为矩形得到△DCP为直角三角形和两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴OD⊥BC．
∵PF是⊙O的切线，
∴OD⊥PF，
∴BC∥PF；
（2）连接OD，BD，如图，
设AE＝x，则AD＝1+x．
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴CD2＝DE•AD＝1×（1+x）＝1+x．
∴BD2＝1+x．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2．
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2．
∴，
解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），
∴AE＝3．
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，
由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴cos∠DAB＝＝．
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝．
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，cos∠ADO＝，
∴DH＝DE×＝．
∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．
∴BH＝＝，
∴CH＝BH＝．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，
∴四边形CHDP为矩形，
∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝，
∴△DCP的面积＝CP•DP＝．
8．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；
（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵＝，
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝；
（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
∵＝＝＝，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，
∴FH＝FG＝4，
∴＝＝2，
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF，
∴∠FDH＝∠ADG，
∴△FDH∽△ADG，
∴＝＝，
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝＝6，
∴⊙O的直径为6．
解法二：由（2）可知sin∠FHG＝，
∴FH＝FG＝4，
∴FB＝FH+HB＝4+2＝6，＝2，
∵DG是∠FDA的角平分线，
可证＝＝2，
∵△DAF∽△DFB，
∴＝，
∴AF＝12，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝6．
9．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．
【分析】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；
ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，求出x的值，则可得出答案；
（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝CE，OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD为菱形；
ii．解：∵OA＝OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵P为BC的中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝2OE，
设OE＝x，则BE＝2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，
∴9﹣x2＝25﹣9x2，
解得x＝（负值舍去），
∴OB＝3x＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）解：：如图，
∵⊙A与⊙B相交于E，F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG＝BG＝AB，EG＝CE，
∵CE＝AE，
∴GE＝AE，CG＝CE+EG＝AE，
∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2﹣＝，
∴AG＝AE，
∴AB＝2AG＝AE，
∴BC2＝BG2+CG2＝AE2+＝5AE2，
∴BC＝AE，
∴．
10．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
【分析】（1）根据题意得出DF是△COM的中位线，即点D是OC的中点，据此求解即可；
（2）过点N作ND⊥OH于点D，根据题意得到△NHD是等腰直角三角形，则ND＝HD，根据锐角三角函数求出ND＝，OD＝，再根据勾股定理求解即可；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，
∴DF是△COM的中位线，
∴点D是OC的中点，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2；
（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，
∵∠OHN＝45°，
∴△NHD是等腰直角三角形，
∴ND＝HD，
∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，
∴＝，
设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，
∵OH＝OA＝4，
∴OH＝3x+4x＝4，
∴x＝，
∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，
∴ON＝＝；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，
∵∠HOM＝50°，OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH＝65°，
∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，
∴∠OTH＝∠OHT＝65°，
∴∠TOH＝50°，
∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴的长＝＝π，
∴点N的运动路径长＝4+π．
11．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
【分析】（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；
②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT＝PP'，从而证明结论；
（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．
【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），
∴P'（﹣1，1），
如图，点Q即为所求；
②连接PP'，
∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，
∴PP'∥ON，
∵P'N＝QN，
∴PT＝QT，
∴NT＝PP'，
∵PP'＝OM，
∴NT＝OM；
（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，
由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，
∴TQ＝2MN，
∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，
∴TQ＝2﹣2t，
∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，
∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，
∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，
∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．
12．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，则可求出答案；
（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，
∴tan∠AOF＝，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝OC＝6，
∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，
∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．
13．（2022•梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．
（1）求证：①△ABF∽△DCF；
②CD是⊙O的切线．
（2）求的值．
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠FAB＝∠D，根据对顶角相等得到∠AFB＝∠DFC，根据相似三角形的判定定理证明△ABF∽△DCF；
②根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的性质得到∠DCO＝∠AOC＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，根据勾股定理用a表示出AE，进而求出AD，根据相似三角形的性质求出EF，再根据相似三角形的性质求出DG，进而求出FG，计算即可．
【解答】（1）证明：①∵CD∥AB，
∴∠FAB＝∠D，
∵∠AFB＝∠DFC，
∴△ABF∽△DCF；
②∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCO＝∠AOC＝90°，
∵OC是半圆的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点F作FH∥AB交OC于H，
设圆的半径为2a，
∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，
∴CE＝OE＝a，AE＝DE，
由勾股定理得：AE＝＝a，
∴AD＝2a，
∵△ABF∽△DCF，
∴＝＝，
∵FH∥AB，
∴＝＝，
∵FH∥AB，
∴＝＝，
∴EF＝，
∵CD是⊙O的切线，
∴DC2＝DG•DA，即（2a）2＝DG•2a，
解得：DG＝，
∴FG＝a﹣﹣＝，
∴＝＝．
14．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．
【分析】（1）由BC是△ABC外接圆⊙O的直径，得∠ABC+∠ACB＝90°，根据∠ACD＝∠B，即得∠BCD＝90°，从而CD是⊙O的切线；
（2）连接AF，CG，证明△AEF∽△GEC，可得AE•CE＝EG•EF，根据E为AC的中点，有AE＝CE，OE⊥AC，即可得OC2﹣OE2＝EG•EF，（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，由四边形MNOC是矩形，得MN＝OC＝BC＝8，根据EF＝2EG，可得NG＝EG，NE＝EG，EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，因CE2＝EG•EF＝2EG2，可得2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（EG）2，解得EG即可得FG＝3EG＝3﹣3．
【解答】（1）证明：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AF，CG，如图：
∵＝，
∴∠AFE＝∠GCE，
∵∠AEF＝∠GEC，
∴△AEF∽△GEC，
∴＝，
∴AE•CE＝EG•EF，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，OE⊥AC，
∴CE2＝OC2﹣OE2，AE•CE＝CE•CE＝CE2＝EG•EF，
∴OC2﹣OE2＝EG•EF，
∴（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）解：过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，如图：
∵∠OCD＝∠ONM＝90°，FG∥BC，
∴四边形MNOC是矩形，
∴MN＝OC＝BC＝8，
∵ON⊥FG，
∴FN＝GN，
∵EF＝2EG，
∴FG＝3EG，
∴NG＝EG，
∴NE＝EG，
∴EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2EG2，
∴CM2＝CE2﹣EM2＝2EG2﹣（8﹣EG）2＝ON2，
而ON2＝OE2﹣NE2＝（OC2﹣CE2）﹣NE2，
∴2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（EG）2，
解得EG＝﹣1（负值已舍去），
∴FG＝3EG＝3﹣3．
方法2：
过O作ON⊥EG于N，过E作EH⊥BC于H，如图：
设EG＝x，则EF＝2x，FG＝3x，
∵ON⊥EG，
∴NG＝FG＝x，
∴NE＝NG﹣EG＝x＝OH，
∴CH＝OC﹣OH＝8﹣x，
∵E为AC中点，O为BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴∠OEC＝∠A＝90°＝∠EHC，
∵∠ECH＝∠OCE，
∴△ECH∽△OCE，
∴＝，
∴CE2＝OC•CH，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2x•x＝2x2，
∴2x2＝8×（8﹣x），
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
∴FG＝3x＝3﹣3．
15．（2022•哈尔滨）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
【分析】（1）欲证明∠ODC＝∠OEC，只要证明△ODC≌△OEC（SAS）即可；
（2）证明∠H＝∠OCE＝30°，根据等角对等边可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△MHG是等边三角形，设AG＝5x，BG＝3x，再证明△HAM≌△HBG（SAS），根据AG＝AM+MG列方程可得x的值，最后再证明BH＝3OF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵点D，点E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD＝OA，OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OE＝OD，
∵∠AOC＝2∠CHB，∠BOC＝2∠CHB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△OCD≌△OCE（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC；
（2）证明：∵CD⊥OA，
∴∠CDO＝90°，
由（1）知：∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴sin∠OCE＝＝，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵∠H＝∠COE＝30°，
∴∠H＝∠OCE，
∴FC＝FH；
（3）解：∵CO＝OH，FC＝FH，
∴FO⊥CH，
∴∠FOH＝90°，
如图，连接AH，
∵∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOH＝∠BOH＝120°，
∴AH＝BH，∠AGH＝60°，
∵AG：BG＝5：3，
∴设AG＝5x，BG＝3x，
在AG上取点M，使得AM＝BG，连接MH，过点H作HN⊥GM于N，
∵∠HAM＝∠HBG，
∴△HAM≌△HBG（SAS），
∴MH＝GH，
∴△MHG是等边三角形，
∴MG＝HG＝2，
∵AG＝AM+MG，
∴5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴AG＝5，BG＝AM＝3，
∴MN＝GM＝×2＝1，HN＝，
∴AN＝MN+AM＝4，
∴HB＝HA＝＝＝，
∵∠FOH＝90°，∠OHF＝30°，
∴∠OFH＝60°，
∵OB＝OH，
∴∠BHO＝∠OBH＝30°，
∴∠FOB＝∠OBF＝30°，
∴OF＝BF，
在Rt△OFH中，∠OHF＝30°，
∴HF＝2OF，
∴HB＝BF+HF＝3OF＝，
∴OF＝．
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