九年级数学下册人教版·浙江省杭州市期末附答案解析

2021年浙江省杭州市九年级期末数学试卷

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．若2y﹣7x＝0，则x：y等于（　　）

A．2：7 B．4：7 C．7：2 D．7：4

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．

3．下列说法正确的是（　　）

A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 

B．概率很小的事情不可能发生 

C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件 

D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（　　）

A．6 B．3 C．6 D．3

5．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x

6．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（　　）

A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a

7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（　　）

A．30° B．50° C．70° D．80°

8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）

A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25

9．已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　）

A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC的度数为　   　．

12．二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是　   　．

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为　   　．

14．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　   　．

15．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　   　．

16．在△ABC中，AB＝AC，点D在直线BC上，DC＝3DB，点E为AB边的中点，连接AD，射线CE交AD于点M，则的值为　   　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17．计算：2sin30°+cos30°•tan60°．

18．一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球3个，白球1个．

（1）求任意摸出一球是白球的概率；

（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．

19．如图，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F．

（1）求证：△ABC∽△BCD；

（2）已知tan∠ABC＝2，求的值．

20．如图所示，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．

（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于　   　度；

（2）求山坡A、B两点间的距离（结果精确到0.1米）．

（参考数据：≈1.414，≈1.732）

21．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP＝AC．

（1）求证：AP与⊙O相切；

（2）如果PD＝，求AP的长．

22．已知二次函数y＝x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点．

（1）请写出b、c的关系式；

（2）设直线y＝7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；

（3）若P（a，﹣a）不在曲线y＝x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；

（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．

参考答案

1．A．2．A．3．C．4．A．5．D．6．B．7．C．8．C．9．B．10．B．

11．130°．12．﹣5．13．．14．9．15．﹣1≤t＜8． 16．或1．

17．解：原式＝2×+×

＝1+

＝．

18．解：（1）任意摸出一球是白球的概率＝；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出都是红球的结果数为6，

所以两次摸出都是红球的概率＝＝．

19．（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD，

又∵∠ACB＝∠BDC＝Rt∠，

∴△ABC∽△BCD；

（2）解：∵tan∠ABC＝2，

∴可设AC＝2k，则BC＝k．

∵∠ACB＝Rt∠，

∴AB2＝AC2+BC2＝5k2，

∴AB＝．

∵△ABC∽△BCD，

∴∠BAC＝∠CBD，∠ACB＝∠BDC＝90°，

∴sin∠BAC＝sin∠CBD，

∵CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F，

∴＝＝＝＝．

20．解：（1）过A作AD⊥BC于D，

∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，

∴∠ABC＝30°，

故答案为：30；

（2）由题意得，∠PBH＝60°，∠APB＝45°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABP＝90°，

∴△PBA是等腰直角三角形，

∴PB＝＝＝＝20，

∵AB＝PB＝20＝34.6，

答：山坡A、B两点间的距离是34.6米．

21．（1）证明：连接AO，

∵∠B＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∵AO＝CO，AP＝AC，

∴∠P＝∠ACP，∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠P＝∠ACP＝∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠PAC＝120°，

∴∠PAO＝90°，

∴AP是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝R，OP＝+R，

∵∠PAO＝90°，∠P＝30°，

∴OP＝2OA，即+R＝2R，

解得R＝，

∴OA＝，OP＝2，

∴PA＝

根据勾股定理得，AP＝＝＝3．

22．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，

令y＝0得：x2﹣2bx+c＝0，

∵△＝（﹣2b）2﹣4c＝0，

∴b2＝c．

（2）设A（x1，0），B（x2，0），

∵直线y＝7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x2﹣2bx+c﹣7＝0的两个根x1、x2．

∴AB＝|x1﹣x2|，

∵x1+x2＝2b，x1x2＝c﹣7，b2＝c．

∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝＝＝2．

（3）P（a，﹣a）不在曲线y＝x2﹣2bx+c上，

∴直线y＝﹣x与曲线y＝x2﹣2bx+c没有交点，

即方程﹣x＝x2﹣2bx+c没有实数根，

∴x2+（1﹣2b）x+c＝0的△＜0，

即（1﹣2b）2﹣4c＜0，

整理得，1﹣4b+4b2﹣4c＜0，

∵b2＝c．

∴1﹣4b＜0，

∴b．

23．解：（1）连接AD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴，

∴OD⊥BE；

（2）∵∠AEB＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∵BD＝CD，

∴BC＝2DE＝，

∵四边形ABDE内接于⊙O，

∴∠BAC+∠BDE＝180°，

∵∠CDE+∠BDE＝180°，

∴∠CDE＝∠BAC，

∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∴，即，

∴CE＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；

（3）∵，

∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，

∵BD＝CD，

∴S△CDE＝S△BDE＝5k，

∵BD＝CD，AO＝BO，

∴OD∥AC，

∴△OBF∽△ABE，

∴，

∴S△ABE＝4S△OBF，

∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，

∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，

∵△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∵BC＝2CD，

∴．