2023年湖北省咸宁市五校联考中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

2023年湖北省咸宁市五校联考中考数学质检试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  春季天气多变，易滋生细菌，是流感、诺如病毒等传染病的高发期各校积极开展“多病同防”的系列教育活动某市卫生部门统计，截止月日，全市有万人感染了春季流行病，用科学记数法表示万，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图所示的几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 打开电视机，它正在播广告是必然事件
B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率可能为
C. 一组数据“，，，，，，”的众数是，中位数是
D. 从全校名学生中抽取名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为

7.  如图，正五边形内接于，其半径为，作交于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动若，交于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图所示，当时，的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

10.  关于的方程的两根分别为、，则的值为______ ．

11.  以原点为中心，把抛物线的顶点顺时针旋转，得到的点的坐标为        ．

12.  孙子算经是我国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣其内容为：“人同吃一碗饭，人同吃一碗羹，人同吃一碗肉，共用个碗，问有        客人．

13.  如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为米，教学楼的高度______米．注：点、、、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数

14.  如图．中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算______．

15.  我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，后人称它为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一斜列数：，，，，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则        ．

16.  如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点有下列结论：；为的外心；；其中正确结论的序号是        ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的倍，若用一台机器人分栋件货物，比原先名工人分拣这些货物要少小时求一台机器人一小时可分拣多少件货物？

19.  本小题分
今年九年级体育中考选考项目是从篮球用表示、排球用表示和足球用表示中选一项．
如图是某校九年级同学选考项目的扇形统计图，则选考足球所对应的扇形圆心角为        ．
用画树状图或列表法求李强、王丽两位同学选择同一选考项目的概率．

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点点的坐标为，点的坐标为．
求一次函数和反比例函数的关系式；
若点是点关于轴的对称点，求的面积；
将直线向上平移个单位得到直线，当函数值时，直接写出的取值范围．

21.  本小题分
如图，是的直径，点，在上，，与相交于点，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

22.  本小题分
李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售已知该品牌服装进价每件元，日销售件与销售价元件之间的关系如图所示实线，每天付员工的工资每人元，每天应支付其他费用元．
直接写出日销售件与销售价元件之间的函数关系式；
当某天的销售价为元件时，收支恰好平衡收入支出，求该店员工人数；
若该店只有名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？

23.  本小题分
等边中，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与，的延长线相交于点，交于点，交于点．
如图，若，求证：．
如图，在绕点旋转的过程中：
探究三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；
若，，求的长．
 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其对称轴为过点的直线与抛物线交于另一点．
该抛物线的解析式为        ．
点是轴上的一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标；
点是第四象限内抛物线上的一个点，过点作于若取得最大值时，求这个最大值；
是抛物线对称轴上一点，过点作轴于点当最短时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故选：．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
考查了绝对值的性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A：，所以不符合题意；
选项B：，所以符合题意；
选项C：，所以不符合题意；
选项D：，所以不符合题意；
故选：．
A、根据积的乘方的进行计算即可判断；
B、先计算乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可判断；
C、根据完全平方公式进行计算即可判断；
D、根据合并同类项法则进行计算即可确定答案．
本题考查了完全平方公式、合并同类项以及幂的乘方、积的乘方等知识，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从上往下看，易得一个长方形．
故选D．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：：打开电视机，它正在播广告是随机事件，故本选项说法错误；
：掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率可能为，故本选项说法错误；
：一组数据“，，，，，，”的众数是，中位数是，故本选项说法错误；
：从全校名学生中抽取名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为，故本选项说法正确；
故选：．
根据相关定义逐一判断即可．
本题考查了事件的可能性、概率、中位数、众数、抽样调查等知识点，熟悉相关定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，，如图：

五边形是正五边形，
，，
，
，
，
的长为，
故选：．
连接，，，求出再用弧长公式列式计算即可．
本题考查正多边形和圆，解题的关键是掌握弧长公式和求出所对的圆心角度数．
 

8.【答案】 

【解析】解：当点在点时，即时，由图象可知：，
，
当点在点和点时，，
根据图象可知：，
当时，点在中点，
，
如图，

，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
根据图得到，的数值，然后根据相似三角形列出比例式即可求得．
本题考查了动点问题，相关知识点有：函数图象、矩形性质、相似三角形的判定与性质，理解动点的完整过程是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于．
根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于，分母不等于可知．
【解答】
解：根据二次根式的意义和分式有意义的条件可得，
解得．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两根分别为、，
，，
，
故答案为．
直接根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

11.【答案】 

【解析】解：由抛物线可知顶点坐标为，所以该顶点关于原点顺时针旋转，如图所示：

分别过点、作轴，轴，垂足分别为点、，
，，，，
，
，
≌，
，，
点；
故答案为：．
根据抛物线解析式可得顶点坐标为，然后根据点的坐标关于原点旋转可进行求解．
本题主要考查二次函数的性质及旋转，熟练掌握二次函数的性质及旋转是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设有客人．
根据题意，得，
解得．
答：有客人．
故答案为：．
设有客人，根据“人同吃一碗饭，人同吃一碗羹，人同吃一碗肉，共用个碗”列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
由题意得，米，米，，．
在中，，
，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
米，
米．
答：教学楼高约米．
过点作于点，过点作于点，由锐角三角函数定义得米，则米，再求出米，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作法可知，是的平分线，
，
由作法可知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
先根据三角形的内角和得出，由角平分线的定义求出的度数，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法及其性质是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：第一个数记为，
第二个数记为，
第三个数记为，
第四个数记为，
第个数记为，
故答案为：．
根据前几个数的特点，找到规律，得出答案．
本题主要考查数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由正方形的性质得，
平分，
，
，，
，故正确；
，
，
平分，
，
是直角三角形，
为的外心；故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，故错误，
综上，正确的结论是．
故答案为：．
由旋转的性质得，可得；
由正方形的性质得，即，进而可得；
可知，进而可得，，即点为直角三角形斜边的中点，为的外心；
先证明，可得，根据进而可得；
先证明，可得，即，故可求解．
本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：设一台机器人一小时可分拣件货物，则一名分拣工人一小时可分拣件货物，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：一台机器人一小时可分拣件货物． 

【解析】设一台机器人一小时可分拣件货物，则一名分拣工人一小时可分拣件货物，利用工作时间工作总量工作效率，结合“若用一台机器人分栋件货物，比原先名工人分拣这些货物要少小时”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
画树状图如下：

由上图可知共有种等可能的结果，其中两位同学选择同选考项目的有种，
．
用乘以百分比即可；
画出树状图，找出符合要求的种类，代入概率公式计算即可．
本题考查了概率的计算、画树状图、计算圆心角度数等，准确理解事件之间的关系是解题关键．
 

20.【答案】解：反比例函数的图象经过点，，
，
，
，
把、代入得，，
解得，
，
一次函数解析式，反比例函数解析式；
令，则，
，
点是点关于轴的对称点，
，
，
；
将直线向上平移个单位得到直线，
，
联立，，解得或，
两交点坐标分别为，，
当函数值时，观察图象得或． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点、点的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论；
根据一次函数的解析式求得点的坐标，由轴对称的性质求得点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；
求得直线的解析式，解方程组，求得两个交点的坐标，根据图象得出的取值范围．
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的直径，
是的切线；
解：，，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
半径是． 

【解析】首先根据是的直径，等腰三角形的性质，即可证得，再根据圆周角定理，可证得，即可证得，再根据切线的判定定理即可证得结论；
首先根据等腰三角形的性质，可得，根据直角三角形的性质可证得，再根据余弦函数的定义，即可求得，根据勾股定理即可求得，根据余弦函数的定义，即可求得，据此即可求解．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，设与的函数解析式为，
由图象可得，
，
解得：．
；
当时，设与的函数解析式为，
由图象得，
，
解得．
．
综上所述：．
设人数为，
当时，
，
则，
解得．
答：该店员工人数为．
设每件服装的价格为元时，每天获得的利润为元．
当时，


，
当时，．
当时，


，
当时，．

最大值为
答：每天能获得的最大利润是元，此时，每件服装的价格应定为元． 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
分两种情况解答：当时；当时，依据：总利润单件利润销售量工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．
本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：为等边三角形，是中线，
，，
，
在与中，
．
≌，
．
解：．
理由：，
，
，
，
∽，
，
即；
由可知，
，，
，
负值舍去，
是等边三角形，为的中点，
，
，，
过点作，交的延长线于，

，
，
，
，，
，
，
过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
． 

【解析】由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出；
证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作，交的延长线于，求出，过点作交于，证明≌，得出，则可得出答案．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】 

【解析】解：在中，令得，
，
抛物线对称轴为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
故答案为：；
由得或，
，
设，则，，，
当时，，
解得或，
的坐标为或；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得与重合，舍去或，
；
综上所述，的坐标为或或或；
过点作轴交于点．

直线解析式为，
，
轴，
，
，
设，则，，
，
，
当时，取最大值，的最大值为，此时，
最大值为；
由得或，
，
将点向左平移个单位到，连接交轴于点，过点作垂于对称轴于点，此时最短，如图：

由，得直线解析式为，
令得，
，
点坐标为
在中，得，由抛物线对称轴为，列方程组可得抛物线的解析式为；
求出，设，则，，，分三种情况分别列方程，可解得的坐标为或或或；
过点作轴交于点，由直线解析式为，可得，及知，设，可得，由二次函数性质可得最大值为；
将点向左平移个单位到，连接交轴于点，过点作垂于对称轴于点，此时最短，由，得直线解析式为，令得，故点坐标为
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．