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2023年湖北省咸宁市咸安区中考数学调研试卷（5月份）（含解析）
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这是一份2023年湖北省咸宁市咸安区中考数学调研试卷（5月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省咸宁市咸安区中考数学调研试卷（5月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最大的数是( )
A. π B. 2 C. |−2| D. 3
2. 下列运算正确的是( )
A. (−a)2=−a2 B. 2a2−a2=2
C. a2⋅a=a3 D. (a−1)2=a2−1
3. 人口普查是一项由国家指导，各地政府逐户逐人进行的一次全项调查登记工作.根据第七次全国人口普查显示.我国人口已经达到141178万，将这个数据用科学记数法表示为( )
A. 1.41178×107 B. 1.41178×108 C. 1.41178×109 D. 1.41178×1010
4. 如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 将一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=48°，则∠2的度数为( )
A. 120°
B. 128°
C. 132°
D. 138°
6. 某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7.已知这组数据的平均数是5.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 4，5 B. 4，4 C. 5，4 D. 5，5
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交点P，作射线BP交AC于点D，若AC=2BC，则S△BCD：S△ABD的值为( )
A. 12
B. 55
C. 13
D. 35
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b，是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x=32时，对应的函数值y<0，有以下结论：①abc>0；②当x≤0时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根的，而且负实数根在12和0之间；④3m−n<−203.其中正确的结论是( )
A. ②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 式子 2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10. 化简| 2−1|+(−1)0=______．
11. 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，那么取出的鞋是同一双的概率是______ ．
12. 设m，n为关于x的方程x2+3x−2023=0的两个实数根，则m2+4m+n= ______ ．
13. 如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF//AB，则EF的长度为______ ．
14. 某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45°(点A，D与N在一条直线上)，则电池板离地面的高度MN的长为______ 米.(结果精确到1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)
15. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2…，第n个三角形数记为an，计算a2−a1，a3−a2，a4−a3，…由此推算a2023−a2022= ______ ．
16. 如图1，在矩形ABCD中，E为AB上一点(BE
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
先化简，再求值：x2+2x+1x÷(x−1x)，其中x= 2+1．
18. (本小题8.0分)
某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并到文教商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品．若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元．
(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元；
(2)若该学校决定购买甲、乙两种笔记本共80本，总费用不超过300元，那么该中学最多可以购买乙种笔记本多少本？
19. (本小题8.0分)
某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司的随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，(每组数据包括在右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次抽样调查的样本容量是______．
(2)补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．
(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
20. (本小题9.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
(1)求证：BF与⊙O相切；
(2)若AP=OP，sinA=35，AE=5，求CD的长．
21. (本小题9.0分)
如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,a)，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点C坐标为(−2,0)．
(1)k的值为______ ；
(2)求AB所在直线的解析式；
(3)直线AB与反比例函数y=kx(x>0)图象的另一交点为D，则△ACD的面积为______ ．
22. (本小题10.0分)
“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(0
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？
23. (本小题10.0分)
如图，已知四边形ABCD和四边形ECGF.连接BE，DG，直线BE交DG于M．
(1)如图1，若四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形.求证：BM⊥DG；
(2)如图2，若(1)中的两个正方形均为矩形，且满足ABAD=EFEC=k，且将四边形ECGF绕点C旋转到如图所示的位置．
①在图(2)中，(1)中的结论是仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
②若AB=6，EF=3，k=34，DE2+BG2= ______ .(直接写出结果)
24. (本小题12.0分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，其顶点为点D，连接AC．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求5PF+3PM的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−2|=2，
∵2<4，
∴ 2<2，
∴ 2<2<3<π，
∴最大的数是π，
故选：A．
C选项，−2的绝对值是2，所以这4个数都是正数，B选项， 2<2，即可得到最大的的数是π．
本题考查了实数的比较大小，知道 2<2是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.(−a)2=a2，故本选项不符合题意；
B.2a2−a2=a2，故本选项不符合题意；
C.a2⋅a=a3，故本选项符合题意；
D.(a−1)2=a2−2a+1，故本选项不符合题意；
故选：C．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：141178万=1411780000=1.41178×109，
故选：C．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数；确定n的值时，要把原数变成a，小数点移动几位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下，
故选：D．
根据左视图的意义，从左面看该组合体所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，明确从左面看该组合体所得到的图形的形状是正确判断的前提．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=48°，
∴∠3=90°−∠1=90°−48°=42°，
∴∠4=180°−42°=138°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠4=138°．
故选：D．
根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵这组数据的平均数是5，
∴4+4+5+5+x+6+77=5，
解得：x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
则众数为：4，
中位数为：5．
故选：A．
根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
本题考查了众数、算术平均数、中位数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】B
【解析】解：过D点作DG⊥AB于G点，如图，
根据作图可知：BP平分∠ABC，
∵DG⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DG，
∵在Rt△ABC中，AC=2BC，
∴AB= AC2+BC2= 5BC，
∴sinA=BCAB= 55，
∴在Rt△ADG中，sinA=DGAD= 55，
∵S△BCD：S△ABD=(12×CD×BC)：(12×AD×BC)，
∴S△BCD：S△ABD=CD：AD，
∵CD=DG，
∴S△BCD：S△ABD=DGAD=sinA= 55，
故选：B．
过D点作DG⊥AB于G点，根据角平分线的性质有CD=DG，在Rt△ABC中，AC=2BC，即有 AB= AC2+BC2= 5BC，则可得sinA=BCAB= 55，进而在Rt△ADG中，有sinA=DGAD= 55，再证明S△BCD：S△ABD=CD：AD，问题得解．
本题考查了作图—复杂作图、角平分线的性质、勾股定理，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当x=0时，c=2，
当x=1时，a+b+2=2，
∴a+b=0，
∴abc<0，
①错误；
∵x=0时，y=2，x=1时，y=2，
∴对称轴为：x=0+12=12，
∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x<12时，y随x的增大而增大，
∴当x≤0时，y随x的增大而增大，
②正确；
∵x=1时，y=2，x=32时，y<0，
∴抛物线与x轴的交点在1至32之间，
∵对称轴为x=12，
∴抛物线与x轴的另一个交点在−12至0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根，而且负实数根在12和0之间；
③正确；
∵−b2a=12，
∴b=−a，
∴y=ax2−ax+2，
∴m=n=2a+2，
∴3m−n=4a+4，
∵当x=32时，y=94a−32a+2<0，
∴a<−83，
∴m+n<−203，
④正确；
故选：C．
由x=0时，c=2，x=1时，a+b+2=2，得出a+b=0，即可判断①；求得对称轴和开口方向即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在−12至0之间，即可判断③；由对称轴公式得出b=−a，则y=ax2−ax+2，即可得出m=n=2a+2，得出3m−n=4a+4，由当x=32时，y=94a−32a+2<0，求得a<−83，即可得出m+n<−203，即可判断④．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．
9.【答案】x≤2
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】
解：依题意，得2−x≥0，
解得，x≤2．
故答案是：x≤2．
10.【答案】 2
【解析】解：原式= 2−1+1
= 2．
故答案为： 2．
直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
11.【答案】13
【解析】解：两双鞋用A、a、B、b表示，其中A、a表示同一双鞋，B、b表示同一双鞋，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果有4种，
∴取出的鞋是同一双的概率=412=13．
故答案为：13．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】2020
【解析】解：∵m是一元二次方程x2+3x−2023=0的一个实数根，
∴m2+3m−2023=0，
即m2+3m=2023．
由一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，
∴m2+4m+n=m2+3m+(m+n)=2023+(−3)=2020．
故答案为：2020．
先根据m是x2+3x−2023=0的一个实数根得出m2+3m−2023=0，利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13.【答案】2 3
【解析】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC=30°，
∴∠COE=60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF//AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE= 32×2= 3，
∵EF=2EM，
∴EF=2 3．
故答案为：2 3．
辅助线，连接OC与OE.根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF//AB，可知OC⊥EF，最后由三角函数和垂径定理可将EF的长求出．
本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．
14.【答案】8
【解析】解：延长BE交MN于点F，如图，
设MF=x米，
∵MN⊥AN，ED⊥AN，AB⊥AN，BE//AN，
∴∠FND=∠EDN=∠BAD=∠EBA=∠FED=90°，
∴四边形FNDE，四边形DEBA，四边形FNAB均为矩形，
∴NF=DE=AB=1.6米，EF=ND，BE=AD=3.5，
∵∠MEF=45°，∠MFE=90°，
∴EF=MF=x(米)，BF=x+3.5(米)，
在Rt△MBF中，tan∠MBF=MFBF，即tan33°=xx+3.5≈0.65，
解得x≈6.5(米)，
∴MN=x+1.6≈8.1(米)≈8(米)，
即电池板离地面的高度MN约为8米，
故答案为：8．
延长BE交MN于点F，设MF=x米，先说明四边形FNDE，四边形DEBA，四边形FNAB均为矩形，得出NF=DE=AB=1.6米，EF=ND，BE=AD=3.5，根据∠MEF=45°，得出EF=MF=x(米)，BF=x+3.5(米)利用锐角三角函数得出tan∠MBF=MFBF，即tan33°=xx+3.5≈0.65求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质，掌握解直角三角形的应用方法，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质是解题关键．
15.【答案】2023
【解析】解：a2−a1=3−1=2；
a3−a2=6−3=3；
a4−a3=10−6=4；
…；
∴an−an−1=n．
∴a2023−a2022=2023，
故答案为：2023．
根据计算可得规律：相邻两个数相减等于前面数的下标，从而可得a2023−a2022．
此题考查数字的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，再找出按照什么规律变化的，总结规律解决问题．
16.【答案】25
【解析】解：当t=0时，点P在B点处，PE+PC=y=BC+BE，
∴结合图象有：BC+BE=23，即BE=23−BC，
当点P在点E处时，PE+PC=y=EC，
如图，连接EC，
∴P1E+P1C≥EC，P2E+P2C≥EC，
∴可知当点P运动到E点时，y取最小值，
∴结合图象有：PE+PC=y=EC=17，
在Rt△BCE中，EC2=EB2+BC2，
∴172=(23−BC)2+BC2，
解得：BC=15或者BC=8，
∴BE=8或者BE=15，
∵BE
当t=a时点P运动到点D，过E点作EN⊥DC于点N，如图，
在矩形ABCD中，EN⊥DC，
∴四边形EBCN是矩形，
∴EN=BC=15，NC=BE=8，
∵结合图象有：PE+PC=y=CD+DE=33，
∴DN=33−DE−NC=25−DE，
在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，
∴DE2=(25−DE)2+152，
解得：DE=17，
∴DE+BE=17+8=25，
∵点P沿折线BED以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D，
∴当t=251=25=a时，点P运动到点D．
故答案为：25．
当t=0时，点P在B点处，可得BC+BE=23，当点P在点E处时，可知此时y取最小值，结合图象有：PE+PC=y=EC=17，在Rt△BCE中，EC2=EB2+BC2，即可求出BC=15，BE=8，当t=a时点P运动到点D，过E点作EN⊥DC于点N，结合图象有：PE+PC=y=CD+DE=33，在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，据此即可作答．
本题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解答本题的关键．
17.【答案】解：x2+2x+1x÷(x−1x)
=(x+1)2x÷x2−1x
=(x+1)2x⋅x(x+1)(x−1)
=x+1x−1，
当x= 2+1时，原式= 2+1+1 2+1−1=1+ 2．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：(1)设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元，
依题意得：20x+10y=11020y−30x=10，
解得：x=3y=5．
答：甲种笔记本的单价为3元，乙种笔记本的单价为5元．
(2)设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本(80−m)本，
依题意得：3(80−m)+5m≤300，
解得：m≤30．
答：该中学最多可以购买乙种笔记本30本．
【解析】(1)设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元，利用总价=单价×数量，结合“若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本(80−m)本，利用总价=单价×数量，结合总费用不超过300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19.【答案】解：
(1)100;
(2)用水15～20吨的户数：100−10−38−24−8=20(户)，
∴补充图如下：
“15吨～20吨”部分的圆心角的度数=360°×20100=72°，
答：扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数为72°．
(3)6×10+20+38100=4.08(万户)，
答：该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．
【解析】解：(1)∵10÷10%=100(户)，
∴样本容量是100；故答案为100．
(2)见答案．
(3)见答案．
(1)根据10～15吨部分的用户数和百分比进行计算；
(2)先根据频数分布直方图中的数据，求得“15吨～20吨”部分的用户数，再画图，最后根据该部分的用户数占比计算圆心角的度数；
(3)根据用水25吨以内的用户数的占比，求得该地区6万用户中用水全部享受基本价格的户数．
本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，解决问题的关键是在图中获取相关的数据进行计算求解．注意：扇形圆心角的度数=360°×该部分在总数中的百分比，扇形统计图可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系．此外，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
20.【答案】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC、△BED是直角三角形，
∵点F为DE的中点，
∴BF=12DE=DF=EF，
∴∠D=∠FBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PD⊥AC，
∴∠D+∠OCB=90°，
∴∠FBD+∠OBC=90°，
∴∠OBF=90°，即OB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
(2)解：∵在Rt△APE中，sinA=35，AE=5，
∴PE=AE×sinA=3，即AP= AE2−PE2=4，
∵AP=OP，
∴AP=OP=4，
∴OC=AO=8，即PC=PO+OC=12，
∵∠ABC=∠CPD=90°，∠ACB=∠PCD，
∴∠A=∠D，
∴sinD=sinA=35，
∴在Rt△PCD中，CD=PCsinD=1235=20，
即所求的值为20．
【解析】(1)根据点F为DE的中点，可得BF=12DE=DF=EF，即有∠D=∠FBD，根据OC=OB，可得∠OCB=∠OBC，由∠D+∠OCB=90°，可得∠FBD+∠OBC=90°，问题随之得证；
(2)在Rt△APE中，sinA=35，AE=5，可得PE=AE×sinA=3，即AP= AE2−PE2=4，进而可得OC=AO=8，即PC=PO+OC=12，再证明∠A=∠D，即有sinD=sinA=35，在Rt△PCD中，CD=PCsinD=1235=20．
本题考查了切线的证明，圆周角定理，勾股定理，直角三角形以及斜边的中线等于斜边的一半等知识，掌握切线的证明，圆周角定理，是解答本题的关键．
21.【答案】1 54
【解析】解：(1)∵正比例函数y=x的图象经过点A(1,a)，
∴a=1，
∴A(1,1)，
∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=1×1=1，
故答案为：1；
(2)作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，
∵A(1,1)，C(−2,0)，
∴AF=1，CO=2，
∵∠ACB=90°，CF=3，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
∠BCE=∠CAF∠BEC=∠CFA=90°CB=AC，
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴CE=AF=1，BE=CF=3，
∴B(−3,3)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴m+n=1−3m+n=3，解得m=−12n=32，
∴直线AB的解析式为y=−12x+32．
(3)联立两解析式，得y=1xy=−12x+32，
解得：x=2y=12，或x=1y=1，
∴直线AB于反比例函数的另一个交点D坐标(2,12)，
∵A(1,1)，
即AD= (12−1)2+(2−1)2= 52．
如图，作CH⊥AB于点H，
∵A(1,1)，C(−2,0)，
∴AC= (−2−1)2+(0−1)2= 10，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=45°，
∵CH⊥AB，
∴在△AHC中，CH=AC×sin45°= 5，
∴S△ACD=12×AD×CH=12× 52× 5=54，
故答案为：54．
(1)先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
(2)作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，通过证得△BCE≌△CAF，求得B(−3,3)，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(3)两个函数解析式联立，解方程组即可求出D点坐标，利用勾股定理可得AD= (12−1)2+(2−1)2= 52.作CH⊥AB于点H，利用勾股定理有AC= (−2−1)2+(0−1)2= 10，根据∠CAB=45°，可得CH=AC×sin45°= 5，即S△ACD=12×AD×CH=12× 52× 5=54．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，求得B的坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结合图象，分段计算，
当10≤x≤15时，P=40，
当0
∴b=2010k+b=40，解得b=20k=2，
即此时P=2x+20，
综上：P=2x+20(0
∵P=2x+20(0
当10≤x≤15时，W=−20x+520，
即W随着x的增大而减小，
∴当x=10时，W有最大值，最大值为W=320，
∵320<324，
∴当x=8时，W有最大值，最大值为W=324，
∴小王第8天创造的利润最大，最大利润是324元；
(3)根据题意可知：当W>288时，即可获得奖励，
当0
∵0
当10≤x≤15时，W>288，
即有：W=−20x+520>288，
解得：10≤x<11.6，
即此时可以获得奖励为：20×2=40(元)，
∵第10天重复计算，
∴总计获得的奖励为：160+40−20=180(元)．
【解析】(1)结合图象，分段计算，当10≤x≤15时，P=40，当0288，即有：W=−20x+520>288，解得：10≤x<11.6，去除第10天重复计算的奖励，问题得解．
本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键．
23.【答案】125
【解析】证明：(1)如图，直线BM交CD于N，
∵四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形，
∴CD=BC，EC=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠CBN+∠BNC=90°，∠BCD−∠ECD=∠ECG−∠ECD，
∴∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，
∵∠BNC=∠DNM，∠CBN+∠BNC=90°，
∴∠DNM+∠CDG=90°，
∴∠DMN=90°，
∴BM⊥DG；
解：(2)①成立，理由如下：
直线BM交CD于N，如图，
∵四边形ABCD和四边形ECGF均为矩形，
∴AD=BC，AB=CD，EF=CG，EC=FG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠CBM+∠BNC=90°，∠BCD+∠ECD=∠ECG+∠ECD，
∴∠BCE=∠DCG，
∵ABAD=EFEC=k，
∴CDBC=CGEC，
∴ECBC=CGCD，
∴△BCE∽△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，
∵∠CBM+∠BNC=90°，∠BNC=∠DNM，
∴∠CDG+∠DNM=90°，
∴∠DMN=90°，
∴BM⊥DG；
②连接BD，EG，如图，
∵BM⊥DG，
∴△BMD、△GEM、△DEM、△GBM是直角三角形，
∴BD2=BM2+DM2，EG2=ME2+GM2，BG2=BM2+GM2，DE2=ME2+DM2，
∴DE2+BG2=BD2+EG2，
∵AB=6，EF=3，k=34，ABAD=EFEC=k，
∴AD=8，EC=4，CG=3，
∵四边形ABCD和四边形ECGF均为矩形，
∴BD2=AD2+AB2=100，EG2=EC2+CG2=25，
∴DE2+BG2=BD2+EG2=125，
故答案为：125．
(1)直线BM交CD于N，证明△BCE≌△DCG，问题得解；
(2)①直线BM交CD于N，先证明∠BCE=∠DCG，再根据ABAD=EFEC=k，可得ECBC=CGCD，即有△BCE∽△DCG，问题得解；②连接BD，EG，根据BM⊥DG，可得△BMD、△GEM、△DEM、△GBM是直角三角形，即有BD2=BM2+DM2，EG2=ME2+GM2，BG2=BM2+GM2，DE2=ME2+DM2，则有DE2+BG2=BD2+EG2，根据k=34，ABAD=EFEC=k，可得AD=8，EC=4，CG=3，即问题得解．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、B(−1,0)，C(0,3)，
∴9a+3b+c=0a−b+c=0c=3，
解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∵y=−(x−1)2+4，
∴顶点D的坐标为(1,4)；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(3,0)，C(0,3)代入y=kx+b，
得3k+b=0b=3，
∴k=−1b=3，
∴直线AC的解析式为y=−x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC=EF，AC//EF，
∵OA//FG，
∴∠OAC=∠GFE，
∴△OAC≌△GFE(AAS)，
∴OA=FG=3，
设F(m,−m2+2m+3)，则G(1,−m2+2m+3)，
∴FG=|m−1|=3，
∴m=−2或m=4，
当m=−2时，−m2+2m+3=−5，
∴F1(−2,−5)，
当m=4时，−m2+2m+3=−5，
∴F2(4,−5)
综上所述，满足条件点F的坐标为(−2,−5)或(4,−5)；
(3)由题意，M(1,−1)，F2(4,−5)，F1(−2,−5)关于对称轴直线x=1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2.则MH=4，HF2=3，MF2=5，
在Rt△MHF2中，sin∠HMF2=F2HMF2=F1HMF1=35，则在Rt△MPN中，sin∠PMN=PNPM=35，
∴PN=35PM，
∵PF1=PF2，
∴PF+35PM=PF2+PN=F1N为最小值，
∵S△MF1F2=12×6×4=12×5×F1N，
∴F1N=245，
∴PF+35PM的最小值为245．
∴5PF+3PM的最小值为24．
【解析】(1)利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
(2)过点F作FG⊥DE于点G，证明△OAC≌△GFE(AAS)，推出OA=FG=3，设F(m,−m2+2m+3)，则G(1,−m2+2m+3)，可得FG=|m−1|=3，推出m=−2或m=4，即可解决问题；
(3)由题意，M(1,−1)，F2(4,−5)，F1(−2,−5)关于对称轴直线x=1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2.则MH=4，HF2=3，MF2=5，证明PN=35PM，由PF2=PF1，推出PF+35PM=PF2+PN=FN1为最小值，即可求出最后结果．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2023年湖北省咸宁市咸安区中考数学调研试卷（5月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最大的数是( )
A. π B. 2 C. |−2| D. 3
2. 下列运算正确的是( )
A. (−a)2=−a2 B. 2a2−a2=2
C. a2⋅a=a3 D. (a−1)2=a2−1
3. 人口普查是一项由国家指导，各地政府逐户逐人进行的一次全项调查登记工作.根据第七次全国人口普查显示.我国人口已经达到141178万，将这个数据用科学记数法表示为( )
A. 1.41178×107 B. 1.41178×108 C. 1.41178×109 D. 1.41178×1010
4. 如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 将一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=48°，则∠2的度数为( )
A. 120°
B. 128°
C. 132°
D. 138°
6. 某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7.已知这组数据的平均数是5.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 4，5 B. 4，4 C. 5，4 D. 5，5
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交点P，作射线BP交AC于点D，若AC=2BC，则S△BCD：S△ABD的值为( )
A. 12
B. 55
C. 13
D. 35
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b，是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x=32时，对应的函数值y<0，有以下结论：①abc>0；②当x≤0时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根的，而且负实数根在12和0之间；④3m−n<−203.其中正确的结论是( )
A. ②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 式子 2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10. 化简| 2−1|+(−1)0=______．
11. 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，那么取出的鞋是同一双的概率是______ ．
12. 设m，n为关于x的方程x2+3x−2023=0的两个实数根，则m2+4m+n= ______ ．
13. 如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF//AB，则EF的长度为______ ．
14. 某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45°(点A，D与N在一条直线上)，则电池板离地面的高度MN的长为______ 米.(结果精确到1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)
15. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2…，第n个三角形数记为an，计算a2−a1，a3−a2，a4−a3，…由此推算a2023−a2022= ______ ．
16. 如图1，在矩形ABCD中，E为AB上一点(BE
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
先化简，再求值：x2+2x+1x÷(x−1x)，其中x= 2+1．
18. (本小题8.0分)
某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并到文教商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品．若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元．
(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元；
(2)若该学校决定购买甲、乙两种笔记本共80本，总费用不超过300元，那么该中学最多可以购买乙种笔记本多少本？
19. (本小题8.0分)
某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司的随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，(每组数据包括在右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次抽样调查的样本容量是______．
(2)补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．
(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
20. (本小题9.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
(1)求证：BF与⊙O相切；
(2)若AP=OP，sinA=35，AE=5，求CD的长．
21. (本小题9.0分)
如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,a)，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点C坐标为(−2,0)．
(1)k的值为______ ；
(2)求AB所在直线的解析式；
(3)直线AB与反比例函数y=kx(x>0)图象的另一交点为D，则△ACD的面积为______ ．
22. (本小题10.0分)
“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(0
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？
23. (本小题10.0分)
如图，已知四边形ABCD和四边形ECGF.连接BE，DG，直线BE交DG于M．
(1)如图1，若四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形.求证：BM⊥DG；
(2)如图2，若(1)中的两个正方形均为矩形，且满足ABAD=EFEC=k，且将四边形ECGF绕点C旋转到如图所示的位置．
①在图(2)中，(1)中的结论是仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
②若AB=6，EF=3，k=34，DE2+BG2= ______ .(直接写出结果)
24. (本小题12.0分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，其顶点为点D，连接AC．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求5PF+3PM的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−2|=2，
∵2<4，
∴ 2<2，
∴ 2<2<3<π，
∴最大的数是π，
故选：A．
C选项，−2的绝对值是2，所以这4个数都是正数，B选项， 2<2，即可得到最大的的数是π．
本题考查了实数的比较大小，知道 2<2是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.(−a)2=a2，故本选项不符合题意；
B.2a2−a2=a2，故本选项不符合题意；
C.a2⋅a=a3，故本选项符合题意；
D.(a−1)2=a2−2a+1，故本选项不符合题意；
故选：C．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：141178万=1411780000=1.41178×109，
故选：C．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数；确定n的值时，要把原数变成a，小数点移动几位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下，
故选：D．
根据左视图的意义，从左面看该组合体所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，明确从左面看该组合体所得到的图形的形状是正确判断的前提．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=48°，
∴∠3=90°−∠1=90°−48°=42°，
∴∠4=180°−42°=138°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠4=138°．
故选：D．
根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵这组数据的平均数是5，
∴4+4+5+5+x+6+77=5，
解得：x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
则众数为：4，
中位数为：5．
故选：A．
根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
本题考查了众数、算术平均数、中位数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】B
【解析】解：过D点作DG⊥AB于G点，如图，
根据作图可知：BP平分∠ABC，
∵DG⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DG，
∵在Rt△ABC中，AC=2BC，
∴AB= AC2+BC2= 5BC，
∴sinA=BCAB= 55，
∴在Rt△ADG中，sinA=DGAD= 55，
∵S△BCD：S△ABD=(12×CD×BC)：(12×AD×BC)，
∴S△BCD：S△ABD=CD：AD，
∵CD=DG，
∴S△BCD：S△ABD=DGAD=sinA= 55，
故选：B．
过D点作DG⊥AB于G点，根据角平分线的性质有CD=DG，在Rt△ABC中，AC=2BC，即有 AB= AC2+BC2= 5BC，则可得sinA=BCAB= 55，进而在Rt△ADG中，有sinA=DGAD= 55，再证明S△BCD：S△ABD=CD：AD，问题得解．
本题考查了作图—复杂作图、角平分线的性质、勾股定理，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当x=0时，c=2，
当x=1时，a+b+2=2，
∴a+b=0，
∴abc<0，
①错误；
∵x=0时，y=2，x=1时，y=2，
∴对称轴为：x=0+12=12，
∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x<12时，y随x的增大而增大，
∴当x≤0时，y随x的增大而增大，
②正确；
∵x=1时，y=2，x=32时，y<0，
∴抛物线与x轴的交点在1至32之间，
∵对称轴为x=12，
∴抛物线与x轴的另一个交点在−12至0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根，而且负实数根在12和0之间；
③正确；
∵−b2a=12，
∴b=−a，
∴y=ax2−ax+2，
∴m=n=2a+2，
∴3m−n=4a+4，
∵当x=32时，y=94a−32a+2<0，
∴a<−83，
∴m+n<−203，
④正确；
故选：C．
由x=0时，c=2，x=1时，a+b+2=2，得出a+b=0，即可判断①；求得对称轴和开口方向即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在−12至0之间，即可判断③；由对称轴公式得出b=−a，则y=ax2−ax+2，即可得出m=n=2a+2，得出3m−n=4a+4，由当x=32时，y=94a−32a+2<0，求得a<−83，即可得出m+n<−203，即可判断④．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．
9.【答案】x≤2
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】
解：依题意，得2−x≥0，
解得，x≤2．
故答案是：x≤2．
10.【答案】 2
【解析】解：原式= 2−1+1
= 2．
故答案为： 2．
直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
11.【答案】13
【解析】解：两双鞋用A、a、B、b表示，其中A、a表示同一双鞋，B、b表示同一双鞋，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果有4种，
∴取出的鞋是同一双的概率=412=13．
故答案为：13．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】2020
【解析】解：∵m是一元二次方程x2+3x−2023=0的一个实数根，
∴m2+3m−2023=0，
即m2+3m=2023．
由一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，
∴m2+4m+n=m2+3m+(m+n)=2023+(−3)=2020．
故答案为：2020．
先根据m是x2+3x−2023=0的一个实数根得出m2+3m−2023=0，利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13.【答案】2 3
【解析】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC=30°，
∴∠COE=60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF//AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE= 32×2= 3，
∵EF=2EM，
∴EF=2 3．
故答案为：2 3．
辅助线，连接OC与OE.根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF//AB，可知OC⊥EF，最后由三角函数和垂径定理可将EF的长求出．
本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．
14.【答案】8
【解析】解：延长BE交MN于点F，如图，
设MF=x米，
∵MN⊥AN，ED⊥AN，AB⊥AN，BE//AN，
∴∠FND=∠EDN=∠BAD=∠EBA=∠FED=90°，
∴四边形FNDE，四边形DEBA，四边形FNAB均为矩形，
∴NF=DE=AB=1.6米，EF=ND，BE=AD=3.5，
∵∠MEF=45°，∠MFE=90°，
∴EF=MF=x(米)，BF=x+3.5(米)，
在Rt△MBF中，tan∠MBF=MFBF，即tan33°=xx+3.5≈0.65，
解得x≈6.5(米)，
∴MN=x+1.6≈8.1(米)≈8(米)，
即电池板离地面的高度MN约为8米，
故答案为：8．
延长BE交MN于点F，设MF=x米，先说明四边形FNDE，四边形DEBA，四边形FNAB均为矩形，得出NF=DE=AB=1.6米，EF=ND，BE=AD=3.5，根据∠MEF=45°，得出EF=MF=x(米)，BF=x+3.5(米)利用锐角三角函数得出tan∠MBF=MFBF，即tan33°=xx+3.5≈0.65求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质，掌握解直角三角形的应用方法，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质是解题关键．
15.【答案】2023
【解析】解：a2−a1=3−1=2；
a3−a2=6−3=3；
a4−a3=10−6=4；
…；
∴an−an−1=n．
∴a2023−a2022=2023，
故答案为：2023．
根据计算可得规律：相邻两个数相减等于前面数的下标，从而可得a2023−a2022．
此题考查数字的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，再找出按照什么规律变化的，总结规律解决问题．
16.【答案】25
【解析】解：当t=0时，点P在B点处，PE+PC=y=BC+BE，
∴结合图象有：BC+BE=23，即BE=23−BC，
当点P在点E处时，PE+PC=y=EC，
如图，连接EC，
∴P1E+P1C≥EC，P2E+P2C≥EC，
∴可知当点P运动到E点时，y取最小值，
∴结合图象有：PE+PC=y=EC=17，
在Rt△BCE中，EC2=EB2+BC2，
∴172=(23−BC)2+BC2，
解得：BC=15或者BC=8，
∴BE=8或者BE=15，
∵BE
当t=a时点P运动到点D，过E点作EN⊥DC于点N，如图，
在矩形ABCD中，EN⊥DC，
∴四边形EBCN是矩形，
∴EN=BC=15，NC=BE=8，
∵结合图象有：PE+PC=y=CD+DE=33，
∴DN=33−DE−NC=25−DE，
在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，
∴DE2=(25−DE)2+152，
解得：DE=17，
∴DE+BE=17+8=25，
∵点P沿折线BED以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D，
∴当t=251=25=a时，点P运动到点D．
故答案为：25．
当t=0时，点P在B点处，可得BC+BE=23，当点P在点E处时，可知此时y取最小值，结合图象有：PE+PC=y=EC=17，在Rt△BCE中，EC2=EB2+BC2，即可求出BC=15，BE=8，当t=a时点P运动到点D，过E点作EN⊥DC于点N，结合图象有：PE+PC=y=CD+DE=33，在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，据此即可作答．
本题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解答本题的关键．
17.【答案】解：x2+2x+1x÷(x−1x)
=(x+1)2x÷x2−1x
=(x+1)2x⋅x(x+1)(x−1)
=x+1x−1，
当x= 2+1时，原式= 2+1+1 2+1−1=1+ 2．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：(1)设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元，
依题意得：20x+10y=11020y−30x=10，
解得：x=3y=5．
答：甲种笔记本的单价为3元，乙种笔记本的单价为5元．
(2)设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本(80−m)本，
依题意得：3(80−m)+5m≤300，
解得：m≤30．
答：该中学最多可以购买乙种笔记本30本．
【解析】(1)设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元，利用总价=单价×数量，结合“若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本(80−m)本，利用总价=单价×数量，结合总费用不超过300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19.【答案】解：
(1)100;
(2)用水15～20吨的户数：100−10−38−24−8=20(户)，
∴补充图如下：
“15吨～20吨”部分的圆心角的度数=360°×20100=72°，
答：扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数为72°．
(3)6×10+20+38100=4.08(万户)，
答：该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．
【解析】解：(1)∵10÷10%=100(户)，
∴样本容量是100；故答案为100．
(2)见答案．
(3)见答案．
(1)根据10～15吨部分的用户数和百分比进行计算；
(2)先根据频数分布直方图中的数据，求得“15吨～20吨”部分的用户数，再画图，最后根据该部分的用户数占比计算圆心角的度数；
(3)根据用水25吨以内的用户数的占比，求得该地区6万用户中用水全部享受基本价格的户数．
本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，解决问题的关键是在图中获取相关的数据进行计算求解．注意：扇形圆心角的度数=360°×该部分在总数中的百分比，扇形统计图可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系．此外，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
20.【答案】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC、△BED是直角三角形，
∵点F为DE的中点，
∴BF=12DE=DF=EF，
∴∠D=∠FBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PD⊥AC，
∴∠D+∠OCB=90°，
∴∠FBD+∠OBC=90°，
∴∠OBF=90°，即OB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
(2)解：∵在Rt△APE中，sinA=35，AE=5，
∴PE=AE×sinA=3，即AP= AE2−PE2=4，
∵AP=OP，
∴AP=OP=4，
∴OC=AO=8，即PC=PO+OC=12，
∵∠ABC=∠CPD=90°，∠ACB=∠PCD，
∴∠A=∠D，
∴sinD=sinA=35，
∴在Rt△PCD中，CD=PCsinD=1235=20，
即所求的值为20．
【解析】(1)根据点F为DE的中点，可得BF=12DE=DF=EF，即有∠D=∠FBD，根据OC=OB，可得∠OCB=∠OBC，由∠D+∠OCB=90°，可得∠FBD+∠OBC=90°，问题随之得证；
(2)在Rt△APE中，sinA=35，AE=5，可得PE=AE×sinA=3，即AP= AE2−PE2=4，进而可得OC=AO=8，即PC=PO+OC=12，再证明∠A=∠D，即有sinD=sinA=35，在Rt△PCD中，CD=PCsinD=1235=20．
本题考查了切线的证明，圆周角定理，勾股定理，直角三角形以及斜边的中线等于斜边的一半等知识，掌握切线的证明，圆周角定理，是解答本题的关键．
21.【答案】1 54
【解析】解：(1)∵正比例函数y=x的图象经过点A(1,a)，
∴a=1，
∴A(1,1)，
∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=1×1=1，
故答案为：1；
(2)作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，
∵A(1,1)，C(−2,0)，
∴AF=1，CO=2，
∵∠ACB=90°，CF=3，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
∠BCE=∠CAF∠BEC=∠CFA=90°CB=AC，
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴CE=AF=1，BE=CF=3，
∴B(−3,3)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴m+n=1−3m+n=3，解得m=−12n=32，
∴直线AB的解析式为y=−12x+32．
(3)联立两解析式，得y=1xy=−12x+32，
解得：x=2y=12，或x=1y=1，
∴直线AB于反比例函数的另一个交点D坐标(2,12)，
∵A(1,1)，
即AD= (12−1)2+(2−1)2= 52．
如图，作CH⊥AB于点H，
∵A(1,1)，C(−2,0)，
∴AC= (−2−1)2+(0−1)2= 10，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=45°，
∵CH⊥AB，
∴在△AHC中，CH=AC×sin45°= 5，
∴S△ACD=12×AD×CH=12× 52× 5=54，
故答案为：54．
(1)先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
(2)作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，通过证得△BCE≌△CAF，求得B(−3,3)，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(3)两个函数解析式联立，解方程组即可求出D点坐标，利用勾股定理可得AD= (12−1)2+(2−1)2= 52.作CH⊥AB于点H，利用勾股定理有AC= (−2−1)2+(0−1)2= 10，根据∠CAB=45°，可得CH=AC×sin45°= 5，即S△ACD=12×AD×CH=12× 52× 5=54．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，求得B的坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结合图象，分段计算，
当10≤x≤15时，P=40，
当0
∴b=2010k+b=40，解得b=20k=2，
即此时P=2x+20，
综上：P=2x+20(0
∵P=2x+20(0
当10≤x≤15时，W=−20x+520，
即W随着x的增大而减小，
∴当x=10时，W有最大值，最大值为W=320，
∵320<324，
∴当x=8时，W有最大值，最大值为W=324，
∴小王第8天创造的利润最大，最大利润是324元；
(3)根据题意可知：当W>288时，即可获得奖励，
当0
∵0
当10≤x≤15时，W>288，
即有：W=−20x+520>288，
解得：10≤x<11.6，
即此时可以获得奖励为：20×2=40(元)，
∵第10天重复计算，
∴总计获得的奖励为：160+40−20=180(元)．
【解析】(1)结合图象，分段计算，当10≤x≤15时，P=40，当0
本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键．
23.【答案】125
【解析】证明：(1)如图，直线BM交CD于N，
∵四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形，
∴CD=BC，EC=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠CBN+∠BNC=90°，∠BCD−∠ECD=∠ECG−∠ECD，
∴∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，
∵∠BNC=∠DNM，∠CBN+∠BNC=90°，
∴∠DNM+∠CDG=90°，
∴∠DMN=90°，
∴BM⊥DG；
解：(2)①成立，理由如下：
直线BM交CD于N，如图，
∵四边形ABCD和四边形ECGF均为矩形，
∴AD=BC，AB=CD，EF=CG，EC=FG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠CBM+∠BNC=90°，∠BCD+∠ECD=∠ECG+∠ECD，
∴∠BCE=∠DCG，
∵ABAD=EFEC=k，
∴CDBC=CGEC，
∴ECBC=CGCD，
∴△BCE∽△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，
∵∠CBM+∠BNC=90°，∠BNC=∠DNM，
∴∠CDG+∠DNM=90°，
∴∠DMN=90°，
∴BM⊥DG；
②连接BD，EG，如图，
∵BM⊥DG，
∴△BMD、△GEM、△DEM、△GBM是直角三角形，
∴BD2=BM2+DM2，EG2=ME2+GM2，BG2=BM2+GM2，DE2=ME2+DM2，
∴DE2+BG2=BD2+EG2，
∵AB=6，EF=3，k=34，ABAD=EFEC=k，
∴AD=8，EC=4，CG=3，
∵四边形ABCD和四边形ECGF均为矩形，
∴BD2=AD2+AB2=100，EG2=EC2+CG2=25，
∴DE2+BG2=BD2+EG2=125，
故答案为：125．
(1)直线BM交CD于N，证明△BCE≌△DCG，问题得解；
(2)①直线BM交CD于N，先证明∠BCE=∠DCG，再根据ABAD=EFEC=k，可得ECBC=CGCD，即有△BCE∽△DCG，问题得解；②连接BD，EG，根据BM⊥DG，可得△BMD、△GEM、△DEM、△GBM是直角三角形，即有BD2=BM2+DM2，EG2=ME2+GM2，BG2=BM2+GM2，DE2=ME2+DM2，则有DE2+BG2=BD2+EG2，根据k=34，ABAD=EFEC=k，可得AD=8，EC=4，CG=3，即问题得解．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、B(−1,0)，C(0,3)，
∴9a+3b+c=0a−b+c=0c=3，
解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∵y=−(x−1)2+4，
∴顶点D的坐标为(1,4)；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(3,0)，C(0,3)代入y=kx+b，
得3k+b=0b=3，
∴k=−1b=3，
∴直线AC的解析式为y=−x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC=EF，AC//EF，
∵OA//FG，
∴∠OAC=∠GFE，
∴△OAC≌△GFE(AAS)，
∴OA=FG=3，
设F(m,−m2+2m+3)，则G(1,−m2+2m+3)，
∴FG=|m−1|=3，
∴m=−2或m=4，
当m=−2时，−m2+2m+3=−5，
∴F1(−2,−5)，
当m=4时，−m2+2m+3=−5，
∴F2(4,−5)
综上所述，满足条件点F的坐标为(−2,−5)或(4,−5)；
(3)由题意，M(1,−1)，F2(4,−5)，F1(−2,−5)关于对称轴直线x=1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2.则MH=4，HF2=3，MF2=5，
在Rt△MHF2中，sin∠HMF2=F2HMF2=F1HMF1=35，则在Rt△MPN中，sin∠PMN=PNPM=35，
∴PN=35PM，
∵PF1=PF2，
∴PF+35PM=PF2+PN=F1N为最小值，
∵S△MF1F2=12×6×4=12×5×F1N，
∴F1N=245，
∴PF+35PM的最小值为245．
∴5PF+3PM的最小值为24．
【解析】(1)利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
(2)过点F作FG⊥DE于点G，证明△OAC≌△GFE(AAS)，推出OA=FG=3，设F(m,−m2+2m+3)，则G(1,−m2+2m+3)，可得FG=|m−1|=3，推出m=−2或m=4，即可解决问题；
(3)由题意，M(1,−1)，F2(4,−5)，F1(−2,−5)关于对称轴直线x=1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2.则MH=4，HF2=3，MF2=5，证明PN=35PM，由PF2=PF1，推出PF+35PM=PF2+PN=FN1为最小值，即可求出最后结果．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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