2023年湖北省天门市八校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省天门市八校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是(    )

A. 三棱柱
B. 正方体
C. 圆柱
D. 圆锥

3.  下列说法正确的是(    )

A. 为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B. 一组数据“，，，，，”的众数和平均数都是
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更稳定
D. “明天下雨概率为”，是指明天有一半的时间可能下雨

4.  一副直角三角尺按如图所示方式放置，点在的延长线上，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象经过(    )

A. 第一、二象限 B. 第二象限 C. 第三、四象限 D. 第三象限

8.  已知，是方程的两根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  由个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，都在格点上，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，是的中点，过点作和的垂线段，垂足分别为和，四边形沿着的方向匀速运动，点与点重合时停止运动设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  新冠病毒是一种新的亚属的冠状病毒，其平均直径为纳米米纳米，用科学记数法表示为        米

12.  我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各一直金几何？”译文问题：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问一头牛、一只羊一共值多少两银子？”则头牛、只羊一共值        两银子．

13.  已知点，都在反比例函数是常数的图象上，且，则的取值范围是        ．

14.  易经是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成线形为或，如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有根和根的概率为______．

15.  如图，是的弦，点是上一点，与点关于对称，交于点，交于点，交于点，且连接给出下面四个结论：；平分；平分；点为的内心其中，所有正确结论的序号是        ．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
化简：；
解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
 

17.  本小题分
尺规作图：按下列要求作出图形，不写作法，保留作图痕迹．
图是矩形，，分别是和的中点，以为边画一个菱形；
图是正方形，是上一点，以为边画一个菱形．

18.  本小题分
为保障学生的生命安全和心理健康，市政府开展“安全知识进校园”宣传活动为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取名学生进行了相关知识测试，将成绩成绩取整数分为“：分；：分；：分；：分及以下”四个等级进行统计，得到如图尚不完整的统计图表：
等级成绩的具体情况是：

根据图表提供的信息，解答下列问题：
请补全条形统计图；
等级成绩的中位数是        分；
假设全市有名学生都参加此次测试，若成绩在分以上含分为优秀，求全市成绩优秀的学生人数约有多少人．

19.  本小题分
小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度结果保留小数点后一位．
参考数据：，

20.  本小题分
如图，矩形的顶点，分别在函数和的图象上，且，：：．
求，的值；
若点，分别在和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得≌，若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件元，每周的销售量件与售价元件为正整数之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

求关于的函数关系式不求自变量的取值范围；
在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值．

23.  本小题分
如图，正方形的对角线，相交于点将绕点沿逆时针方向旋转得到，，分别交，于点，，连接交于点．
求证：是等腰直角三角形；∽；
在旋转过程中，探究线段，，的数量关系，并说明理由；
若，，求线段，的长度．

24.  本小题分
如图，函数的图象经过点，两点，，分别是方程的两个实数根，且．
求，的值以及函数的解析式；
设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，求证：∽；
对于中所求的函数；
当时，求函数的最大值和最小值；
设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在，，，这四个数中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据三视图可知，该立体图形是正方体，
故选：．
根据三视图直接判断即可．
本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握基本图形的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式，故A符合题意；
B、一组数据“，，，，，”的众数是和，平均数是，故B不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定，故C不符合题意；
D、“明天下雨概率为”，是指明天下雨的可能性是，故D不符合题意；
故选：．
根据概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
，
，
．
故选：．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用单项式乘多项式的法则，完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故选：．
设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

7.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象的顶点在第三象限，
二次函数的二次项系数小于，
二次函数的图象开口朝下，
二次函数的图象经过第三、四象限．
故选：．
根据图象可得，，以此可得到抛物线的顶点坐标在第三象限，再根据二次函数的二次系数即可判断函数图象经过的象限．
本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，根据一次函数的图象得出、的大小，以此确定出抛物线的顶点坐标所在象限是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程解的定义．
根据一元二次方程解的定义得到，，即，，根据根与系数的关系得到，然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【解答】
解：，是方程的两根，
，，，
，，





．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

设菱形的边长为，由题意得，，
，，
，
，
，
、、共线，
在中，．
故选：．
如图，连接、，先证明，、、共线，再根据，求出、即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：在直角三角形中，，，
是等腰直角三角形，
，，
四边形是矩形，
是的中点，
，，
，
四边形是正方形，
设正方形的边长为，
如图，当移动的距离时，正方形的面积的面积；
当移动的距离时，如图，，
关于的函数图象大致为选项，
故选：．
根据已知条件得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，设正方形的边长为，当移动的距离时，如图，正方形的面积的面积；当移动的距离时，如图，，根据函数关系式即可得到结论．
本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能考虑到点在三角形的内部和外部两种情况．
 

11.【答案】 

【解析】解：米纳米，
纳米米，
米米．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
根据题意得：，
得：，
头牛、只羊一共值两银子．
故答案为：．
设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，可得出关于，的二元一次方程组，利用，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由反比例函数为常数可知图象位于一、三象限，随的增大而减小．
点，在反比例函数常数的图象上，且，
点，不在同一象限，则点第一象限，点在第三象限．
，
．
故答案为：．
由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦中恰有根和根的基本事件个数，
这一卦中恰有根和根的概率为；
故答案为：．
从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦中恰有根和根的基本事件个数，由概率公式即可得出答案．
本题考查了概率公式；熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，
点与关于对称，
垂直平分，
故正确，错误；
，，
，
，，
，
平分，
同理，平分，
平分，
点为的内心，
故正确，
故答案为：．
连接、，根据轴对称的性质得垂直平分，可知正确，错误；再利用等腰三角形的性质和圆周角定理可知平分，同理，平分，进而判断正确．
本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内心的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】解：



；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为：，
在数轴表示为：
． 

【解析】先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，再把除法转为乘法，最后约分即可；
利用解一元一次不等式组的方法进行求解，最后在数轴上表示出解集即可．
本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】解：如下图：

菱形即为所求；
菱形即为所求． 

【解析】根据矩形的中点四边形是菱形作图；
根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形作图．
本题考查复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：的人数为：，
补全条形统计图如右图所示：
等级共有名学生，按照从小到大的顺序排列是
、、、、、、、、、、、、，
这组数据为中位数是．
故答案为：．
人，
答：该校成绩优秀的学生人数约有人．
用总人数减去、、三组的人数和即可得出组的人数，然后补全条形统计图即可；
组共有人，把数据按照从小到大从大到小的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
用乘以分以上的人数所占的比例即可得出人数．
本题主要考查的是条形统计图，解题的关键是掌握中位数的概念以及掌握用样本估计总体的方法．
 

19.【答案】解：过点作于点，

则，，三点共线，米，米，
设米，则米，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
米，
米．
答：旗杆的高度约为米． 

【解析】过点作于点，则，，三点共线，米，米，设米，则米，在中，，，解得，在中，，，解得，则米，根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：将点的坐标代入得：；
过点作轴于点，过点作轴于点，

四边形为矩形，则，
，，
，
，
∽，
：：，则和得相似比为：：，
则，，
故点，
将点的坐标代入并解得：，

由知，两个反比例函数的表达式分别为：、，
假设存在点、符合题设条件，
设点，点，如下图：

由知，
，即，
即不合题意值已舍去；
≌，
，，
即且，
解得：且不合题意值已舍去；
则，
故存在符合题设要求的点、，它们的坐标分别为、． 

【解析】利用∽，得到，，即，进而求解；
假设存在点、符合题设条件，则需要满足，利用≌，得到且满足，进而求解．
本题考查了反比例函数综合应用，涉及到三角形全等、反比例函数的基本性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，综合性强，难度适中．
 

21.【答案】证明：为的切线，
，
，
为直径，
，
，
，
，，
，
；
解：连接，如图，设的半径为，则，，
，
，
在中，，
在中，，
解得，
，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
即的长为． 

【解析】先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，再利用平行线的性质得到，接着利用等角的余角相等得到，然后根据平行线的判定方法得到结论；
连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，在中利用勾股定理得到，解方程得到，然后证明∽，最后利用相似比计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理．
 

22.【答案】解：设和的函数表达式为，
则，
解得，
故和的函数表达式为；
设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
由题意得：，
解得，
则，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元；
根据题意得，，
对称轴为直线，
，
当时，随的增大而增大，
对称轴，大于等于，则对称轴大于等于，由于取整数，
实际上是二次函数的离散整数点，取，，时利润一直增大，
只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于就可以了，
故，
解得，
，
． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，根据函数的性质即可求解；
根据题意得，，则对称轴为直线，进而求解．
本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
 

23.【答案】证明：正方形的对角线，相交于点，
，，
，，
由旋转可知，，
，
≌，
，
是等腰直角三角形；
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∽；
解：，理由如下：
，，
∽，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
解：过作交于点，延长，，相交于点，

则∽，，
，
，
设，则，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，∽，
，
，
，
，，，，
，
，
，
∽，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
根据相似三角形的判定解答即可；
根据相似三角形的判定和性质解答即可；
过作交于点，延长，，相交于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答．
 

24.【答案】解：，分别是方程的两个实数根，且，
，，
，，
把，代入，
得：，
解得：，
函数的解析式；
证明：令，得，
解得：，，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，，
，，，
，
，，
∽；
解：抛物线的对称轴为直线，顶点为，
在范围内，当时，；当时，；
当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，
当时取得最小值，当最大值，
令，即，解得．
当时，此时，，不合题意，舍去；
当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，即时，
此时，令，即解得：舍，舍；
或者，即不合题意，舍去，舍；
 当时，此时，，不合题意，舍去；
当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，即时，
当时取得最大值，最小值，
令，解得．
综上，或． 

【解析】解一元二次方程即可得出，，运用待定系数法即可求得函数的解析式；
利用勾股定理或两点间距离公式可得：，，，运用勾股定理逆定理可证得，再由，，即可证得∽；
分种情况：当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧；当时；当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，因为两点的横坐标的距离为，所以距离大于的值要舍去；当时，函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线的顶点公式，利用函数的性质确定函数的极值，解一元二次方程，抛物线上点坐标的特征，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．