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    2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学质检试卷(4月份)(含解析)
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    2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学质检试卷(4月份)(含解析)

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    这是一份2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学质检试卷(4月份)(含解析),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 23的相反数为( )
    A. −23B. 32C. −32D. ±23
    2. 中国空间站“天宫一号”运行在距离地球平均高度约375000米处,数375000用科学记数法表示是( )
    A. 1.375×103B. 37.5×104C. 3.75×105D. 0.375×106
    3. 如图,直线l1//l2,直线l与l1,l2相交,若图中∠1=60°,则∠2为( )
    A. 30°
    B. 40°
    C. 50°
    D. 60°
    4. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )
    A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥
    5. 平面直角坐标系中,若点A(−1,a)与点B(b,3)关于x轴对称,则点C(a,b)在( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    6. 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,∠C=50°,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,则∠BAD的度数是( )
    A. 80°
    B. 85°
    C. 90°
    D. 95°
    7. 如图,Rt△ABC中,∠B=90°,以C为圆心适当长为半径画弧,分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧交于点P,作射线CP交AB于点D,已知BD=3,AC=8,则△ACD的面积为( )
    A. 12B. 24C. 16D. 8
    8. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1,与x轴的一个交点为A(m,0),00;②4a+c>0;③若t为任意实数,则有a−bt≤at2+b;④当此抛物线经过点(12,2)时,方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1,x2(x1A. ①②③B. ②③C. ③④D. ②③④
    二、填空题(本大题共8小题,共24.0分)
    9. 计算:|−3|−(12)0=______.
    10. 试写出一个x值使得二次根式 x−4有意义:x= ______ .
    11. 为了促进“双减”政策有效落实,市教育局对启智中学八年级学生的课外作业时长进行了问卷调查,50名学生的作业时长统计如下表,这组作业时长数据中,中位数是______ .
    12. 已知x1,x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两个实数根,则x1+x2+3x1x2= ______ .
    13. 如图,正方形ABCD的对角线交于点O,AB=2 2,现有半径足够大的扇形OEF,∠EOF=90°,当扇形OEF绕点O转动时,扇形OEF和正方形ABCD重叠部分的面积为______ .
    14. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经过测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则CD的长为 米.(结果保留根号)
    15. 我国南宋著名数学家杨辉精研数学,著有《详解九章算法》,对数的运算进行了深入研究与总结.类比其中的思想方法,可以解决很多数与式的计算问题.现已知a,b为实数,且a+b=3,ab=1,计算可得:a2+b2=7,a3+b3=18,a4+b4=47,…,由此求得a5+b5= ______ .
    16. 已知平面直角坐标系中两定点C(0,4),K(6,0),A为线段OK上一动点.连接AC,取AC,中点为D,将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AB,连接BK,当BK取最小值时,B点坐标为______ .
    三、解答题(本大题共8小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题6.0分)
    计算:x+4x2+3x−13x+x2.
    18. (本小题8.0分)
    “巩固脱贫攻坚成果,拓展乡村振兴教育赛道”,某农民企业家计划为崇礼中学购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.
    (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?
    (2)该企业家计划购买甲种词典和乙种词典共300本,总费用不超过16000元,那么最多可购买甲种词典多少本?
    19. (本小题8.0分)
    学生在体育锻炼中能享受乐趣,增强体质,健全人格,锤炼意志.尚美中学开展了“一人一球”的体育选考活动,学生根据自己的特长选择一门球类项目(A:篮球,B:足球,C:排球,D:羽毛球,E:乒乓球),刘老师组织数学兴趣小组随机对该校部分学生的选考情况进行调查,根据收集到的数据制成了两幅不完整的统计图(如图所示):

    (1)兴趣小组调查的学生人数是______ 人,请将条形统计图补充完整;
    (2)扇形统计图中A类所对应的扇形圆心角大小为______ ;
    (3)现有4名学生,2人选篮球,1人选足球,1人选排球,兴趣小组要从这4人中任选2人了解他们对体育选考的看法,请用列表或圆树状图的方法求出所选2人都选篮球的概率.
    20. (本小题8.0分)
    如图,直线AF与⊙O相切于点A,弦BC//AF,连接BO并延长交⊙O于点E,连接CE并延长交AF于点D.
    (1)求证:CE//OA;
    (2)若⊙O的半径r=10,BC=16,求DE的长.
    21. (本小题8.0分)
    如图,一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(−2,3),点B的横坐标为6.
    (1)求这两个函数的解析式;
    (2)根据图象,直接写出满足k1x+b−k2x>0的x的取值范围;
    (3)连接OA,OB,点P在直线AB上,S△AOP=14S△BOP,请直接写出满足题意的P点坐标.
    22. (本小题10.0分)
    某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜,已知甲种蔬菜的单价y(元/千克)与采购量x(千克)之间的函数关系如图中折线AB−BC−CD所示(不包括端点A).
    (1)当100(2)若甲种蔬菜的种植成本为4元/千克,采购量不超过200千克,那么当采购量是多少时,蔬菜种植基地获利最大,最大利润是多少元?
    (3)在(2)的条件下,求采购甲种蔬菜多少千克时,蔬菜种植基地能获利418元?
    23. (本小题11.0分)
    如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,点E为线段BC上一点,将△DEF绕点E旋转时,线段DE与AB交于点P,线段EF与直线CA交于点Q.

    (1)如图①,点Q在线段AC上且BP=CE时,求证:△BPE≌△CEQ;
    (2)如图②,点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;
    (3)如图③,点Q在线段CA的延长线上,若BEBC=13,BP=23a,CQ=83a,求P,Q两点间的距离.(用含a的代数式表示
    )
    24. (本小题13.0分)
    如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点,与y轴负半轴交于点C,且OC=4OB,点P是直线AC下方抛物线上一动点.
    (1)请直接写出a= ______ ,b= ______ ,c= ______ ,cs∠BAC= ______ ;
    (2)过点P作PQ//y轴交直线AC于点Q,求PQ+35AQ的最大值及此时P点的坐标;
    (3)若点P横坐标为−32,D为第一象限内抛物线上一点,连接PD交AC于点M,当△ADM与△APM面积之比为409时,求点M的坐标.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】解:23的相反数为:−23,
    故选:A.
    根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫互为相反数,直接计算即可得到答案;
    本题考查相反数的定义:只有符号不同的两个数叫互为相反数.
    2.【答案】C
    【解析】解:375000=3.75×105,
    故选:C.
    科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
    此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
    3.【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据两直线平行,内错角相等,即可求得结果.
    【解答】
    解:∵l1//l2,
    ∴∠1=∠2,
    ∵∠1=60°,
    ∴∠2=60°.
    故选:D.
    【点评】
    本题考查了平行线的性质,关键是熟记平行线的性质.
    4.【答案】D
    【解析】解:由几何体的三视图可得该几何体是圆锥,
    故选:D.
    根据几何体的三视图分析解答即可.
    此题考查由三视图判断几何体,关键是根据圆锥的三视图解答.
    5.【答案】C
    【解析】解:∵点A(−1,a)与点B(b,3)关于x轴对称,
    ∴b=−1,a=−3,
    ∴C(−3,−1),
    ∴点C在第三象限.
    故选:C.
    根据关于x轴对称的点坐标特点解答即可.
    本题考查的是关于x轴对称的点的坐标,熟知关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标互为相反数是解题的关键.
    6.【答案】B
    【解析】解:∵AC是⊙O的直径,
    ∴∠ABC=90°,
    ∵∠C=50°,
    ∴∠BAC=40°,
    ∵∠ABC的平分线是BD,
    ∴∠CBD=45°,
    ∵∠CBD=∠CAD,
    ∴∠CAD=45°,
    ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°.
    故选B.
    根据AC是⊙O的直径,∠C=50°,先求得∠BAC=40°,再根据∠ABC的平分线是BD,∠CBD=45°,由圆周角定理得∠CBD=∠CAD,从而得出答案.
    本题考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角等于90度、角平分线的定义,要熟练掌握.
    7.【答案】A
    【解析】解:过点D作DH⊥AC于点H.

    ∵CP平分∠BCA,DB⊥BC,DH⊥CA,
    ∴DH=DB=3,
    ∴S△ACD=12⋅AC⋅DH=12×8×3=12,
    故选:A.
    过点D作DH⊥AC于点H.利用角平分线的性质定理证明DH=DB=3,再利用三角形面积公式求解.
    本题考查作图−基本作图,三角形的面积,角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.
    8.【答案】B
    【解析】解:①∵a>0,抛物线的对称轴为直线x=−1,
    即−b2a=−1,
    ∴b=2a>0,
    ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
    ∴c<0,
    ∴abc<0,所以①错误;
    ②∵x=1时,y>0,
    ∴a+b+c>0,
    而b=2a,
    ∴3a+c>0,
    ∵a>0,
    ∴4a+c>0,所以②正确;
    ③∵x=−1时,y有最小值,
    ∴a−b+c≤at2+bt+c(t为任意实数),
    即a−bt≤at2+b,所以③正确;
    ④∵图象经过点(12,2)时,方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1,x2(x1∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(12,2),
    ∵抛物线的对称轴为直线x=−1,
    ∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为(−52,2),
    即x1=−52,x2=12,
    ∴x1+2x2=−52+2×12=−32,所以④错误.
    故选:B.
    利用抛物线的对称轴方程得到b=2a>0,利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0,则可对①进行判断;
    利用x=1时得到a+b+c>0,把b=2a代入得到3a+c>0,然后利用a>0可对②进行判断;
    利用二次函数当x=−1时有最小值可对③进行判断;
    由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(12,2),利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为(−52,2),从而得到x1=−52,x2=12,则可对④进行判断.
    本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定:Δ=b2−4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2−4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2−4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
    9.【答案】2
    【解析】解:原式=3−1
    =2.
    故答案为:2.
    根据绝对值,零指数幂计算即可.
    本题考查了零指数幂,绝对值,掌握a0=1(a≠0)是解题的关键.
    10.【答案】5(答案不唯一)
    【解析】解:∵二次根式 x−4有意义,
    ∴x−4≥0,解得:x≥4.
    故答案为:5(答案不唯一).
    根据二次根式有意义条件:被开方式大于或等于0,直接计算即可得到答案.
    本题考查二次根式有意义条件,熟知二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键.
    11.【答案】65
    【解析】解:∵共有50人,25人作业时间是第60分钟,第26人作业时间是70分钟,
    ∴中位数是:60+702=65,
    故答案为:65.
    根据中位数的求法得到50人的中位数是第25、26人的平均数,而第25人作业时间是60分钟,第26人作业时间是70分钟,即可解答.
    本题考查了中位数的定义,熟记中位数的定义是解题的关键.
    12.【答案】−13
    【解析】解:∵x1,x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两个实数根,
    ∴x1x2=−51=−5,x1+x2=−−21=2,
    ∴x1+x2+3x1x2=2+3×(−5)=−13.
    故答案为:−13.
    根据根与系数关系直接求解即可得到答案.
    本题考查一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握x1+x2=−ba,x1x2=ca.
    13.【答案】2
    【解析】解:∵四边形ABCD为正方形,
    ∴∠OAG=∠OBH=45°,OA=OB,∠AOB=90°,
    由题意得:∠GOH=90°,
    ∴∠AOG=∠BOH;
    在△AOG与△BOH中,
    ∠AOG=∠BOHOA=OB∠OAG=∠OBH,
    ∴△AOG≌△BOH(ASA),
    ∴扇形OEF和正方形ABCD重叠部分的面积=S△AOB=14S正方形ABCD=14×AB2=14×(2 2)2=2.
    故答案为:2.
    根据四边形ABCD为正方形,得到∠OAG=∠OBH=45°,OA=OB,∠AOB=90°;推出△AOG≌△BOH,于是得到结论.
    本题考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
    14.【答案】(4 3−4)
    【解析】
    【分析】
    在Rt△CMB中求出CM,在Rt△ADM中求出DM即可解决问题.
    本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.
    【解答】
    解:在Rt△CMB中,
    ∵∠CMB=90°,MB=AM+AB=12米,∠MBC=30°,
    ∴CM=MB⋅tan30°=12× 33=4 3米,
    在Rt△ADM中,
    ∵∠AMD=90°,∠MAD=45°,
    ∴∠MAD=∠MDA=45°,
    ∴MD=AM=4米,
    ∴CD=CM−DM=(4 3−4)米,
    故答案为:(4 3−4).
    15.【答案】123
    【解析】解:∵a4+b4=47,a+b=3,
    ∴(a4+b4)(a+b)=47×3=141,
    ∴a5+ab4+ba4+b5=141,
    ∴a5+b5=141−ab4−ba4=141−ab(a3+b3)=141−1×18=123,
    故答案为:123.
    先根据题意求出(a4+b4)(a+b)=141,进而推出a5+b5=141−ab(a3+b3),由此代值计算即可.
    本题主要考查了多项式乘以多项式,因式分解的应用,正确推出a5+b5=141−ab(a3+b3)是解题的关键.
    16.【答案】(265,85)
    【解析】解:设A(x,0),
    则D(x2,2),B(x+2,x2),
    ∴BK= (6−x−2)2+(x2)2= 54x2−8x+16= 54(x−165)2+165,
    ∴当x=165时,BK有最小值,
    此时B(265,85),
    故答案为:(265,85).
    设A(x,0),根据题意得出D点和B点的坐标,利用勾股定理求出BK的式子,根据完全平方公式得出BK最小时的x值,然后得出结论即可.
    本题主要考查坐标与图形的变化,完全平方公式等知识,熟练掌握标与图形的变化,完全平方公式等知识是解题的关键.
    17.【答案】解:x+4x2+3x−13x+x2
    =x+4−1x2+3x
    =x+3x(x+3)
    =1x.
    【解析】先将原分式的分母分解因式,然后相加,再化简即可,最后将x的值代入化简后的式子计算即可.
    本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式的减法的运算法则.
    18.【答案】解:(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,
    依题意,得:x+2y=1702x+3y=290,
    解得:x=70y=50.
    答:每本甲种词典的价格为70元,每本乙种词典的价格为50元.
    (2)设企业家购买甲种词典m本,则购买乙种词典(300−m)本,
    依题意,得:70m+50(300−m)≤16000.
    解得:m≤50.
    答:企业家最多可购买甲种词典50本.
    【解析】(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
    (2)设学校购买甲种词典m本,则购买乙种词典(300−m)本,根据总价=单价×数量结合总费用不超过16000元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
    本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
    19.【答案】50 72°
    【解析】解:(1)兴趣小组调查的学生人数为:10÷20%=50(人),
    故答案为:50;
    选择羽毛球的人数为:50−10−4−16−8=12(人).
    条形统计图补充如下:

    (2)扇形统计图中A类所对应的扇形圆心角为360°×20%=72°;
    故答案为:72°;
    (3)画树状图为:

    共有12种等可能的结果,其中所选2人都是选考篮球的有2种,
    ∴P(所选2人都是选考篮球)=212=16.
    (1)将A组频数除以A类所占百分比即可得到答案;
    将兴趣小组调查的学生人数减去A、B、C、E类的学生数,得D组学生数,再将条形统计图补充完整即可;
    (2)将A类所占百分比乘以360°,即得扇形统计图中A类所对应的扇形圆心角大小;
    (3)利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果,从中找出2人都选篮球的结果数,再按照等可能事件概率公式求出概率即可.
    本题考查条形统计图,扇形统计图,用列表法或树状图法求等可能事件的概率,能从统计图中获取有用信息,熟悉列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键.
    20.【答案】(1)证明:∵BE是⊙O的直径,
    ∴∠BCE=90°,
    ∵BC//AF,
    ∴∠CDF=∠ACE=90°,
    ∵AF与⊙O相切于点A,
    ∴OA⊥AF,
    ∴∠OAF=90°,
    ∴∠OAF=∠CDF,
    ∴CE//OA;
    (2)解:作OH⊥CE于点H,

    ∴CH=EH.
    ∵OB=OE,
    ∴OH是△ECB的中位线.
    ∴OH=12BC=12×16=8,
    在Rt△OEH中:
    EH= OE2−OH2= 102−82=6,
    ∵OH⊥CE,
    ∴∠OHD=∠CDA=∠OAD=90°,
    ∴四边形OADH是矩形,
    ∴DH=OA=10,
    ∴DE=DH−EH=4.
    【解析】(1)根据平行线的性质和切线的性质定理即可得到结论;
    (2)根据勾股定理、三角形中位线定理和矩形的判定与性质即可得到结论.
    本题考查了切线的性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理、三角形中位线定理,矩形的判定与性质,平行线的性质,综合运用以上知识是解题的关键.
    21.【答案】解:(1)∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象相交于A(−2,3),
    ∴−2k1+b=3,3=k2−2,
    ∴k2=−2×3=−6,3=−2k1+b①,
    ∴反比例函数的解析式为y=−6x,
    ∵点B的横坐标为6,
    ∴点B(6,−1),
    ∴−1=6k1+b②,
    ①−②得:k1=−12,
    ∴b=2,
    ∴一次函数的解析式为y=−12x+2;
    (2)由图象可得:
    当x<−2或00,
    此时一次函数图象在反比例函数图象的上方;
    (3)设直线y=−12x+2与y轴交于点C,当x=0时,y=2,即C(0,2),
    ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×6=8,S△AOC=12×2×2=2,
    分两种情况:
    ①如图1,当点P在线段AB上时,

    ∵S△AOP=14S△BOP,
    ∴S△AOP=15×8=85,S△POC=2−85=25,
    ∴12×2×|xP|=25,
    ∴xP=−25,
    ∴点P的坐标为(−25,115);
    ②如图2,当点P在线段BA的延长线上时,

    ∵S△AOP=14S△BOP,
    ∴S△AOP=13×8=83,S△POC=2+83=143,
    ∴12×2×|xP|=143,
    ∴xP=−143,
    ∴点P的坐标为(−143,133);
    综上所述,点P的坐标为(−25,115)或(−143,133).
    【解析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式,可求反比例函数解析式,得到点B的坐标,将A点,B点坐标代入一次函数解析式即可解答;
    (2)利用函数图象可直接解答;
    (3)根据S△AOP=14S△BOP,即可点P的坐标,再根据一次函数的解析式即可解答.
    本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象交点问题,熟练运用图象上点的坐标满足的图象是解题的关键.
    22.【答案】解:(1)设当100把B(100,8),C(200,6)代入函数关系式得:100k+b=8200k+b=6,
    解得k=−150b=10,
    ∴y与x之间的函数解析式为:y=−150x+10(100(2)设当采购量是x千克时,蔬菜种植基地获利W元,
    当0∴当x=100时,W有最大值400元,
    当100∵400<450,−150<0,
    ∴当x=150时,W有最大值为450元,
    综上所述,当采购甲种蔬菜150千克时,蔬菜种植基地能获得最大利润,最大利润为450元;
    (3)由400<418<450,根据(2)可得,−150(x−150)2+450=418,
    解得:x1=110,x2=190,
    ∴采购甲种蔬菜是110千克或190千克时,蔬菜种植基地能获利418元.
    【解析】(1)设当100(2)设当采购量是x千克时,蔬菜种植基地获利W元,分别求得当0(3)由400<418<450,根据(2)可得,−150(x−150)2+450=418,解方程即可求解.
    本题考查了一次函数与二次函数的应用,一元二次方程的应用,根据题意列出函数关系式是解题的关键.
    23.【答案】(1)证明:∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形.
    ∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
    ∵∠BEQ=∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
    ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
    ∴∠BEP=∠EQC.
    ∵BP=CE,
    ∴△BPE≌△CEQ(AAS).
    (2)证明:∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
    即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
    ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
    ∴∠BEP=∠EQC,
    又∵∠B=∠C,
    ∴△BPE∽△CEQ;
    (3)解:由(2)得△BPE∽△CEQ,
    ∴BPCE=BECQ,
    ∴23a2BE=BE83a,
    解得:BE=2 23a,
    ∴BC=2 2a,
    ∴AB=AC= 22BC=2a,
    ∴AQ=CQ−AC=83a−2a=23a,AP=AB−BP=2a−23a=43a,
    在Rt△APQ中,PQ= AQ2+AP2= (23a)2+(43a)2=2 53a.
    ∴P,Q两点间的距离为2 53a.
    【解析】(1)根据三角形外角的性质得∠BEP=∠EQC.再根据AAS即可证明结论;
    (2)由(1)同理得,∠BEP=∠EQC,根据两个角相等即可证明△BPE∽△CEQ;
    (3)由(2)知△BPE∽△CEQ,可得BE、BC的长,进而表示出AP和AQ的长,利用勾股定理可得答案.
    本题主要考查了等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键.
    24.【答案】43 83 −4 35
    【解析】解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x−1),
    ∵OC=4OB=4,
    ∴c=−4,
    又∵y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3),
    ∴−3a=−4,
    解得:a=43,
    ∴抛物线的解析式为:y=43x2+83x−4,
    ∵OA=3,OC=4,
    ∴AC= OA2+OC2= 32+42=5,
    ∴cs∠BAC=35;
    故答案为:43,83,−4,35;
    (2)过点Q作QH⊥x轴于点H,则AH=35AQ,

    设直线AC的解析式为:y=mx+n,
    代入得−3m+n=0n=−4,
    解得:m=−43n=−4,
    ∴y=−43x−4,
    设点P(x,43x2+83x−4),则点Q(x,−43x−4),
    则PQ+35AQ=PQ+AH=−43x−4−(43x2+83x−4)+x+3=−43x2−3x+3=−43(x+98)2+7516
    ∵−43<0,
    ∴PQ+35AQ有最大值.
    ∴当x=−98时,PQ+35AQ的最大值为7516,此时点P(−98,−8516);
    (3)分别过点D,P作DG,PF平行于y轴交直线AC于点G、F,

    ∵xP=−32,
    ∴P(−32,−5),xF=−32,F(−32,−2),PF=3,
    又S△ADMS△APM=DMPM=DGPF=409,
    ∴DG=403,
    设xD=x0,则xG=x0,D(x0,43x02+83x0−4),G(x0,−43x0−4),
    ∴DG=43x02+83x0−4+43x0+4=43x02+4x0=403,
    解得x0=−5(舍)或x0=2,即D(2,203),
    ∵D(2,203),P(−32,−5),
    则DP的解析式为:y=103x,
    联立两直线方程y=−43x−4y=103,
    则x=−67y=−207,
    ∴M(−67,−207).
    综上,点M的坐标为(−67,−207).
    (1)先利用待定系数法求出抛物线的解析式,然后解直角三角形求出余弦值即可;
    (2)过点Q作QH⊥x轴于点H,根据(1)可知AH=35AQ,然后求出直线AC的解析式,设点P(x,43x2+83x−4),则点Q(x,−43x−4),表示PQ+35AQ的函数求最大值即可解题;
    (3)分别过点D,P作DG,PF平行于y轴交直线AC于点G、F,根据相似三角形的性质求出DG=403,设xD=x0,则xG=x0,D(x0,43x02+83x0−4),G(x0,−43x0−4),即可求出D(2,203),进而得到直线DP的解析式,然后解方程组求出点M的坐标.
    本题考查待定系数法求函数的解析式,解直角三角形,相似三角形,勾股定理,二次函数图象的性质,综合性强,难度大,掌握待定系数法是解题的关键.
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