2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．若直线x+ny+3=0与直线nx+9y+9=0平行，则实数n的值为（    ）

A．3 B．-3 C．1或3 D．3或-3

【答案】B

【分析】根据两直线平行的公式求解即可.

【详解】由题意知，且，故.

故选：B

2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.

【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，

所以所求圆的方程为.

故选：B

3．已知，则直线通过（    ）象限

A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四

【答案】A

【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.

【详解】由题意，直线，因为，所以，

所以直线过第一、二、三象限.

故选：A.

4．如图，在四面体中，，，，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由平面向量的线性运算求解．

【详解】连接，因为，所以，

因为，所以，

所以．

故选：C．

5．过点（2，－3）、斜率为的直线在y轴上的截距为（    ）

A．2 B．－2 C．4 D．－4

【答案】B

【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案.

【详解】由题意得直线方程为，令x=0，解得y＝－2．

故选：B．

6．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．

【详解】由解得，故两直线交点为(－1，2)，

故直线方程是：，即．

故选：A．

7．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围

【详解】直线恒过的定点，.

当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.

当时，直线的斜率为，则，

解得或，综上，.

故选：C

8．已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（    ）

A．若，则直线平面

B．若，则直线平面

C．若，则直线平面

D．若，则直线平面

【答案】A

【分析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.

【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则，,，，，，,则，，，，，,

当时，，

设平面的法向量为，

则取，则，，

则为平面的一个法向量，因为，所以，又因为平面，所以直线平面，故A正确，B不正确．

当时，，

设平面的一个法向量为，

则，取则，，

则为平面的一个法向量，

因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；

当时，，

因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确．

故选：A．

二、多选题

9．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（    ）

A．当时，直线l与直线垂直

B．若直线l与直线平行，则

C．直线l过定点

D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；

对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；

对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；

对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.

【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；

对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；

对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；

对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.

故选：AC.

10．已知空间向量，，则下列选项正确的为（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BCD

【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；

对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.

【详解】向量，

对于A. 若，则，所以，故此选项错误；

对于B. 若，，则，故此选项正确；

对于C. 若，则，则，故此选项正确；

对于D. 若，则，所以，故此选项正确；

故答案为：BCD

11．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.

【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），

则，解得a＝0或a＝1，

∴所求圆的方程为或,

故选：AD．

12． 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）

A． 异面直线与所成角的余弦值为

B．

C． 四面体的外接球体积为

D． 平面截正方体所得的截面是四边形

【答案】BC

【分析】利用坐标法可判断AB，利用正方体的性质可判断CD.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则，

∴，，

∴，A错误；

∴，，，∴，B正确；

由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，

所以外接球半径满足，，∴，C正确；

延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，

则五边形为平面截正方体所得的截面，D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．

【答案】垂直或

【分析】由题意可得与共线，从而可得答案

【详解】因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，

所以与共线，，

所以直线l与平面的位置关系为垂直，

故答案为：垂直或

14．若方程x+y+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____

【答案】4

【详解】方程x+y+Dx+Ey+F=0配方得根据条件得：解得

15．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______．

【答案】

【分析】设，由题意得到的几何意义为点到两定点与的距离，求出点关于轴的对称点为，转化为求的最小值即可.

【详解】设，

则，

∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和．

如图所示：

设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）．

则，

要求的最小值，即求的最小值，

 又，即的最小值为．

故答案为：.

16．若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为___________.

【答案】或

【分析】设圆心到直线的距离为，由题意有，

利用点到直线距离公式列出等式即可求解.

【详解】圆，即，

所以圆C的圆心坐标为，半径，

因为圆上到直线距离等于的点恰有3个，

设圆心到直线的距离为，则，

即，解得或，

故答案为：或.

四、解答题

17．已知空间中三点的坐标分别为，，，且，．

(1)求向量与夹角的余弦值；

(2)若与互相垂直，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；

（2）表示出与的坐标，根据与互相垂直可得关于k的方程，即可求得答案.

【详解】（1），，

所以．

（2）因为，，且与互相垂直，

所以，解得．

18．直线过点.

(1)若直线与直线平行，求直线的方程；

(2)若点到直线的距离为1，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设出直线的方程，利用待定系数法求得正确答案.

（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合到直线的距离来求得直线的方程.

【详解】（1）设直线方程为

将代入得，

所求直线方程是

（2）若直线的斜率不存在，

则过的直线为，到的距离为1，满足题意；

若直线的斜率存在，设斜率为，

则的方程为.

由到直线的距离为1，可得.

解得，

所以直线方程为，即.

综上得所求的直线方程为或.

19．如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量证明即可，

（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．

则，，，，，，．

所以，

因为平面,

所以平面的一个法向量为，

因为，所以，

因为平面，

所以平面

（2），，．

设平面的一个法向量为

则，令，则，，

所以

设与平面所成角为，

则．

因为，

所以与平面所成角为30°．

20．圆C过点，，且圆心在直线上.

（1）求圆C的方程；

（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.

（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.

【详解】（1）直线的斜率，

所以的垂直平分线m的斜率为1.

的中点的横坐标和纵坐标分别为，.

因此，直线m的方程为.即.

又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组

，

解得

所以圆心坐标为，又半径，

则所求圆的方程是.

（2）设线段的中点，

M为线段的中点，则，

解得

代入圆C中得，

即线段中点M的轨迹方程为.

【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.

21．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.

(1)求证：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：因为，，则，

平面，平面，，

，、平面，平面，

平面，因此，平面平面.

（2）解：因为底面，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设，，其中，

易知平面的一个法向量为，

由已知可得，解得，

所以，为的中点，即，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

易知平面的一个法向量为，

所以，，

由图可知，二面角的平面角为钝角，

故二面角的余弦值为.

22．已知圆.

(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；

(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.

【答案】(1)见详解；

(2)的面积的最大值为，此时直线方程为或.

【分析】（1）只要证明直线过圆内一点即可；

（2）根据题意，故设直线方程，可得圆心到直线的距离，又，代入，利用函数求最值即可得解.

【详解】（1）转化的方程

可得：，

由，解得，

所以直线恒过点，

由，

故点在圆内，

即直线恒过圆内一点，

所以无论为何值，直线都与圆相交；

（2）由的圆心为，半径，

易知此时直线斜率存在且不为，

故设直线方程，

一般方程为，

圆心到直线的距离，

所以

所以，

令，

可得，当时，

所以的面积的最大值为，

此时由，解得，

解得或，符合题意，

此时直线方程为或.