2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一六二中学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一六二中学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，且，则的值为（    ）

A．4 B．2 C．3 D．1

【答案】A

【分析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程即可求解.

【详解】因为，所以，

因为向量，，

所以，解得，

所以的值为，

故选：A.

2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B．

C． D．与斜交

【答案】B

【分析】判断与的位置关系，进而可得出结论.

【详解】由已知可得，则，因此，.

故选：B.

3．点到直线的距离为（       ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式可求.

【详解】点到直线的距离.

故选：D.

4．已知一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用圆的标准方程中圆心坐标为，半径为，即得结果.

【详解】由圆的标准方程可得，圆心坐标为，半径为.

故选：D.

【点睛】本题考查了利用圆的标准方程来确定圆心、半径，属于基础题.

5．不论为何值，直线恒过定点

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m的值．

【详解】恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.

【点睛】本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键．

6．已知直线+=0与直线2+3+5=0平行，的值为（    ）

A．-6 B．6 C． D．

【答案】B

【解析】根据两直线平行的等价条件即可求出a的值.

【详解】直线(-2)+-1=0与直线2+3+5=0平行,

,

解得，

故选：B

7．经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.

【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，

直线的方程为，即.

故选：A.

8．若方程表示圆，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合求得的取值范围.

【详解】依题意，

即，

解得或，

所以的取值范围是.

故选：C

9．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)

A． B．－ C． D．

【答案】B

【分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.

【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，

∵＝2，∴∴

∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，

∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．

故选：B

【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).

二、多选题

10．下列说法正确的是（       ）

A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．直线的方向向量有且仅有一个

【答案】AC

【分析】根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误；

对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；

对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.

故选：AC

11．下列说法中，正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B．过两点的直线方程为

C．过点且与直线相互平行的直线方程是

D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】对A，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；

对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；

对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；

对D，经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，

故选：AC．

12．如果，，那么直线经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】ACD

【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.

【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，

因为，，故，

故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，

故选：ACD.

13．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．是平面的一个法向量 D．

【答案】ABC

【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.

【详解】由题意，向量，

对于A中，由，可得，所以A正确；

对于B中，由，所以，所以B正确；

对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；

对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.

故选：ABC

三、填空题

14．若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________.

【答案】.

【分析】结合已知条件分别求出A、B的坐标，然后分别求出圆心和半径即可求解.

【详解】不妨设直线与轴和轴的交点分别为A，B，

令，得，即；再令，得，即，

从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心，

又因为，所以所求圆的半径为，

从而以线段AB为直径的圆的方程是.

故答案为：.

15．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是_____________．

【答案】

【分析】直接根据点到直线的距离公式即可求出．

【详解】线段最短时，与直线垂直，

所以，的最小值即为点到直线的距离，则.

故答案为：.

16．直线和直线垂直，则实数的值为_______.

【答案】或0

【解析】直接利用直线垂直的充要条件列方程求解即可.

【详解】因为直线和直线垂直，

所以，

即，

解得或.

故答案为：或0

17．在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为________．

【答案】

【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可求解.

【详解】∵在长方体 中,,，

点为的中点，

以为原点，建立空间直角坐标系，如图：

∴, ,,，

即，，

设平面的法向量，

则，即，

令，则，所以

∴点 到平面的距离：

故答案为：

四、解答题

18．在长方体中，已知，，连接，如图，建立空间直角坐标系.

(1)在图中标出点的位置；

(2)求与的坐标；

(3)求向量在平面上的投影向量的坐标.

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据长方体内各点的位置关系即可得到点的位置.

（2）表达出与，即可得到与的坐标.

（3）由几何知识得，向量在平面上的投影向量为，表达出，即可得到投影向量的坐标.

【详解】（1）由题意及图，标出点的位置如图中所示：

（2）由题意，（1）及图得，

在长方体中， ，

设分别为方向上的单位向量，

则，

，

∴.

（3）由题意，（1），（2）及图得，

在长方体中， ，，

连接，则向量在平面上的投影向量为.

又，

∴.

19．根据下列条件分别求出直线方程：

(1)已知直线过点倾斜角为120°；

(2)已知直线过点并在轴、轴上的截距之和等于0.

(3)已知点，.求过点且与直线AB平行的直线的方程；

(4)一束光线从点射向（3）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或；

(3)；

(4).

【分析】(1)根据倾斜角与斜率的关系由条件求斜率，再由点斜式求直线方程；(2)先求过点和原点的直线方程，再设直线的截距式式方程，由条件求截距可得；(3)根据平行直线的斜率关系求直线的斜率，再由点斜式求其方程； (4)求点关于直线的对称点，再由点斜式求反射直线方程.

【详解】（1）由直线的倾斜角为120°，可得斜率，由直线的点斜式方程可得，，化简得直线的方程为.

（2）当直线经过原点时，在轴、轴上的截距之和等于0，符合题意，此时直线的方程为，即；

当直线不过原点时，设直线的方程为.

因为在直线上，所以，

解得，则直线的方程为.

综上所述，直线的方程为或.

（3）因为点的坐标为，点的坐标为，所以直线的斜率为，

因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，

所以直线的方程为，即；

（4）设关于直线的对称点为，

则，解得，

所以，.

所以反射光线所在的直线方程为，即.

20．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).

（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；

（2）求△ABC的外接圆的方程.

【答案】（1）x﹣y=0，（2）(x﹣8)2+(y+6)2=100

【分析】（1）设坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出坐标，进而取出直线方程；

（2）分别求出的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论.

【详解】（1）设A(x，y)，B(a，b)，C(m，n)，则.

解得,∴A (0，0)，B(2，2)，C(8，4).

∴边AB所在直线的方程:x﹣y=0.

（2）由（1）得的垂直平分线方程为，

的垂直平分线方程为，

联立，解得，

所以的外接圆的圆心，

半径为，

∴△ABC的外接圆方程为(x﹣8)2+(y+6)2=100.

【点睛】本题考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题.

21．如图所示，矩形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面垂直，点G是边AB上一点，AB=AF=4，AD=2，AG=BE=1，AF⊥AB，BE⊥AB.

(1)求证：平面DFG平面ACF；

(2)求平面DFG与平面CEF所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)见详解；

(2).

【分析】（1）根据题意，结合面面垂直的性质，以及面面垂直的判定，即可求证；

（2）根据题意，建立适当的空间直角坐标系，转化为空间向量处理，即可求解.

【详解】（1）证明：由题意，矩形中，，，，

可得，，故，

因此，即，

∵平面平面，且平面平面，，

∴平面，

又∵平面，∴，

又∵，且、平面，∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

（2）由题意，以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

故，，，.

设平面的法向量，

则，即，取，得，，故，

同理可得，是平面的一个法向量.

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.