高二下学期数学人教A版（2019）第2课时 函数的最大(小)值梯度式训练

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　高二下学期数学人教A版（2019）第2课时 函数的最大(小)值梯度式训练　　　　　　　　　　　　　
题组一　函数最大(小)值的概念及其求解
1.函数f(x)=x3-12x在区间[-3,1]上的最小值是(　　)
A.-10　　　　　　B.-11　　　　　　C.-15　　　　　　D.-18
2.(2022广东南海中学月考)下列关于函数f(x)=xex的说法正确的是(　　)
A.没有最小值,有最大值
B.有最小值,没有最大值
C.有最小值,有最大值
D.没有最小值,也没有最大值
3.(2022黑龙江牡丹江期末)函数y=lnxx的最大值为(　　)
A.e-1　　　　　　B.e　　　　　　C.e2　　　　　　D.10
4.(2022江西六校期末联考)已知函数f(x)=13x3-3x+2,则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为(　　)
A.-3e　　　　　　B.-2e　　　　　　C.e　　　　　　D.2e
5.(2022安徽六安一中期末)函数y=ex-e-x+sin 2x在区间[0,π]上的最小值为　　　　. 
6.(2021陕西西安中学期末)已知函数f(x)=1x+ln x-1.
(1)求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间1e,e上的最大值.

题组二　含参函数的最大(小)值问题
7.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是 (　　)
A.(0,3)　　　　　　　　B.(-3,0)
C.(-∞,-3)　　　　　　　　D.(3,+∞)
8.(2022湖北武汉部分重点中学期末)若函数f(x)=asin x+13sin 3x在x=π3处有最大(小)值,则a等于(　　)
A.2　　　　　　B.1　　　　　　C.233　　　　　　D.0
9.(2022广东汕头期末)已知函数f(x)=ex+x3+(a-3)x+1在区间(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-e,2)　　　　　　　　B.(-e,1-e)
C.(1,2)　　　　　　　　D.(-∞,1-e)
10.(2021北京大兴第一中学月考)已知f(x)=aln x+1x.
(1)求f(x)的极值;
(2)若a>0,求f(x)在[1,e]上的最大值m(a).
题组三　利用函数的最大(小)值解决不等式问题
11.已知函数f(x)的导函数f '(x)满足2f(x)+xf '(x)>x2(x∈R),则对任意x∈R都有(　　)
A.x2f(x)≥0　　　　　　　　B.x2f(x)≤0
C.x2[f(x)-1]≥0　　　　　　　　D.x2[f(x)-1]≤0
12.已知a≥1−xx+ln x对任意x∈1e,e恒成立,则a的最小值为(　　)
A.1　　　　　　B.e-2　　　　　　C.1e　　　　　　D.0
13.(2021安徽淮南期末)已知函数f(x)=ln x+x2-3x+mx,若f(x)在[1,2]上单调递减,则实数m的最小值为　　　　. 
14.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),且f(x)的减区间是(0,4).
(1)求实数k的值;
(2)当x>k时,求证:2x>3-1x.
题组四　利用导数解决优化问题
15.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为(　　)
A.3V　　　　　　　　B.32V
C.34V　　　　　　　　D.23V
16.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,销量N(单位:吨)与M有如下关系:N=8 300-170M-M2,则该批材料零售价定为　　　元/吨时利润最大,利润的最大值为　　　元. 
17.将一块2 m×6 m 的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求①至⑦全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的长方体水箱(不计损耗),设水箱的高为x m,容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当x取何值时,水箱的容积最大?

能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　函数最大(小)值的求解及其应用
1.(2021安徽淮南期末)已知定义在[m,n]上的函数f(x),其导函数f '(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的个数为(　　)
①f(x)的值域为[f(d), f(n)];
②f(x)在[a,b]上单调递增,在[b,d]上单调递减;
③f(x)的极大值点为x=c,极小值点为x=e;
④f(x)有两个零点.

A.0　　　　　　B.1　　　　　　C.2　　　　　　D.3
2.(2022河南平顶山调研)设函数f(x)=2x2-2的图象在点(a, f(a))(00,m∈R),若函数y=f(f(x))与y=f(x)有相同的最小值,则实数m的最小值为　　　　. 
6.若函数f(x)=2x3-ax2+b在[0,1]上的最小值为-1,最大值为1,则a+b的值为　　　　. 
7.(2021山东菏泽郓城一中期末)已知函数f(x)=13x3-ax2+1,a>0.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)是否存在实数a,使得f(x)在[0,2]上的最小值为56?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题组三　利用函数的最大(小)值解决不等式问题P203定点4
8.(2022天津滨海期中)已知函数f(x)=xln x+2x,若∃k∈Z,使得
f(x)+2kx>k+1在x∈(2,+∞)上恒成立,则k的最大值为(　　)
A.2　　　　　　B.3　　　　　　C.4　　　　　　D.5
9.(2021江苏南通如东期末)已知函数f(x)=ln x,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有[f(x1)-f(x2)](x12-x22)≥k(x1x2+x22)成立,则实数k的最大值是(　　)
A.-1　　　　　　B.0　　　　　　C.1　　　　　　D.2
10.(多选)已知定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是(　　)
A.函数g(x)=-2是函数f(x)=lnx,x>0,1,x≤0的一个承托函数
B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数
C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e]
D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数
11.(2021河北保定月考)设函数f(x)=mx2ex+1,若对任意a,b,c∈[-3,1], f(a), f(b), f(c)都可以作为一个三角形的三边长,则m的取值范围为　　　　. 
12.(2021湖北荆州中学期末)已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,且对任意x∈(0,+∞), f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(3)当x>y>e-1时,求证:ex-y>ln(x+1)ln(y+1).
题组四　利用导数解决优化问题P205定点5
13.如图所示,在等腰梯形ABDE中,|AE|=|ED|=|BD|=a,当等腰梯形ABDE的面积最大时,θ=(　　)

A.π6　　　　　　B.π3　　　　　　
C.π4　　　　　　D.π8
14.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(单位:L/h)关于行驶速度x(单位:km/h)的解析式可以表示为y=1128 000x3-380x+8(00, f(x)单调递增,当x∈(-2,1]时, f '(x)0,当x>1时, f '(x)e时,y'0, f(x)单调递增, ∴f(x)在[1,e]上的最大值f(x)max=f(e)=a+1e;
若1a≥e,即00时,F'(x)>x3>0,F(x)单调递增;当x0在[1,2]上恒成立,
故g(x)在[1,2]上单调递增,
故g(x)max=g(2)=6,所以m≥6.
即m的最小值是6.
14.解析　(1)f '(x)=3kx2-6(k+1)x=3kxx−2k+2k, k>0.
由题意知方程f '(x)=0的两实根为0和4,
故2k+2k=4,解得k=1.
(2)证明:令g(x)=2x+1x-3,则g'(x)=1x-1x2.
令g'(x)=0,得x=1.
当x>1时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增.
又因为g(1)=0,x>k=1,所以g(x)>0,
所以2x>3-1x.
15.C　设底面等边三角形的边长为x(x>0),则直三棱柱的表面积S=32x2+43xV,∴S'=3x2(x3-4V),当00,故当x=34V时,S取得极小值,也是最小值,此时该三棱柱的表面积最小.
16.答案　30;23 000
解析　设该批材料的利润为y元,由题意知,
y=N(M-20)=-M3-150M2+11 700M-166 000,
则y'=-3M2-300M+11 700,
令y'=0,解得M=30或M=-130(舍去),
当M∈(0,30)时,y'>0,当M∈(30,+∞)时,y'0,∴函数f(x)在(e,n]上单调递增,∴当x=c时,函数f(x)取极大值,当x=e时,函数f(x)取极小值,故②错误,③正确.
根据单调性可知,函数的最小值为f(m)或f(e),最大值为f(c)或f(n),故①错误.
易知④错误.故选B.
2.C　由题设知f '(x)=4x,则f '(a)=4a,
又f(a)=2a2-2,
所以切线l的方程为y-2a2+2=4a(x-a),
当x=0时,y=-2a2-2,当y=0时,x=a2+12a,
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积S(a)=12×a2+12a×2(a2+1)=(a2+1)22a,01,则当x>a时, f '(x)0,即g(x)单调递增.
∵g(8)=4-2ln 8=ln e4-ln 820,设g(x)的零点为x0,则80,令h'(x)=0,得x=ln a,
∴函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数,
∴当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a,
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,
∴a-aln a≥0,∴ln a≤1,∴00,g(x)单调递增;当-2e-1,则易知h(x)在(e-1,+∞)上单调递增,
∴h(x)>1-1e>0,∴H'(x)>0,
∴H(x)在(e-1,+∞)上单调递增,
∴当x>y>e-1时,exln(x+1)>eyln(y+1),即ex-y>ln(x+1)ln(y+1).
13.B　如图,过点D作DC⊥AB于点C,

设等腰梯形ABDE的面积为S,
则S=12(|AB|+|ED|)·|CD|,
易得|AB|=a+2acos θ,|ED|=a,|CD|=asin θ,
所以S=12[(a+2acos θ)+a]·asin θ=a2sin θ(1+cos θ)0