2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知经过两点的直线的斜率为1，则（    ）

A．7 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算作答.

【详解】依题意，，解得，

所以.

故选：B

2．直线l过点与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【分析】设出直线l的方程，与双曲线方程联立，由方程只有一个解即可判断作答.

【详解】依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，

由消去y并整理得：，

当，即时，方程只有一个解，

此时直线l与双曲线只有一个公共点，直线l有两条，

当时，，解得，方程有二等根，

此时直线l与双曲线只有一个公共点，直线l有两条，

综上得这样的直线有4条，D正确.

故选：D

3．设P为椭圆上一动点，分别为左､右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出，，再利用椭圆定义及圆的定义求解作答.

【详解】由椭圆可得，，即点，

依题意，，

所以动点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为.

故选：C

4．年月日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂降重开幕，为了增强主席台的亮度，且为了避免主席台就坐人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点，发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当与恰好相等时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由离心率可得关系，结合双曲线定义可用表示出三边长，利用余弦定理可求得结果.

【详解】离心率，；

，则根据双曲线定义知：，

.

故选：A.

5．已知圆与抛物线的准线相切，则（    ）

A． B． C．8 D．2

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用点到直线距离公式求解作答.

【详解】圆的圆心，半径1，抛物线的准线为，

依题意，，解得，

所以.

故选：A

6．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.

【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；

由圆的方程知：圆心为，半径；

与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，

两条渐近线截圆所得弦长相等，

不妨取，即，则圆心到直线距离，

弦长为，解得：，

双曲线离心率.

故选：C.

7．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作，根据共线向量可确定为中点，根据三角形中位线性质可求得，根据抛物线定义可求得，进而得到.

【详解】由抛物线方程知：，，

设准线与轴交于点，作，垂足为，

，为中点，又，，

由抛物线定义知：，.

故选：C.

8．已知是椭圆的右焦点，是的上顶点，直线与交于两点.若，到的距离不小于，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，解得，根据到的距离为，得，得，即可解决.

【详解】设椭圆的左焦点为，是的上顶点，连接，如图，

由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则,

因为,

所以四边形为平行四边形，

所以，

所以，解得，

因为，到的距离为，

解得，

所以，

解得，

所以，

故选：C

二、多选题

9．己知双曲线，则（    ）

A．双曲线C的实半轴长为2 B．双曲线C的虚轴长为

C．双曲线C的离心率为2 D．双曲线C的渐近线方程为

【答案】BCD

【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.

【详解】双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，

双曲线C的实半轴长为1，A不正确；

双曲线C的虚轴长为，B正确；

双曲线C的离心率，C正确；

双曲线C的渐近线方程为，D正确.

故选：BCD

10．已知，，下列说法中，正确的有（    ）

A．若点在内，则

B．当时，与共有两条公切线

C．，使得与公共弦的斜率为

D．若与存在公共弦，则公共弦所在直线过定点

【答案】ABD

【分析】利用点在圆内列式判断A；判断两圆位置关系判断B；求出两圆公共弦方程判断C，D作答.

【详解】对于A，点在：内，则，解得，A正确；

对于B，当时，：圆心，半径，

圆心，半径，，，

即有与相交，与共有两条公切线，B正确；

对于C，当，与有公共弦时，其所在直线为，其斜率为，C不正确；

对于D，当，与存在公共弦时，公共弦所在直线为，

由解得，因此公共弦所在直线过定点，D正确.

故选：ABD

11．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则的最小值为2 D．

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答.

【详解】依题意，，解得，A不正确；

令，由余弦定理得： ，

当时，，即，因此，B正确；

当时，，即，有，

而，则有，解得，C不正确；

，

，于是得，

解得，而，因此，D不正确.

故选：ACD

12．双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段长度为，动点满足，那么的轨迹称为双纽线.已知曲线为双纽线，下列选项判断正确的是（    ）

A．曲线关于轴对称

B．曲线不关于对称

C．曲线上的点的纵坐标的取值范围是

D．为曲线上的动点，的坐标为，则面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】对于A,B，根据题意设点即可解决；对于C，由于解决即可；对于D，设，则，根据题意即可解决.

【详解】对于A，设曲线上任一点为，则其关于轴对称的点为，

所以，

即点也在曲线上，

所以曲线关于轴对称，故A正确；

对于B，设曲线上任一点为，则其关于对称的点为，

所以，

即点也在曲线上，

所以曲线关于对称，故B错误；

对于C，因为，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，即，解得，故C正确；

对于D，设，则，

因为为曲线上的点，

所以，

所以，

当时，即时，，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．与椭圆有公共焦点，且离心率为2的双曲线的标准方程为___________.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，结合双曲线离心率求出方程作答.

【详解】椭圆的焦点坐标为，则双曲线焦点在x轴上，半焦距，

而双曲线的离心率为2，则双曲线实半轴长a有：，解得，双曲线虚半轴长，

所以双曲线的标准方程为.

故答案为：

14．设点，，点在椭圆上运动，当最大时，点的坐标为___________.

【答案】

【分析】根据椭圆方程可确定的值，得到与重合，由椭圆定义可将转化为，可知当三点共线且位于第三象限时取得最大值，将直线方程与椭圆方程联立即可求得此时点的坐标.

【详解】由椭圆方程得：，，则，

即椭圆焦点坐标为，，即与重合，

由椭圆定义可知：，

，即当位于下图所示的位置时，取得最大值；

，直线，

由得：（舍）或，即，

当最大时，点的坐标为.

故答案为：.

15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别相交于点两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则___________.

【答案】

【分析】将双曲线渐近线方程与抛物线准线方程联立可求得，由双曲线离心率可得到，由此可得，利用三角形面积可构造方程求得的值.

【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为；由抛物线方程知：准线方程为；

由得：，；

双曲线离心率，，则，

，解得：.

故答案为：.

16．已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，左焦点为，以原点为圆心的圆与直线相切，且该圆与轴的正半轴交于点，过点的直线交椭圆于两点.若四边形是平行四边形，且平行四边形面积为，则椭圆的长轴长为___________.

【答案】

【分析】根据直线与圆相切可求得圆的半径，即，将与椭圆方程联立可求得坐标，由可构造齐次方程求得离心率，从而用表示出，根据可构造方程求得的值，进而得到椭圆长轴长.

【详解】

由题意知：，，，

直线，即，

直线与圆相切，圆的半径，即，

四边形为平行四边形，，

将代入椭圆方程得：，即，

又，，，

即，，解得：（舍）或；

即，，

，解得：

椭圆长轴长.

故答案为：.

四、解答题

17．已知椭圆内一点引一条弦，与椭圆相交于A，B两点，使弦被M点平分，

(1)求这条弦所在直线的方程.

(2)求弦的长.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）判断点M与椭圆C的位置关系，再利用点差法求解作答.

（2）联立直线AB与椭圆C的方程，再利用弦长公式计算作答.

【详解】（1）因，即点在椭圆C内，符合条件的直线AB必存在，

设，因是弦AB的中点，则，

由相减得：，即有，

因此直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即，

所以这条弦所在直线的方程为.

（2）由（1）得：，消去y并整理得：，于是得，

所以弦的长.

18．已知双曲线的方程为，其左，右焦点分别为，离心率，双曲线的一个焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为，结合点到直线距离公式可求得；由离心率和双曲线关系可求得，由此可得双曲线方程；

（2）根据双曲线焦点坐标可知为圆的直径，得，利用勾股定理，结合双曲线定义可构造方程求得，由可求得结果.

【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线为，焦点，，

则焦点到渐近线的距离为；

，，

双曲线的标准方程为：.

（2）由（1）知：，，是圆的直径，，

，

，.

19．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为的中点，.

(1)证明：；

(2)若与所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，由线面垂直的判定可知平面，由线面垂直性质可证得结论；

（2）易证得四边形为正方形，四边形为平行四边形，由线线角定义可知，由此得到；以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1），为中点，，

又，，平面，平面，

平面，.

（2），，，四边形为正方形，；

连接，

，，四边形为平行四边形，，

又与所成角为，，，

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，，；

轴平面，平面的一个法向量，

，

即平面与平面夹角的余弦值为.

20．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到O的距高都相等，以O为原点、线段所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

(1)求道路的曲线方程；

(2)现要在上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？

【答案】(1)段：；段，；

(2)Q的坐标为，此时Q到C的距离最小.

【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义、圆的定义直接求解作答.

（2）设出点Q的坐标，利用两点间的距离公式结合（1）中轨迹方程，分段求解最小值即可作答.

【详解】（1）依题意，点，点M的纵坐标为6，

线路段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多，

则线路所在的曲线是以定点A，B为左右焦点，实轴长为16的双曲线的右上支，

其方程为，

显然点，又线路段上的任意一点到O的距离都相等，

则线路所在的曲线为以O为圆心，为半径的下半圆（含端点），其方程为，

所以道路的曲线方程为，段：；段，.

（2）设，而，则，

当点Q在线路NP段上时，，，则，当且仅当时取等号，

当Q在线路段上，，，有，

此时，，当且仅当时取等号，

显然，当时，，

所以Q的坐标为，此时Q到C的距离最小.

21．动点M与定点的距离和M到定直线的距离之比是常数.

(1)求动点M的轨迹G的方程；

(2)设O为原点，点，过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线分别与y轴交于R、S两点，求证：为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）设出点M的坐标，根据给定条件列出方程，化简整理作答.

（2）设出直线l的方程，与G的方程联立，用P，Q的坐标分别表示出点R，S的坐标，借助韦达定理推理计算作答.

【详解】（1）设点，依题意，，化简整理得，

所以动点M的轨迹G的方程为.

（2）因为直线l与x轴不重合，设直线l的方程为，设点，

由消去x并整理得：，显然，

则，

直线的方程为，令，得，即点，同理，

则，

所以为定值4.

22．已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，直线交椭圆C于P，Q两点，直线与x轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.

(1)求证：直线恒过定点；

(2)设和的面积分别为，求的最大值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）设点及直线PQ方程，并与椭圆方程联立，再探讨直线BP斜率与，关系，结合韦达定理求解作答.

（2）由（1）中信息，求出的函数关系，利用函数单调性求出最值作答.

【详解】（1）依题意，，设，直线方程为，由消去x并整理得：

，，则，

因在椭圆上，有，直线BP斜率，有，

则，即，

而

，

解得，此时，直线：恒过点，

所以直线恒过定点.

（2）由（1）知，，令，，

则

，

令，函数在上单调递增，则当时，取得最小值，

所以当，即时，取得最大值.