第8章 整式乘法专题：教材P92“读一读”——杨辉三角(含答案)

8．微专题：教材P92“读一读”——杨辉三角

1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”解答下列问题：

(a＋b)0………………1

(a＋b)1……………1　1

(a＋b)2…………1　2　1

(a＋b)3………1　3　3　1

(a＋b)4……1　4　6　4　1

(a＋b)5…1　5　10　10　5　1

……

(1)根据上面的规律，(a＋b)4的展开式中各项系数最大的数为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

(2)根据“杨辉三角”，请计算(a＋b)20的展开式中第三项的系数为(　　)

A．2017            B．2016

C．191             D．190

(3)写出(a＋b)5的展开式；

(4)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.

2．如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)的展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题．

1

1　1

1　2　1

1　3　3　1

…

(a＋b)＝a＋b；

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；

……

(1)(a＋b)4展开式中第二项是________；

(2)求(2a－1)5的展开式；

(3)计算：26＋6×25×＋15×24×＋20 ×23×＋15×22×＋6×2×5＋.

参考答案与解析

1．解：(1)C

(2)D　解析：找规律发现(a＋b)3的第三项系数为3＝1＋2；(a＋b)4的第三项系数为6＝1＋2＋3；(a＋b)5的第三项系数为10＝1＋2＋3＋4；不难发现(a＋b)n的第三项系数为1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)，∴(a＋b)20第三项系数为1＋2＋3＋…＋19＝190.

(3)∵(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，∴(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.

(4)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1＝25＋5×24×(－1)1＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝[2＋(－1)]5＝(2－1)5＝15＝1.(根据(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5的逆运用得出)

2．解：(1)4a3b

(2)(2a－1)5＝(2a)5－5(2a)4＋10(2a)3－10(2a)2＋5·2a－1＝32a5－80a4＋80a3－40a2＋10a－1.

(3)原式＝＝＝.