数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式教课内容ppt课件

这是一份数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式教课内容ppt课件，共22页。PPT课件主要包含了基础预习初探，利用乘法公式可得，归纳小结，条件概率等内容，欢迎下载使用。
对离散型随机变量，我们主要研究其分布列及数字特征，并对二项分布、超几何分布进行重点研究 . 对于连续型随机变量，我们只研究服从正态分布的情况 . 通过用随机变量描述和分析随机试验, 解决一些简单的实际问题, 进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.
在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题.
当事件A与B相互独立时，有
P(AB)=P(A)P(B).
问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：
在班级里随机选择一人做代表：(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员, 那么选到的是男生的概率是多少？
随机选择一人做代表, 则样本空间Ω包含45个等可能的样本点 . 用A表示事件“选到团员”, B表示事件“选到男生”, 根据表中的数据可以得出,
n(Ω)=45, n (A)=30, n(B)=25.
(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率
问题1：某个班级有45名学生，在班级里随机选择一人做代表：(2)如果已知选到的是团员, 那么选到的是男生的概率是多少？
(2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).
此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16 . 根据古典概型知识可知，
问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭 . 随机选择一个家庭 , 那么： (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察两个小孩的性别, 用b表示男孩, g表示女孩, 则样本空间Ω ={bb，bg，gb，gg}, 且所有样本点是等可能的. 用A表示事件“选择的家庭中有女孩”, B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”, 则A={bg，gb，gg}，B={gg}.
(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
问题2: (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
则样本空间Ω ={bb，bg，gb，gg}, 用A表示事件“选择的家庭中有女孩”, B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”, 则A={bg，gb，gg}，B={gg}.
(2)“在选择的家庭有女孩的条件下 , 两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下 , 事件B发生”的概率 , 记为P(B|A) . 此时A成为样本空间 , 事件B就是积事件AB . 根据古典概型知识可知，
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是
这个结论对于一般的古典概型仍然成立. 事实上, 如下图所示, 若已知事件A发生, 则A成为样本空间. 此时, 事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值, 即
一般地, 设A, B为两个随机事件, 且P(A)>0, 我们称
为在事件A发生的条件下, 事件B发生的条件概率，简称条件概率.
探究！在问题1和问题2中, 都有P(B|A)≠P(B) . 一般地， P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？
直观上看, 当事件A与B相互独立时, 事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)=P(B)成立.
反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则：
事实上, 若事件A与B相互独立, 即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则：
因此, 当P(A)>0时, 当且仅当A与B相互独立时, 有
P(B|A)=P(B).
即事件A与B相互独立.
思考? 对于任意两个事件A与B, 如果已知P(A)与P(B|A), 如何计算P(AB)呢？
我们称上式为概率的乘法公式 .
由条件概率的定义, 对任意两个事件A与B, 若P (A)>0,则
P(AB) =P(A)P (B|A) .
条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则
(1)P (Ω|A) =1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C |A)=P (B|A) +P (C|A) ；
分析 : 如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件, 那么问题(1)就是积事件的概率, 问题(2)就是条件概率. 可以先求积事件的概率, 再用条件概率公式求条件概率; 也可以先求条件概率, 再用乘法公式求积事件的概率.
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题, 每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下, 第2次抽到几何题的概率.
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. 从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即
解法1:设A=“第1次抽到代数题”, B=“第2次抽到几何题”.
解:设A=“第1次抽到代数题”, B=“第2次抽到几何题”.
(2)“在第1次抽到代数题的条件下, 第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.
解法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A). 已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道. 因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
从例1可知，求条件概率有两种方法：
方法1：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A) 和P (AB) ，再利用条件概率公式求P(B|A)；
方法2：另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P (B|A) 就是以A为样本空间计算AB的概率。
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张 . 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等 . 因为只有1张有奖, 所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”, “丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
解: 用A, B, C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则
因为P(A)= P(B)= P(C), 所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
事实上, 在抽奖问题中 , 无论是放回随机抽取, 还是无放回随机抽取，中奖的概率与抽奖的次序无关.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成 . 某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字. 求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)若记得密码的最后1位是偶数, 不超过2次就按对的概率.
分析: 最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率性质求解.
解: (1)设Ai=“第i次按对密码”(i=1，2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
(2)设B=“最后1位密码为偶数”，则
2、条件概率计算公式:
采用缩减样本空间计算条件概
(2) 直接利用定义计算