2023年广东省深圳市龙华区中考一模数学试卷（含答案）

2023年广东省深圳市龙华区中考一模数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B．

C． D．

2．国家卫健委网站消息：截至2022年5月27日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过33亿剂次，用科学记数法表示33亿是（　　）

A． B． C． D．

3．某人从一袋黄豆中取出粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出粒黄豆，数出其中有粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　）

A．粒 B．粒 C．粒 D．粒

4．下列各运算中，计算正确的是（　　）

A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6

C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a•3a＝6a2

5．某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、89分，则下列结论正确的是（　　）

A．平均分是91 B．众数是94 C．中位数是90 D．极差是8

6．已知反比例函数，当＜0时，随的增大而增大，则的值可能是（     ）

A．3 B．2 C．1 D．-1

7．下列说法正确的是（     ）

A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC=

B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积

C．两个正六边形一定位似

D．菱形的两条对角线互相垂直且相等

8．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该大厦的高度约为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

9．如图，直线∥∥，△ABC的边AB被这组平行线截成四等份，△ABC的面积为32，则图中阴影部分四边形DFIG的面积是（     ）

A．12 B．16 C．20 D．24

10．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（     ）个

①MC⊥ND；②sin∠MFC=；③(BM+DG)²=AM²+AG²；④S△HMF=

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．已知，则代数式_____________.

12．如图，是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB=50米.则BC的长为__________米.（结果保留根号）

13．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和7个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.7，则估计口袋中大约有红球 _____个．

14．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 _____．

15．如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为轴正半轴一上点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为，则点N的坐标为__________.

三、解答题

16．计算：.

17．先化简，再求值：，其中．

18．习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：

(1)a＝_____；

(2)八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______；

(3)七年级学生参加阅读人数的众数为______；

(4)估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数．

19．如图，已知射线BC⊥AB，以AB为斜边作Rt△ABD，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，BF平分∠CBE交AE于点F．

(1)求证：BD＝DF；

(2)若AB＝2，以AE为边向下作∠AEG＝45°，交射线BC于点G，求BG的长．

20．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．

（1）该商品的售价和进价分别是多少元？

（2）设每天的销售利润为元，每件商品涨价元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

21．【探究函数的图象与性质】

(1)函数的自变量x的取值范围是　   　；

(2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　   　；

(3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．

解：∵，∴______．

∵，∴____．

【拓展说明】

(4)若函数，求y的取值范围．

22．如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．

(1)证明与推断：

②求证：四边形是正方形；

②推断：的值为___________；

(2)探究与证明：

将正方形的绕点C顺时针方向旋转，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展与运用：

正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H，若，则___________．

参考答案：

1．B

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，即可得到答案．

【详解】解：从正面看，看到的图形是由两个一样的长方形上下叠放组成的长方形，即看到的图形为，

故选B．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．

2．C

【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．

【详解】解：33亿，

故选：C．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．B

【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得．

【详解】解：依题意可得，

估计这袋黄豆：（粒）

故选：B．

【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．

4．D

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】解：A、原式＝2a，不符合题意；

B、原式＝27a6，不符合题意；

C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；

D、原式＝6a2，符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．B

【分析】直接利用平均数、众数、中位数以及极差的定义分别分析得出答案．

【详解】解：A、平均分为：（94+98+90+94+89）÷5＝93（分），故此选项错误；

B、94分、98分、90分、94分、89分中，众数是94分．故此选项正确；

C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是94分，故此选项错误；

D、极差是98﹣89＝9，故此选项错误．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数以及极差的定义，正确把握相关定义是解题关键．

6．A

【分析】依据反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，即可得到2-＜0，进而得出的取值．

【详解】解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，

∴2-＜0，

∴＞2，

∴可以取3，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题时注意：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

7．B

【分析】A.根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较短线段,分情况讨论即可；

B.矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等；

C.按照相似与位似关系判断即可；

D.利用菱形的性质判断即可.

【详解】A. 解：根据题意得：

当AC是较长线段时，,

当AC是较短线段时，,，故此项错误；

B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，如图：

，故此项正确；

C.位似图形一定相似，相似图形不一定位似，两个正六边形一定相似，但不一定位似，故此项错误；

D. 菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，对角线一定相等的是矩形,故此项错误.

故选B.

【点睛】此题考查了黄金分割、位似与相似的关系、矩形菱形的性质是解题的关键，特别注意A中应分类讨论，这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段．

8．A

【分析】因为同学和宝安区海淀广场均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．

【详解】解：根据题意，可得到．

即，

故米；，

那么该大厦的高度是32米．

故选：A．

【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

9．B

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．

【详解】解：∵直线∥∥，△ABC的边AB被这组平行线截成四等份，

∴△ADG∽△ABC，△AFI∽△ABC

∴

∴

∴

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比平方．

10．D

【分析】①设MC与DN交点是P，通过证明△MBC≌△NCD得到∠PNC=∠CMB，又证明则∠PNC +∠PCN =90°求出∠NPC=90°，则MC⊥ND，即可得到答案.

故①MC⊥ND正确.

②延长AE，作FQ⊥AF于点Q，利用勾股定理求出MC=5，再通过△MBC∽△FQM得到即，又因为QA=QF，则可以求得QA=QF =3，进而求得，在Rt△FMC中，利用勾股定理得则可以求得sin∠MFC的值.

③设(BM+DG)²=AM²+AG²存在，利用边与边的关系可以求出DG，符合题意，即可求出答案.

④作HI⊥MF于点I,先证△CPN∽△CBM，求出PC，MP=MC-PC=5-，再通过证

四边形MPHI是矩形，求得IH= MP，知道△HMF的底和高，即可求出答案.

【详解】(1)

设MC与ND交于点P，如图所示.

∵四边形ABCD是正方形

∴CD=BC=AB=4

∠MBC=∠NCD=90°

∵AM=BN=1

∴NC=BC-BN=4-1=3

MB=AB-AM=4-1=3

∴NC=MB

在△MBC与△NCD中，

∴△MBC≌△NCD

∴∠PNC=∠CMB

∵∠MBC =90°

∴∠CMB+∠PCN =90°

则∠PNC +∠PCN =90°

∴∠NPC=180°-（∠PNC +∠PCN）=90°

∴MC⊥ND

故①MC⊥ND正确.

（2）

延长AE，作FQ⊥AF于点Q

∵MB=3,BC=4.∠B=90°

∴在Rt△MBC中，利用勾股定理得

∠BCM+∠BMC =90°

∵MC⊥ND，MF∥ND

∴∠FMC=90°

∴∠QMF+∠BMC=180°-∠FMC=90°

∴∠QMF=∠BCM

∵FQ⊥AF

∠B=90°

∴∠FQM=∠B

∴△MBC∽△FQM

∴即

∵四边形ABCD是正方形，AF平分∠QAG

∴∠QAF=

又∵∠FQM=90°

∴∠QFA=∠QAF

∴QA=QF

∴变形为解得QA=QF =3

∴QM=QA+AM=4

∴在Rt△QMF中，利用勾股定理得

∴在Rt△FMC中，利用勾股定理得

∴sin∠MFC=故②正确

（3）设(BM+DG)²=AM²+AG²存在

由上述可知BM=3,AM=1,AG=AD-GD=4-DG，

将其代入(BM+DG)²=AM²+AG²

得：(3+DG)²=1²+（4-DG）²

解得DG=，符合题意，故③正确.

（4）

作HI⊥MF于点I

∵∠PCN=∠PCN，∠NPC=∠B=90°

∴△CPN∽△CBM

∴则即

解得

∴MP=MC-PC=5-

∵∠IMP=∠MPH=∠MIH=90°

∴四边形MPHI是矩形

∴IH= MP

∴S△HMF=故④正确

综上所述四项全部正确，答案选D

【点睛】本题是考查了全等、相似、勾股定理的综合性题目，难度较大，合适选择辅助线是解答此题的关键.

11．1

【分析】利用添括号法则把所求的代数式变形，代入计算即可．

【详解】解：3x-9y-5

=3（x-3y）-5

当x-3y=2，

原式=3×2-5=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查的是代数式求值，掌握添括号法则，会总体代入是解题的关键．

12．（25+）米

【分析】在△ABD中，利用特殊三角函数值求得BD，AD,再在△ADC中利用特殊三角函数值求CD，即可求出BC的长.

【详解】

∵B在点A的北偏西30°方向， AB=50米

∴BD=AB·sin∠BAD=50×

∴AD=

∵C在点A的东北方向，

∴∠DAC=45°

又∵∠ADC=90°

∴∠DAC=∠DCA=45°

∴CD=AD=

∴BC=BD+DC=25+

综上所述则BC的长为（25+）米.

【点睛】本题考查了利用特殊三角函数值解直角三角形，掌握特殊函数值及其关系是解答此题的关键.

13．3

【分析】设口袋中红球有x个， 由黄球的个数除以球的总数等于黄球的频率列出方程，进而求解即可．

【详解】解：设口袋中红球有x个，

由题意，得，

解得，

经检验，是所列方程的解，

故估计口袋中大约有红球3个，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，利用大量实验得到的频率可以估计为该事件的概率，关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系,还考查了解分式方程．

14．18

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边长为12，再利用三角形的面积公式求解即可．

【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线是6，

∴斜边长为12，

∵斜边上的高是3，

∴这个直角三角形的面积是，

故答案为：18．

【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键．

15．（，）

【分析】根据待定系数法求得反比例函数与一次函数解析式，可得到A点坐标为（2，3），求出B点坐标，设BN与y轴交点为D，设N点坐标为(, )，再利用待定系数法确定直线BM与BN的解析式，求出M、N、D坐标，然后利用S△MNB=S△MND+S△MBD，求出a的值即可得到C点坐标．

【详解】解：将点A的坐标为（1，3）代入双曲线表达式，一次函数表达式y=mx，解得k=3,m=3

所以双曲线表达式，一次函数表达式y=3x

两函数联立：

，解得或

所以B（-1，-3）

设BN交y轴于D,如图,设N点坐标为(, )

设BN为y=bx+c,将B(-1,-3)，N(, )代入

解得

所以

当x=0时，

所以D（0，）

设MN为y=px+q,将A(1,3)，N(, )代入

解得

所以

当x=0时，

所以M（0，）

所以MN=（）-()=6

∵S△MNB=S△MND+S△MBD，

∴，解得，

又∵N(, )

∴点N的坐标为（，）

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合性数形结合的题目，难度较大，能找到面积的等量关系是解答此题的关键.

16．2

【详解】分析：代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.

详解：

原式=

=，

=.

点睛：熟记“特殊角的三角函数值，理解负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义”是正确解答本题的关键.

17．，

【分析】括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入x的值进行计算即可．

【详解】

=

=

=

=．

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

18．(1)35

(2)24

(3)30

(4)

【分析】（1）根据统计表中数据，利用59-24即可求解；

（2）根据折线统计图中数据，将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可求解；

（3）根据统计表中数据，结合众数的定义即可求解；

（4）用1120乘以七、八年级阅读人数的占比即可求解．

【详解】（1）

故答案为：35

（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为：

则中位数为

故答案为：

（3）七年级的阅读人数分别为

众数为30

故答案为：30

（4）该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为

【点睛】本题考查了统计表，折线统计图，中位数，众数，平均数，样本估计总体，掌握基本统计知识是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)2

【分析】(1)首先可证得BD垂直平分AE，可得AB=BE，，可得，再根据BF平分∠CBE，可得，据此即可求得，即可证得结论；

(2)首先可证得，进而证得，，再根据，即可求得BG的长．

【详解】（1）证明：

的斜边是

又

垂直平分AE

平分

（2）解：如图：延长BF交EG于点H

，

，

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，角平分线的定义，作出辅助线是解决本题的关键．

20．（1）该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；（2）当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．

【分析】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得二元一次方程组，求解即可；

（2）根据利润=每件的利润×销售量，列出二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得到答案．

【详解】（1）设该商品每件的售价为元，进价为每件元，

由题意得：，解得，

∴该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；

（2）由题意得：

，

∴当时，有最大值，最大值为2645，此时售价为（元）．

∴当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

21．(1)

(2)C

(3)，

(4)

【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围；

（2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题；

（3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整；

（4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围．

【详解】（1）解：∵，

∴，

故答案为：；

（2）解：∵函数，

∴当时，，当时，，

故选：C．

（3）解：∵，∴．

∵，∴．

故答案为：，；

（4）解：∵，

∴

，

∵，

∴．

【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．

22．(1)①见解析；②；

(2)；见解析；

(3)．

【分析】（1）①由、结合可得四边形是矩形，再由即可得出；②由正方形性质知：、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；

（2）连接，只需证即可得；

（3）证明，由相似三角形的性质得出，设，则，求出的值，则可得出答案．

【详解】（1）解：①四边形是正方形，

，，

、，

，

四边形是矩形，，

，

四边形是正方形；

②由①知四边形是正方形，

，，

，，

，

故答案为：；

（2）解：连接，

由旋转性质知，

在和中，

、，

，

，

，

线段与之间的数量关系为；

（3）解：由（2）知，

∵B、E、F三点在一条直线上，

，

，

，

、、三点共线，

，

，

，

，

设，则，

则由得，

，

则，，

，

，

解得：，即，

故答案为：．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．