2023年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷（含答案解析）

2023年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷

1.  下列各数中，绝对值最小的是(    )

A.  B. 3 C. 0 D.

2.  已知点与点关于原点对称，则的值为(    )

A.  B. 5 C. 3 D.

3.  如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者.其中数据3510000用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. I与R的函数关系式是
C. 当时，
D. 当时，I的取值范围是

8.  如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在中，，，，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是(    )

A. 8 B.  C.  D. 10

10.  如图，在中，，作于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得，延长CD，交EF于点G，作交EF于点H，作分别交DG，BE于点M、N，若，，则边BD的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  因式分解：__________.

12.  一个不透明的箱子里装有2个白球，3个红球，它们除颜色外均相同.从箱子里摸出1个球，是红球的概率为______ .

13.  紫砂並是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上.图2是正确使用该工具时的示意图.如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为______
 

14.  如图，在直角坐标系中点，，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点A和OB的中点，则k的值为______ .

15.  如图，点E是正方形ABCD边AB上的一点，已知，EF分别交边AC，CD于点G，F，且满足，则EG的长为______ .

16.  计算：

17.  先化简，再求值：，其中

18.  某校对九年级学生进行了一次防疫知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班各50名学生的竞赛成绩进行整理，描述分析.下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图如图所示数据分为6组：，，，，，，其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：72，72，73，75，76，77，77，78，78，79，79，79，甲、乙两班成级的平均数、中位数、众数和优秀人数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
表中的______ ；
在此次竞赛中，你认为甲班和乙班中，______ 班表现的更优异，理由是______ ；
如果该校九年级学生有600名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？

19.  探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.

写出函数关系式中m及表格中a，b的值；______ ，______ ，______ ；
根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集为______ .

20.  红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
求甲、乙两种灯笼每对的进价；
经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

21.  【定义】
从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，是点P对线段AB的视角.

【应用】
如图②，在直角坐标系中，已知点，，，则原点O对三角形ABC的视角为______ ；
如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆，以原点O，半径为4画圆，证明：圆上任意一点P对圆的视角是定值；
【拓展应用】
很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④.现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为的位置拍摄.现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标.

22.  【探究发现】
如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边BA，BC上一点，且，延长OD交射线CA于点E，则有下列命题：

①∽；
②∽；
③∽；
请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；
【类比迁移】
如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边BA，BC上一点，且，延长OD交射线CA于点E，若，求AE的值；
【拓展应用】
在等腰中，，，，点D，O分别为射线BA，BC上一点，且，延长OD交射线CA于点E，当为等腰三角形时，请直接写出OB的长用a，b表示

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，，，
所以绝对值最小的是
故选：
根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
考查了有理数大小比较，以及绝对值的意义，注意先运算出各项的绝对值．
 

2.【答案】B 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，

故选：
利用关于原点对称点的坐标性质得出a的值即可．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 

3.【答案】B 

【解析】解：该几何体的主视图是一个矩形，矩形的右边有一条线段把矩形分成了一个梯形和三角形．
故选：
主视图是从几何体的正面看所得到的视图，注意看不到的棱需要画成虚线．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】C 

【解析】解：A、平行四边形ABCD中，，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、平行四边形ABCD中，，
平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C、平行四边形ABCD中，，
平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、平行四边形ABCD中，，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：
由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】B 

【解析】解：，
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

6.【答案】D 

【解析】

【分析】
此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
由三角形的内角和等于，即可求得的度数，又由邻补角定义，求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．
【解答】
解：在中，，
因为已知，
所以三角形的内角和定理，
所以平角定义，
因为已知，
所以两直线平行，同位角相等
故选：  

7.【答案】D 

【解析】解：设I与R的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
反比例函数随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
时，，当时，，
当时，I的取值范围是，故D符合题意；
故选：
由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
 

8.【答案】D 

【解析】解：小正方形的面积为1，
小正方形的边长为1，
，
大正方形的面积为41，
，
，
解得，不合题意，舍去，
，
，
故选：
根据题目中的数据和图形，可以得到a和b的关系，再根据大正方形的面积为41，可以得到，然后即可求得a的值，从而可以得到b的值，即可求出的值．
本题考查勾股定理的证明、正方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
 

9.【答案】D 

【解析】解：，，
，
由尺规作图可知，AD平分，又，，
，又，
，
的周长，
故选：
根据等腰直角三角形的性质得到，根据尺规作图可知AD平分，根据角平分线的性质定理解答即可．
本题考查的是等腰直角三角形的性质以及尺规作图，掌握等腰直角三角形的性质和基本尺规作图是解题的关键．
 

10.【答案】B 

【解析】解：在矩形ABEF中，，，
，
，
，

在和中，
，
≌，
，
矩形ABEF，，
四边形AFGD是矩形，四边形BEGD是矩形，
，，，
，
又，
，
设，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，
，
化简整理，得
解得：或不符合题意，舍去，

故选：
依据条件可判定，即可得到，，易证四边形AFGD是矩形，四边形BEGD是矩形，则，，，，又，则，设，则，，，再证，得，则，在中，由勾股定理，得，因为，所以，即，解之求出x值，即可求解．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，解一元二次方程，本题属四边形综合题目，熟练掌握相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：在一个不透明的箱子里装有2个白球，3个红球，共5个球，
随机从中摸出一个球，摸到红球的概率是
故答案为：
先求出总的球数，再根据概率公式进行计算即可．
本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现m种结果，那么事件A的概率，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

13.【答案】25 

【解析】解：，，半径r mm，，
，，，
根据勾股定理，得，
解得
故答案为：
根据题意，得到，，利用勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】6 

【解析】解：设平移距离为a，为平移后的图形，

则，
又点F是DE中点，
，
平移后到C点，点C、F在图像上，
，
解得
，
故答案为
先作出平移后的图形，设平移距离为a，如下图，分别表示出点C、F坐标，利用k的几何意义即可求解．
本题考查了反比例函数上点的坐标特点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正方形ABCD，
，，
，
，
、E、G、D四点共圆，如图，

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
故答案为：
先判定A、E、G、D四点共圆，从而得出是等腰直角三角形，则，再证明，得出，即，把，代入即可求出EG的长．
本题考查正方形的性质，四点共圆，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，得出A、E、G、D四点共圆是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

 

【解析】先计算乘方和开方，并求绝对值和把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、特殊的三角函数值和求绝对值运算是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式



，
当时，
原式

 

【解析】先算括号内，再把除化为乘，最后算加减，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键式掌握分式的通分、约分，把分式化简．
 

18.【答案】78 甲  甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高 

【解析】解：由题意可知甲班的中位数是从小到大排列后的第25个和26个数据的平均数，即，
故答案为：78；
甲班成绩优异，理由是：甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高；
故答案为：甲；甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高．
由题意得：人，
答：该校九年级600名学生中成绩优秀的大约有54人．
根据甲班的中位数是从小到大排列后的第25个和26个数据的平均数进行求解即可；
根据各统计量进行分析解答即可；
根据样本估计总体，用该校九年级总人数乘以抽取学生中优秀人数的占比即可求解．
此题考查了频数分别直方图、平均数、中位数、众数、样本估计总体等知识，读懂题意，准确求解是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：由表格可知，点在该函数图象上，
将点代入函数解析式可得：，
解得：，
原函数的解析式为：；
当时，；
当时，；
，，，
故答案为：，3，4；
通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；

要求不等式的解集，
实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，
由图象可知，当或时，满足条件，
故答案为：或
将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
根据表格所给数据描点、连线即可；
结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
本题考查函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
 

20.【答案】解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
①，
答：y与x之间的函数解析式为：
②，
函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
，
，
时，y随x的增大而增大，
当时，
答：乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 

【解析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．
设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
 

21.【答案】 

【解析】解：延长BA交x轴于点D，过点C作轴于点E，

点，，，
轴，，，
轴，
，，
，，
，，
，
即原点O对三角形ABC的视角为过答案为：证明：如图，过圆上任一点P作圆的两条切线交圆于A，B，连接OA，OB，OP，则有，，

在中，，，
，
，
同理可求得：，
，
即圆上任意一点P对圆的视角是，
圆上任意一点P对圆的视角是定值．
当在直线AB与直线CD之间时，视角是，此时以为圆心，EA半径画圆，交直线于，，
，，
不符合视角的定义，，舍去．

同理，当在直线AB上方时，视角是，
此时以为圆心，AB半径画圆，交直线于，，不满足；
过点作交DA延长线于点M，则，，
，
当在直线CD下方时，视角是，
此时以为圆心，DC半径画圆，交直线于，，不满足；
同理得：；
综上所述，直线上满足条件的位置坐标或
延长BA交x轴于点D，过点C作轴于点E，可得轴，，，进而得到，，再由锐角三家函数可得，，即可求解；
过圆上任一点P作圆的两条切线交圆于A，B，连接OA，OB，OP，则有，，根据锐角三家函数可得，，从而得到，即可求证；
分三种情况：当在直线AB与直线CD之间时，视角是，此时以为圆心，EA半径画圆，交直线于，；当在直线AB上方时，视角是，此时以为圆心，AB半径画圆，交直线于，；当在直线CD下方时，视角是，此时以为圆心，DC半径画圆，交直线于，，即可求解．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：选择①，是真命题．

证明：为等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
，
∽
②③都是真命题．
同理可证②，③．
如图②，

，，
∽，
，，
，，
，
，
又，
∽，
，
设，则，，代入得：，
解得：，

或或
解：如图③，当点D在线段AB上时，

，
；
，
；
，
，
∽，
，即，
所以设，，，
，
为等腰三角形时，只有这种情况，
即，解得：，

如图④，当点D在线段AB延长线上时，

同可证，
，即，
所以设，，，
若时，即有，解得：，

若时，，
同可证，即有，
解得：，由得：，解得：，

若时，即O在线段DA的中垂线上，
又因为O已在BD的中垂线上，，所以矛盾，不存在这种情形．
综上：或或 

【解析】选择①，由等腰直角，，，再由，得，则，即可由相似三角形的判定得出结论；
先证明，得，所以，，再证明，得，设，则，，代入得：，解得：，即可求解；
分两种情况：当点D在线段AB上时，当点D在线段AB延长线上时，分别求解即可．
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．