精品解析：2023年广东省深圳市龙华区中考二模数学试卷

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1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题1～10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题11～22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答．
【详解】解：∵从砚台上面看到的图形是，
故选．
【点睛】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．
2. 在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、无理数，故本选项符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；
C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式，平方差公式，同底数幂乘法，合并同类项法则逐项计算即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
4. 农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种．已知毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ）
A. B. C. D. 以上
【答案】B
【解析】
【分析】根据毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是，即可求解．
【详解】解：∵毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．
∴在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在最适宜．
故选：B
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，明确题意，理解最适宜温度的意义是解题的关键．
5. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米，扶梯的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：如图，
在中，米，
∴米，
即扶梯的长度是米．
故选：D
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
6. 如图是小杰同学家中的一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时止，上面玻璃球内的含沙量（）与时间（）之间的函数关系图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得含沙量Q与时间t之间的函数关系图象大致为一条直线，且含沙量Q随时间均匀减少，即可求解．
【详解】解：因为沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，
所以相同时间内，玻璃球内的含沙量Q的减少量相同，
所以从计时器开始计时到计时止，上面玻璃球内的含沙量Q与时间t之间的函数关系图象大致为一条直线，且含沙量Q随时间均匀减少，
故D符合题意，ABC不符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数图形的识别，利用数形结合思想解答是解题的关键．
7. 如图，这条活灵活现的“小鱼”是由若干条线段组成的，它是一个轴对称图形，对称轴为直线，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. 点和点到直线的距离相等B.
C. D. 四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称轴图形的性质对各选项进行分析即可，
【详解】解：图形一个轴对称图形，对称轴为直线，点和点是对称点，
所以，点和点到直线的距离相等，
所以，，，
无法判断与是否相等，故四边形是菱形不一定正确，
故选D.
【点睛】本题主要考查了轴对称轴图形的性质，轴对称图形具有以下的性质：
（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形. （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上.
8. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，连接．以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；以点为圆心，长为半径作弧交于点；以点为圆心，长为半径作弧，交前面的弧于点；作射线交于点．则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理可求出，再根据，分别是，的中点，可得，，由作法可知，进而可证明四边形是平行四边形，得即可解题．
【详解】解：∵在中，，，，
∴
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵由作法可知，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的中位线定理、基本尺规作图-作角等于已知角平行四边形的性质和判定，解题关键是根据中位线定理得出，．
9. 某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率．设11月份的增长率为，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意分别用含x的等式表示出11月和12月的营业额，即可列出所求方程．
【详解】解：由题意可得11月份的营业额为：，
12月份的营业额为：，
∴可列方程为：，
故选A ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握如何列出一元二次方程是解题关键 ．
10. 如图，在中，，是上一点，连接，若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形的性质可得，再由，可得，可证明，从而得到，设，则，可得，，从而得到，的长，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴可设，则，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值化简，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12. 新学期开始，小颖从学校开设的感兴趣的5门劳动教育课程：烹饪、茶艺、花卉种植、整理收纳、家电维修中，随机选择一门课程学习，她选择“茶艺”课程的概率是______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：选择“茶艺”课程的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．
13. 已知是方程组的解，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】把代入得的新的二元一次方程，然后观察发现，运用作差法即可完成解答．
【详解】解：把代入，得：
，
由得：，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题考查了方程组的解的作用．将方程组的解代入方程组的解后，可以求出未知数，然后进行计算；但认真观察整体变换求得的结果，准确率更高．
14. 如图，在平面直角坐标系中，，将沿轴向上平移3个单位至，连接，若反比例函数的图象恰好过点与的中点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】延长交x轴于点E，根据平移的性质可证明四边形是菱形，从而得到轴，设点A的坐标为，则点，，可得点D的坐标为，再由反比例函数图象的性质可得，可求出点A的坐标为，即可．
【详解】解：如图，延长交x轴于点E，
∵将沿轴向上平移3个单位至，
∴，
∴四边形是平行四边形，点C的坐标为，
∵，
∴四边形是菱形，
∴轴，，
即轴，
设点A的坐标为，则点，，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，
∵反比例函数的图象恰好过点与的中点，
∴，
解得：，
∴（负值舍去），
∴点A的坐标为，
把点代入得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，根据题意准确得到四边形是菱形是解题的关键．
15. 如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形红外线接收“感应区”，边上的处有一个红外线发射器，红外线从点发射后，经、上某处的平面镜反射后到达 “感应区”，若米，当红外线途经的路线最短时，上平面镜的反射点距离点______米．
【答案】
【解析】
【分析】由反射规律可知，物体和像是关于平面镜的对称，如图，作出点P关于直线的对称点，则有，作半圆关于直线的对称图形半圆，连接，交半圆于点，则长为红外线途经的路线最短时的值，求出此时即可．
【详解】解：如图，作出点P关于直线的对称点，作半圆关于直线的对称图形半圆，、是关于直线的对称点，连接，连接于，交半圆于点，
由反射规律和对称性质可知：，，
∴，
∴当、、、、在同一直线上时，红外线途经的路线最短，最短路径长为，
∵正方形中，，，
∴，
∴
又∵，，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，解题关键是利用轴对称性质转换线段，化折为直，从而解答问题．掌握常见最短路径模型往往会事半功倍．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
17. 先化简、再求值：，其中．
【答案】，2．
【解析】
【分析】首先将分式分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简，最后进行减法计算得出化简结果，将x的值代入化简后的式子进行计算即可得出答案．
【详解】分解：原式

，
当时， 原式．
【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．将分式的分子和分母进行因式分解是解决这个问题的关键．
18. 为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为分，“了解了一个方面”记为分，“了解了几个独立的方面”记为分，“理解了几个方面的相关性”记为分，“能够综合运用”记为分，现从调查结果中随机抽取了个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第小组得分条形统计图；第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为______．
（2）【分析与估计】
由上表填空：______，______，______；
（3）若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”人数有______人；
（4）【评价与建议】结合你的分析，请给第组的同学提供一条有关该知识点的学习建议．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）；
（3）；
（4）调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．
【解析】
【分析】（1）①根据总人数为人，条形图各得分的人数即可解答；②根据调查总人数人，再利用扇形统计图得分为“”的百分数即可解答．
（2）①根据条形统计图的数据即可解答；②根据扇形统计图的数据即可解答；③根据折线图即可解答．
（3）先计算出三组人数中得分的百分数，再计算出人的表现为“能够综合运用”的人数即可解答．
（4）调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．
【小问1详解】
解：∵随机调查的总人数为人，“”分的人数为人，“1”分的人数为人，“2”分的人数为人，“”分的人数为人，
∴“”分的人数为：（人），
如图所示：
∵第小组得分扇形统计图中“得分为分”所占的百分数为，
∴“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为；
故答案为．
【小问2详解】
解：∵根据条形统计图可知“得分为分”的人数最多，
∴第组的众数为分，
∴，
∵根据第小组得分扇形统计图可知， “”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，
第组的平均数是为，
∴，
∵第组的折线图可知中位数第和第个分数：，
∴第组的中位数是，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
解：∵第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人，
∴三组得分的总人数为人，
∵三组总人数为人，
∴九年级有名表现为“能够综合运用”的人数有（人）；
故答案为人．
【小问4详解】
解：调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，由样本估算整体，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键．
19. 如图，是的外接圆，连接，过点作一条射线．
（1）请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程；
（2）若，，，求的长度．（结果保留）
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）选择①连接，由可得，由可得，进而可得证明是的切线，选择②连接并延长交圆于点，证明，从而证明，即可得出结论，③平分，无法得出结论；
（2）连接OB，易得，进而求出，即可求出由的长度，而，故，由此即可解题．
【小问1详解】
解：选择①，，
连接，如解①图；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是圆的半径，
∴是的切线，
选择②，
如解②题，连接并延长交圆于点，连接，
∵，
∴，
∵
∴
∵是的直径，
∴，
∴，
∴
∴是的切线，
【小问2详解】
连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴的弧长为：，
∵，
∴，
∴的长度．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、弧长公式和圆周角定理等，解题的关键是掌握有切点连半径证垂直．
20. 随着天气转暖，越来越多的市民喜欢到户外活动，小明与同学约定周末带帐篷到附近露营地开展活动．
（1）【买帐蓬】经了解，某种帐篷有A、B两种型号，已知A型帐篷的单价比B型帐篷的单价多30元，用1200元购买A型帐篷的数量和用900元购买B型帐篷的数量相同．小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需多少钱？
（2）【摆帐蓬】周末，小明与同学一起来到露营地，发现有一块由篱笆围绕的长20米，宽14米的矩形草地（抽象成如图1的的方格纸）可用来摆帐篷．经测量，每个帐篷占据的地面部分是半径为3米的圆形（抽象成如图2的圆），为保障通行，帐篷四周需要留有通道，通道最狭窄处的宽度不小于1米．小明将第一个帐篷按要求摆放在如图所示的位置，此块草地内最多还能摆下几个同样大小的帐篷呢？请在图2中画出符合要求的设计示意图．（要求：圆心要画在格点上，画圆时要用圆规）
【答案】（1）420元；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）设B型口罩的单价是元，则A型口罩的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用1200元购买A型口罩的数量与用900元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据圆心的距离大于等于7，圆心到边界的距离大于等于4，而且圆心在格点上设计图形即可．
【小问1详解】
解：设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+30）元，
依题意可得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴A型口罩的单价是，
∴小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需（元）；
答：明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需420元．
【小问2详解】
如图：
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和图形最优化设计，解题关键理解题意，正确处理相关数据．构建适当数学模型．
21. 【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则______；
【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．
①线段与的数量关系是_____________________．
②若，是的三等分点，则的面积为____________________．
【答案】【课本再现】90；【迁移应用】见解析；【拓展延伸】①；②或
【解析】
【分析】（1）【课本再现】先证明，可得，从而得到，即可；
【迁移应用】过点F作交于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可；
【拓展延伸】①过点F作，与的延长线交于点H，可证得，从而得到，，进而得到，，继而得到；②分两种情况讨论，即可．
【详解】∵矩形和矩形是全等矩形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：90
【迁移应用】如图，过点F作交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【拓展延伸】①过点F作，与的延长线交于点H，
由旋转的性质得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
②当时，有
，
由①得：，
∴，
∵的底边上的高相等，
∴；
当时，有，
∴
综上所述，的面积为或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点，并利用类比思想解答是解题的关键．
22. 【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．
如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点点右侧）；
①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；
【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；
【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．
【答案】【特例】①4；4；1；②；【推广】；【应用】
【解析】
【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为，可求出该抛物线与x轴的另一个交点为，即可求解；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，可得第一条抛物线的解析式为，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；
【应用】中的结论可得，从而得到边跨的矢高，即可求解．
【详解】①∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线关于轴的矢高是4，
当时，，
解得：，
∴点，
∴跨径是，
∴矢跨比是；
故答案为：4；4；1
②∵抛物线经过点的矢高是抛物线关于轴的矢高的，
∴抛物线经过点的矢高是，
∵与抛物线开口方向与大小一样，
∴可设该抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：（舍去）或3，
∴该抛物线解析式为，
当时，，
解得：或2，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为，
∴该抛物线的跨径是，
∴它关于轴的矢跨比是；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，
∴第一条抛物线的解析式为，
对于，顶点坐标为，
当时，，
∴第二条抛物线的跨径是，
对于，
当时，，
∴第一条抛物线的跨径是，
∵，
∴第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍；
故答案为：
【应用】∵主跨的矢跨比为，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，
∴主跨的矢高是米，
根据题意得：，
解得：，
∴主跨的矢高是边跨矢高的倍，
∴边跨的矢高是米，
∴边跨的矢跨比是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．平均数
众数
中位数
第1组
第2组
第3组