2021年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷

这是一份2021年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中最大的一个数是（ ）
A．0.5B．﹣3C．0D．﹣2
2．（3分）下列几何体的俯视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）据报道，2020年深圳全市战略性新兴产业增加值超过10200亿元，较2019年增长3.1%．数据10200亿元用科学记数法表示为（ ）
A．102×102亿元B．1.02×104亿元
C．0.102×105亿元D．10.2×103亿元
4．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2•2a3＝2a6B．（2a2）3＝8a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．﹣3a2+2a2＝﹣1
5．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）若一组数据x，3，2，6，5，3，4的中位数是3，那么x的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，已知直线a∥b，将一块含有30°角的三角板ABC的一锐角顶点B放在直线a上，直角顶点C放在直线b上，一直角边AC与直线a交于点D．若∠1＝45°，那么∠ABD的度数是（ ）
A．10°B．15°C．30°D．45°
8．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．不等式﹣3x+2＞0的最大整数解是﹣1
B．方程x2﹣3x+4＝0有两个不相等的实数根
C．八边形的内角和是1080°
D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
9．（3分）如图，已知抛物线L1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，将该抛物线向右平移n（n＞0）个单位长度后得到抛物线L2，L2与x轴交于C、D两点，记抛物线L2的函数表达式为y＝f（x）．则下列结论中错误的是（ ）
A．若n＝2，则抛物线L2的函数表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5
B．CD＝4
C．不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3
D．对于函数y＝f（x），当x＞n时，y随x的增大而减小
10．（3分）如图，已知Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF．则下列结论中：
①△ABD∽△ACE；②∠BFC＝45°；③F为BD的中点；④△AFC面积的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝ ．
12．（3分）已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是 ．
13．（3分）有6张同样的卡片，卡片上分别写上数字“1921”、“1994”、“1935”、“1949”、“1978”、“1980”，将这些卡片背面朝上，洗匀后随机从中抽出一张，抽到标有的数字是偶数的概率是 ．
14．（3分）如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：，大楼底端B到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝ 米．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线y＝上，顶点C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y＝经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣2+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2cs30°．
17．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan45°．
18．（8分）为积极落实市教育局“课后服务”的文件精神，某校积极开展学生课后服务活动．为更好了解学生对课后服务活动的需求，学校随机抽取了部分学生，进行“我最喜欢的课后服务活动”的调查（每位学生只能选其中一种活动），并将调查结果整理后，形成如下两个不完整的统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）这次参与调查的学生人数为 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数为 °；
（4）若该校共有学生1800人，那么最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有 人．
19．（8分）如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．
20．（8分）五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
21．（10分）已知⊙O的直径AB＝6，点C是⊙O上一个动点，D是弦AC的中点，连接BD．
（1）如图1，过点C作⊙O的切线交直径AB的延长线于点E，且tanE＝；
①BE＝ ；②求证：∠CDB＝45°；
（2）如图2，F是弧AB的中点，且C、F分别位于直径AB的两侧，连接DF、BF．在点C运动过程中，当△BDF是等腰三角形时，求AC的长．
22．（10分）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S1，△PAB的面积为S2，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标．
2021年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列各数中最大的一个数是（ ）
A．0.5B．﹣3C．0D．﹣2
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵0.5＞0＞﹣2＞﹣3，
∴所给的各数中最大的一个数是0.5．
故选：A．
2．（3分）下列几何体的俯视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、该立方体的俯视图是正方形，故本选项不合题意；
B、该圆柱的俯视图是圆，故本选项不合题意；
C、该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
D、该三棱柱是俯视图是三角形，故本选项符号题意；
故选：D．
3．（3分）据报道，2020年深圳全市战略性新兴产业增加值超过10200亿元，较2019年增长3.1%．数据10200亿元用科学记数法表示为（ ）
A．102×102亿元B．1.02×104亿元
C．0.102×105亿元D．10.2×103亿元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10200亿元＝1.02×104亿元．
故选：B．
4．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2•2a3＝2a6B．（2a2）3＝8a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．﹣3a2+2a2＝﹣1
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2a5，不符合题意；
B、原式＝8a6，符合题意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝﹣a2，不符合题意．
故选：B．
5．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．（3分）若一组数据x，3，2，6，5，3，4的中位数是3，那么x的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据一组数据x，3，2，6，5，3，4的中位数是3，可以得到x的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一组数据x，3，2，6，5，3，4的中位数是3，
∴x可能为3或者是小于3的数，
∴x不可能为4，
故选：D．
7．（3分）如图，已知直线a∥b，将一块含有30°角的三角板ABC的一锐角顶点B放在直线a上，直角顶点C放在直线b上，一直角边AC与直线a交于点D．若∠1＝45°，那么∠ABD的度数是（ ）
A．10°B．15°C．30°D．45°
【分析】利用平行线的性质得到∠BDC＝∠1＝45°，利用三角形外角定理可得．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠BDC＝∠1＝45°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，
故选：B．
8．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．不等式﹣3x+2＞0的最大整数解是﹣1
B．方程x2﹣3x+4＝0有两个不相等的实数根
C．八边形的内角和是1080°
D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
【分析】分别利用不等式的解法、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和的求法及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、不等式﹣3x+2＞0的最大整数解是0，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、八边形的内角和为1080°，正确，是真命题，符合题意；
D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
9．（3分）如图，已知抛物线L1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，将该抛物线向右平移n（n＞0）个单位长度后得到抛物线L2，L2与x轴交于C、D两点，记抛物线L2的函数表达式为y＝f（x）．则下列结论中错误的是（ ）
A．若n＝2，则抛物线L2的函数表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5
B．CD＝4
C．不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3
D．对于函数y＝f（x），当x＞n时，y随x的增大而减小
【分析】根据函数图象的性质和特点，以及平移的性质逐次求解即可．
【解答】解：A．当n＝2时，则y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）+3＝﹣x2+6x﹣5，故A正确，不符合题意；
B．令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，故AB＝3﹣（﹣1）＝4＝CD，故B正确，不符合题意；
C．由平移的性质知，平移后抛物线和x轴交点的坐标为x＝n+3或n﹣1，从图象看，不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3正确，不符合题意；
D．平移后抛物线和x轴交点的坐标为x＝n+3或n﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝（n+3+n﹣1）＝n+1，
故当x＞n+1时，y随x的增大而减小，故D错误，符合题意，
故选：D．
10．（3分）如图，已知Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF．则下列结论中：
①△ABD∽△ACE；②∠BFC＝45°；③F为BD的中点；④△AFC面积的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断①；由△ABD∽△ACE，可得∠DBA＝∠ECA，∠FGB＝∠CGA，进而∠BFC＝∠BAC＝45°即可判断②；证明△ABD为等腰三角形即可判断③；通过A、C、B、F四点共圆，当F、G、C三点一线通过圆心O的时候，可得△AFC的高最大，从而△AFC的面积最大，进而判断④．
【解答】解：由旋转性质可知，AC＝BC＝AE＝DE＝2，AB＝AD＝，
∴．
∵∠DAE＝∠CAB＝45°，
∴∠DAE+∠EAB＝∠CAB+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC．
故△ABD∽△ACE，故①正确；
设AB、CE交于点G，如图．
由△ABD∽△ACE，可得∠DBA＝∠ECA，
又∠FGB＝∠CGA，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
故②正确；
由∠BFC＝∠BAC＝45°，可知A、C、B、F四点共圆，
由圆内接四边形性质知∠BFA+∠BCA＝180°，
则∠BFA＝90°，
又AB＝AD，△ABD为等腰三角形，
∴由三线合一性质知AF为BD上中线，即F为BD中点．
故③正确；
以AC作△AFC底边，则F到AC距离为高，设高为h，
当h最大时，△AFC面积才最大．
∵A、C、B、F四点共圆，且∠BCA＝90°，
故AB为此圆直径，当F、G、C三点一线通过圆心O的时候，
OF才最大，即等于圆半径，
此时h＝2，故△AFC的面积最大值为2，
故④错误．
故正确的一共有3个，
故选：C．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝ a（b﹣2）（b+2） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ab2﹣4a
＝a（b2﹣4）
＝a（b﹣2）（b+2）．
故答案为：a（b﹣2）（b+2）．
12．（3分）已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是 12 ．
【分析】把x＝a代入已知方程，得到a2+3a＝4，然后代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a+4＝2（a2+3a）+4＝2×4+4＝12．
故答案为：12．
13．（3分）有6张同样的卡片，卡片上分别写上数字“1921”、“1994”、“1935”、“1949”、“1978”、“1980”，将这些卡片背面朝上，洗匀后随机从中抽出一张，抽到标有的数字是偶数的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：∵6张卡片中偶数有3个，
∴洗匀后随机从中抽出一张，抽到标有的数字是偶数的概率是＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：，大楼底端B到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝ （25﹣5） 米．
【分析】过C作CH⊥DE交ED的延长线于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到∠DCH＝30°，求得DH＝CD＝5（m），CH＝CD＝5（m），得到BH＝BC+DH＝（30+5）（m），过E作EF⊥AB于F，根据直角三角形性质和矩形的性质即可得到结论．
【解答】解：过C作CH⊥DE交ED的延长线于H，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH＝＝1：，
∴∠DCH＝30°，
∵CD＝10米，
∴DH＝CD＝5（m），CH＝CD＝5（m），
∴BH＝BC+DH＝（30+5）（m），
过E作EF⊥AB于F，
则EF＝BH＝（30+5）m，BF＝EH，
在Rt△AEF中，∠AEF＝45°，
∴AF＝EF＝（30+5）m，
∵AB＝60m，
∴BF＝EH＝（30﹣5）m，
∴DE＝EH﹣DH＝（25﹣5）（m）
故答案为：（25﹣5）m．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线y＝上，顶点C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y＝经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为 2 ．
【分析】设A点坐标为（a，b），则k＝ab，用a、b的代数式表示B、C、D、E坐标，根据双曲线y＝经过AD的中点E，列方程求出b＝2，再由矩形ABCD对角线相等列方程求出a，即可得A坐标，从而求出k．
【解答】解：设A点坐标为（a，b），则k＝ab，y＝，如图，
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADM+∠CDO＝90°，∠BCN+∠DCO＝90°，
∵∠CDO+DCO＝90°，
∴∠ADM+∠BCN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠BCN＝∠DAM，
在△ADM和△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM＝b，BN＝MD，
∵OC＝3，
∴ON＝3﹣b，即yB＝b﹣3，且B在y＝图象上，
∴B（，b﹣3），
∴BN＝DM＝|xB|＝，
∵点E是AD的中点，
∴MF＝，OF＝a+，OD＝a+，
∴E（a+，b），
∵双曲线y＝经过AD的中点E，
∴（a+）•b＝ab，解得b＝2，
∴A（a，2），B（﹣2a，﹣1，D（3a，0），
而C（0，﹣3），且矩形ABCD有AC＝BD，
∴（a﹣0）2+（2+3）2＝（﹣2a﹣3a）2+（﹣1﹣0）2，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴A（1，2），代入y＝得：k＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣2+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2cs30°．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣2+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2cs30°
＝4+﹣1﹣2×
＝3+﹣
＝3．
17．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan45°．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（1﹣）
＝
＝
＝，
当x＝tan45°＝1时，原式＝＝﹣1．
18．（8分）为积极落实市教育局“课后服务”的文件精神，某校积极开展学生课后服务活动．为更好了解学生对课后服务活动的需求，学校随机抽取了部分学生，进行“我最喜欢的课后服务活动”的调查（每位学生只能选其中一种活动），并将调查结果整理后，形成如下两个不完整的统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）这次参与调查的学生人数为 50 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数为 54 °；
（4）若该校共有学生1800人，那么最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有 540 人．
【分析】（1）根据参加社团活动的人数和所占的百分比，可以计算出这次参与调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出参加体育活动的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数；
（4）根据参加社团活动所占的百分比，可以计算出最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有多少人．
【解答】解：（1）由图可得，
这次参与调查的学生人数为：18÷30%＝60，
故答案为：60；
（2）参加体育活动的有：60﹣18﹣9﹣15﹣6＝12（人），
补充完整的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数为：360°×＝54°，
故答案为：54；
（4）1800×30%＝540（人），
即最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有540人，
故答案为：540．
19．（8分）如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明EB＝ED，再利用线段的垂直平分线的性质证明EC＝ED，可得结论．
（2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△ECB和△ECD中，
，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴BE＝DE，
由作图可知，MN垂直平分线段CD，
∴EC＝ED，
∴BE＝CE．
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝72°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣72°）＝54°，
∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB＝54°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝18°．
20．（8分）五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以计算出A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与购进A和B两种品牌的电风扇数量的函数关系式，再根据某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，可以写出相应的方案，再分别计算出各种方案下的利润，即可得到获得最大利润的方案．
【解答】解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
，
解得，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，
w＝（180﹣100）a+（250﹣150）b＝80a+100b，
∵某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，
∴100a+150b＝1000且a≥1，b≥1，
∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），
∴或或，
∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+100×6＝680，
当a＝4，b＝4时，w＝80×4+100×4＝720，
当a＝7，b＝2时，w＝80×7+100×2＝760，
由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．
21．（10分）已知⊙O的直径AB＝6，点C是⊙O上一个动点，D是弦AC的中点，连接BD．
（1）如图1，过点C作⊙O的切线交直径AB的延长线于点E，且tanE＝；
①BE＝ 2 ；②求证：∠CDB＝45°；
（2）如图2，F是弧AB的中点，且C、F分别位于直径AB的两侧，连接DF、BF．在点C运动过程中，当△BDF是等腰三角形时，求AC的长．
【分析】（1）①连接OC，由锐角三角函数的定义求出CE的长，由勾股定理求出OE的长，则可得出答案；
②连接OC，BC，取AE的中点，连接DM，由三角形中位线定理得出DM＝CE＝2＝BE，DM∥CE，证明△AMD≌△CEB（SAS），由全等三角形的性质得出AD＝BC，根据直角三角形的性质可得出答案；
（3）由直角三角形的性质求出AF＝BF＝3，分三种情况：①若BD＝BF＝3，连接BC，②若BF＝DF＝3，连接FA，FC，过点F作FG⊥AC于点G，③若DF＝BD，过点D作DN⊥BF于点N，连接ON，AF，BC，分别由勾股定理及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）①连接OC，如图1，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵tanE＝，AB＝6，
∴，OC＝3，
∴CE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴BE＝OE﹣BO＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
②如图2，连接OC，BC，取AE的中点，连接DM，
∵D为AC的中点，M为AE的中点，
∴DM为△ACE的中位线，
∴DM＝CE＝2＝BE，DM∥CE，
∴∠AMD＝∠CEB，
∵AM＝AE＝4＝CE，
∴△AMD≌△CEB（SAS），
∴AD＝BC，
∵AD＝CD，
∴CD＝BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CDB＝45°；
（2）解：连接AF，
∵F为弧AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴AF＝BF，∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝45°，AF＝BF＝AB＝3．
①若BD＝BF＝3，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，且CD＝AC，
∴62﹣AC2＝，
∴AC＝2；
②若BF＝DF＝3，连接FA，FC，过点F作FG⊥AC于点G，
∴AF＝DF，
∵DG＝AD，
∵∠ACF＝∠ABF＝45°，
∴CF＝FG，
设DG＝x，则CD＝AD＝2x，FG＝CG＝DG+CD＝3x，
∵FG2+DG2＝DF2，
∴x2+（3x）2＝，
解得x＝，
∴AC＝4x＝；
③若DF＝BD，过点D作DN⊥BF于点N，连接ON，AF，BC，
∴N为BF的中点，
∴ON⊥BF，
∴点O在DN上，
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，即DN⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴四边形ADNF是矩形，
∴AD＝NF，
∴AC＝BF＝3，
综合上述可得，AC的长为2或或3．
22．（10分）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S1，△PAB的面积为S2，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标．
【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式即可；
（2）分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，利用铅垂法分别表示△PAE的面积和△PAB的面积，再求比值即可；
（3）过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N，利用等腰三角形的性质，先求出∠BTC＝∠BMC时，直线BT的解析式，利用ON∥BT求出点N的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，D（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴E（1，4），
∵直线y＝mx+1过点A（﹣1，0），
∴直线AF：y＝x+1，
如图1，分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，
∴S1＝（xP﹣xA）•EH，S2＝（xP﹣xA）•BG
∴＝，
∵B（3，0），
∴G（3，4），BG＝4，
∵E（1，4），
∴H（1，2），EH＝2，
∴＝＝＝，
∴的值是一个定值，这个定值为；
（3）如图2，过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N，
∴∠ONC＝∠BTC＝∠BMC，
∴BT＝BM，点P是点T，点M的中点，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC：y＝﹣3x﹣3，
∵BP⊥AC，B（3，0），
∴直线BP：y＝x﹣1，
联立，解得，
∴P（﹣，﹣），
∵B（3，0），D（1，﹣4），
∴直线BD：y＝2x﹣6，
联立，解得，
∴M（，﹣），
∴由中点坐标公式可得，T（﹣，），
设直线BT的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，，
∴y＝﹣x+，
∴直线ON的表达式为：y＝﹣x，
联立，解得，
∴N（﹣，）．