2023版考前三个月冲刺专题练　第8练　恒成立问题与能成立问题【无答案版】

第8练　恒成立问题与能成立问题

[考情分析]　恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．

一、恒成立问题

例1　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1恒成立，求a的取值范围．

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规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略

①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．

②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围．

(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．

(3)判断含x，ln x，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝及ex≥x＋1，ln x≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号．

跟踪训练1　(2022·宣城模拟)已知函数f(x)＝ln x－aex(a∈R)．

(1)若f(1)＝1，求曲线y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程；

(2)当a>0时，若对任意x>0，f(x)≤ln a恒成立，求a的取值范围．

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二、能成立问题

例2　(2022·北京第十二中学模拟)已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)＝，若g(x)在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围．

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规律方法　(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法

若a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；

若a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.

(2)不等式能成立问题的解题关键点

跟踪训练2　(2022·淮南模拟)已知函数f(x)＝.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)已知λ>0，若存在当x∈(1，＋∞)时，不等式λx2－λx≥(eλx－1)ln x成立，求λ的取值范围．

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