初中华师大版18.1 平行四边形的性质图文课件ppt

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平行四边形平行四边形的边、角性质两条平行线之间的距离平行四边形的对角线性质
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
特别提醒●平行四边形的定义有两个要素：(1)是四边形；(2)两组对边分别平行.作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质.●平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；反过来，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
2. 表示方法：平行四边形用符号“ ”表示，如图18.1-1，平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：(1)平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点，不能打乱顺序.(2)“ ”作为表示平行四边形的符号，不可单独使用它来代替“平行四边形”.
3. 平行四边形的基本元素：
如图18.1-2，在 ABCD 中，过点P 作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有________个 平行四边形.
解题秘方：紧扣平行四边形定义中的“两要素”进行识别.
解：在 ABCD 中，∵ EF ∥ AB，GH ∥ BC，∴ EF ∥ AB ∥ CD，GH ∥ BC ∥ AD.∴单独一个四边形是平行四边形的有4 个： DEPH， EAGP， HPFC， PGBF；由两个四边形组成的平行四边形有4 个： DEFC， EABF， DAGH， HGBC；由四个四边形组成的平行四边形有1 个： ABCD.∴图中共有9 个平行四边形.
1-1. 如图， 分别过△ ABC 的顶点A，B，C 作对边BC，AC，AB的平行线，交点分别为E，F，D. 请找出图中所有的平行四边形，并表示出来.
解：平行四边形有▱ABCD，▱AEBC，▱ABFC.
平行四边形的边、角性质
1. 平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等.数学语言：如图18.1-3，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，AD=BC.
2. 平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等.数学语言：如图18.1-3，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ A= ∠ C，∠ B= ∠ D.
特别提醒由于组成平行四边形的元素有边和角，因此讨论其性质也应从边和角这两个方面去看.(1)从边看：平行四边形的对边平行且相等；(2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补.
如图18.1-4，在ABCD 中，AB=5 cm，BC=4 cm，则ABCD 的周长为 ________cm.
解题秘方：紧扣“平行四边形边的性质”进行解答.
解：∵平行四边形的对边相等，∴ CD=AB=5 cm，AD=BC=4 cm.∴ ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=5+4+5+4=18(cm).
2-1. ［中考·湘潭］如图，在ABCD 中，连结AC，已知∠ BAC=40°，∠ ACB=80°，则∠ BCD=( )A. 80° B. 100°C. 120° D. 140°
1. 定义：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
特别提醒1. 距离是指垂线段的长度，它是正值；2. 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值，不随位置的不同而改变；3. 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置；4. 任何两条平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度.
三种距离之间的区别与联系
2. 性质：平行线之间的距离处处相等.3. 拓展：(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等.(2)等底等高的平行四边形的面积相等.(3)平行四边形的面积= 底× 高=ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h 必须是边长为a 的边与它的对边之间的距离). 如图18.1- 5，在 ABCD 中，AE ⊥ BC 于点E，CF ⊥ AB 于点F，则S ABCD=BC·AE=AB·CF.
如图18.1-6，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF.△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？
解题秘方：紧扣等底等高的三角形面积相等作三角形的高进行说明.
解：△ ABC 与△ DEF 的面积相等.理由如下：如图18.1-6，过点A 作AH1 ⊥直线b，垂足为点H1，过点D 作DH2 ⊥直线a，垂足为点H2.设△ ABC 和△ DEF 的面积分别为S1 和S2，∴ S1= BC·AH1，S2= EF·DH2.
∵直线a ∥ b，AH1 ⊥直线b，DH2 ⊥直线a，∴ AH1=DH2.又∵ BC=EF，∴ S1=S2，即△ ABC 与△ DEF 的面积相等.
3-1.［中考·青海］如图，在 ABCD 中，对角线BD=8 cm，AE ⊥BD，垂足为E，且AE=3 cm，BC=4 cm， 则AD 与BC 之间的距离为_______.
平行四边形的对角线性质
1. 平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分.数学语言：如图18.1-7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD.
2. 拓展性质：(1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分.(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
图示如图18.1-8，∵直线EF 过平行四边形ABCD对角线的交点O，∴△ AOE ≌△ COF,△ DOE ≌△ BOF.∴易得直线EF 平分 ABCD的周长和面积.
如图18.1-9，已知ABCD 的周长是60，对角线AC，BD 相交于点O. 若△ AOB 的周长比△ BOC 的周长长8，求这个平行四边形各边的长.
周长之差转化为邻边之差.
解题秘方：紧扣平行四边形对角线、边的性质进行解答.
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，AB=CD，AD=BC.∵ AB+BC+CD+DA=60，OA+AB+OB－(OB+BC+OC)=8，∴ AB+BC=30，AB－BC=8. ∴ AB=19，BC=11.∴ CD=19，AD=11.∴这个平行四边形各边的长分别为19，11，19，11.
4-1. 如图， ABCD的对角线交于点O，且AC ⊥ AB，OC=1 cm，OB=2 cm. 求AB 的长及 ABCD 的面积.
如图18.1-10，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 作直线EF，分别交AD，BC 于点E，F. 判断四边形ABFE 的面积与四边形FCDE的面积有何关系？试说明理由.
解题秘方：紧扣平行四边形的对角线性质、全等三角形的性质进行解答.
解：S四边形ABFE=S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，AD ∥ BC.∴∠ 1= ∠ 2.又∵∠ 3= ∠ 4，∴△ AOE ≌△ COF(A. S. A.).∴ S△ AOE=S△ COF.∴ S四边形ABFE=S△ ABC－S△ COF+S△ AOE=S△ ABC，S四边形FCDE=S△ CDA－S△ AOE+S△ COF=S△ CDA，
∵在 ABCD 中，AB=CD，BC=DA，∠ ABC= ∠ CDA，∴△ ABC ≌△ CDA(S. A. S.).∴ S△ ABC=S△ CDA.∴ S四边形ABFE=S四边形FCDE.
5-1. 张大伯承包了一个四边形的池塘，如图所示，它的四个顶点A，B，C，D 处均有一棵大树，张大伯今年养鱼喜获丰收，明年准备把池塘面积扩大一倍，但又不想毁掉这四棵大树，并且要使扩建后的池塘呈平行四边形形状. 张大伯这一设想是否能实现？请你帮助他解决一下，并画出草图.
解：张大伯能实现这一设想．有多种设计方案，现列举两种如下：方案一：如图①，连结AC.过点D作DH∥AC，且使DH＝AC，连结HA，过点B作AC的平行线，延长HA，DC，分别交过点B且平行于AC的直线于点E，F，则四边形EFDH即为扩建后的平行四边形池塘．
方案二：如图②，连结AC，BD.分别过点B，D作AC的平行线，分别过点A，C作BD的平行线，这两组平行线的交点分别为点E，F，G，H，则四边形EFGH即为扩建后的平行四边形池塘．(设计方案不唯一)