2022-2023学年黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．若集合，，则＝（    ）

A．{－1} B．{－1，0} C．{－2，－1，0} D．{－1，0，1}

【答案】A

【分析】化简集合，根据交集的定义求.

【详解】不等式的解集为，所以，

又，所以，

故选：A.

2．的否定是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用全称命题的否定可得结论.

【详解】解：命题“”为全称命题，该命题的否定为“”.

故选：B.

3．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得出，结合向量数量积的坐标运算求得的值，进而利用向量的模长公式可求得的值.

【详解】，，解得，，

因此，.

故选：C.

【点睛】本题考查向量模长的计算，涉及向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.

4．已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数的虚部即可.

【详解】

的共轭复数为

虚部为.

故选：D.

5．已知，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由均值不等式求解即可.

【详解】，

，当且仅当时等号成立，

故选：B

6．是空间中两条不同的直线，“是异面直线”是“没有公共点”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据空间直线与直线的位置关系及充分不必要条件的定义即可求解.

【详解】解：若是空间中两条不同的直线，且是异面直线，则没有公共点；

若是空间中两条不同的直线，且没有公共点，则是异面直线或，

故“是异面直线”是“没有公共点”的充分不必要条件.

故选：A.

7．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】先由为R的奇函数求，再求出，结合奇偶性求出.

【详解】由是定义域为R的奇函数可知，，即，故当时，，，故.

故选：B

8．函数的零点所在的一个区间是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.

【详解】因为为增函数,且,

根据零点存在性定理知的零点在区间内.

故选B

【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.

9．已知函数，若，则实数（    ）

A．2 B．4 C． D．4或

【答案】B

【分析】先求出，再分和两类讨论求出实数即可.

【详解】解：因为，所以，

当即时，，

解得：，与矛盾，不符合题意；

当即时，，

解得：，符合题意.

故选：B

【点睛】本题考查利用分段函数的函数值求参数，是基础题.

10．已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由正方体的表面积求出正方体的棱长，再求出正方体的体对角线，从而可得其外接球的直径，进而可求出球的体积.

【详解】设正方体的棱长为，其外接球的半径为，

因为正方体的表面积为18，

所以，所以，，

所以，得，

所以正方体外接球的体积为，

故选：A.

11．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程不可能是（    ）

A．x＋y＝0 B．

C．x－y＝0 D．x＋y－4＝0

【答案】B

【分析】由题意，根据截距相等，设出直线方程为或，结合直线与圆相切求解即可.

【详解】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：或，

由于直线l与圆相切，故圆心（2，0）到直线的距离等于半径，

所以，解得或

或，解得．

故直线的方程为：，，，

所以直线l的方程不可能是

故选：B．

二、多选题

12．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，甲的成绩分别是8，6，8，6，9，8；乙的成绩分别是4，6，8，7，10，10，则以下说法正确的是（    ）

A．甲、乙两人打靶的平均环数相等 B．甲打靶环数的中位数比乙打靶环数的中位数大

C．甲打靶环数的众数比乙打靶环数的众数大 D．甲打靶的成绩比乙的稳定

【答案】ABD

【分析】根据给定数据，求出甲、乙打靶环数的平均数、中位数、众数、方差，判断作答.

【详解】甲打靶的平均环数为，乙打靶的平均环数为，A正确；

甲打靶环数的中位数是8，乙打靶环数的中位数是，则甲打靶环数的中位数比乙打靶环数的中位数大，B正确；

甲打靶环数的众数是8，乙打靶环数的众数是10，则甲打靶环数的众数比乙打靶环数的众数小，C错误；

甲打靶成绩的方差为，

乙打靶成绩的方差为，

，因此甲打靶的成绩比乙的稳定，D正确．

故选：ABD

13．在正方体中，分别是的中点，下列说法正确的是（    ）

A．四边形是菱形

B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成角的正弦值是

D．平面与平面所成角的余弦值是

【答案】AC

【分析】利用正方体中的平行、垂直关系求解各选项即可.

【详解】设正方体的棱长为，

选项A：因为分别是的中点，易得，，

又因为，所以四边形是菱形，正确；

选项B：如图所示

因为，所以直线与所成角即为与所成角，

因为，所以直线与所成的角为，错误；

选项C：如图所示

因为平面，所以直线与平面所成角即为，

因为，所以，正确；

选项D：如图所示，设交于，

由正方体，得为中点，，

所以，，

因为平面平面，所以即为平面与平面所成角，

因为，，

所以，错误，

故选：AC.

三、填空题

14．从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则的概率为___________．

【答案】##0.5

【分析】列举所有的基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】取出的6组数分别为其中有3组满足，所以的概率为．

故答案为：

15．一支游泳队有男运动员人，女运动员人，按性别分层，用分层随机抽样从全体运动员抽取一个容量为的样本，那么抽取的女运动员人数为___________.

【答案】3

【分析】根据抽样比例,即可求解.

【详解】抽取的女运动员人数为

故答案为:3

16．函数的定义域_______________．

【答案】

【分析】利用给定的函数有意义，列出不等式组，求解作答.

【详解】函数有意义，则有，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

17．在R上定义新运算：．若不等式对恒成立，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用定义的运算建立函数关系式，解决恒成立问题转化成二次函数的图像恒在轴上方，由，结合二次不等式的解法可得所求范围．

【详解】不等式对任意实数恒成立，

即为，

化简得在上恒成立，

则判别式，即，

即有，即，

解得，则a的取值范围是.

故答案为：．

四、解答题

18．（1）已知，求的值；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用同角公式求出，再利用二倍角公式计算作答.

（2）利用已知条件结合诱导公式求出，再利用齐次式法求解作答.

【详解】（1）因为，则，

所以.

（2）由得：，即，则，

所以.

19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

(1)当时，求函数的解析式；

(2)解不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，根据函数为偶函数求解；

（2）由函数解析式确定函数的单调性，再由偶函数性质建立不等式求解即可.

【详解】（1）当时，则，

又是偶函数，故；

（2）当时，单调递增，时，单调递减，

且函数为偶函数，

故，

即．

化简得，

解得，

故不等式的解集为.

20．已知，与的夹角是.

(1)求的值及的值；

(2)当为何值时，？

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；

（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．

【详解】（1）∵，与的夹角是，

∴，

；

（2）由题意，，

即，

解得，

即时，.

21．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)的值；

(2)角的大小和的面积.

条件①：；条件②：.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，

（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，

【详解】（1）选择条件①

因为，，，

由余弦定理，得，

化简得，

解得或（舍）.

所以；

选择条件②

因为，，

所以，

因为，，

所以，

由正弦定理得，得，

解得；

（2）选择条件①

因为，，

所以.

由正弦定理，得，

所以，

因为，所以，

所以为锐角，

所以，

所以，

选择条件②

由（1）知，，

又因为，，

在中，，

所以

因为

所以，

所以

22．某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数（单位：千步）得到频率分布表，如图所示

(1)求频率分布表中的值，并补全频率分布直方图；

(2)估计此人每天步数不少于1万步的概率.

【答案】(1)；频率分布直方图见解析.

(2)

【分析】（1）根据频率分布表可直接计算的值，根据的值补全频率分布直方图即可.

（2）根据频率分布表可得此人每天步数不少于1万步的天数，利用古典概型概率公式即可求解.

【详解】（1）解：由频率分布表可得，，，

则频率分布直方图为：

（2）解：根据频率分布表可得，每天步数不少于1万步的天数为天，

故此人每天步数不少于1万步的概率为.

23．如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，E为的中点，．

(1)证明：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)直接利用线面垂直的判定来证明线线垂直

(2)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面与平面的法向量，即可求解两个平面的夹角余弦值.

【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

所以，又由题可知，AC⊥BC，

，平面且，

所以AC⊥平面，又因为平面，所以．

（2）在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，

所以，，又AC⊥BC

所以，，三条直线两两互相垂直

如图所示，以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建系如图，

由，，可得，则有，，，，

设平面的一个方向量为，

，

所以，即，令，则，，所以，

因为平面，所以为平面的一个法向量，

所以，，

即平面与平面夹角的余弦值等于．