2022-2023学年黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学校高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知数列为等比数列，，则（    ）

A．9或 B．9 C．27或 D．

【答案】B

【分析】根据等比中项进行求解，注意符号即可.

【详解】根据等比中项可得，，

设等比数列公比为，根据等比数列性质，则，

注意到，故.

故选：B

2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走的路程为

A．96里 B．189里 C．192里 D．288里

【答案】A

【分析】设此人第一天走的路程为x,则，求出x即得解.

【详解】设此人第一天走的路程为x,则

，

解之得，

所以，所以第二天走的路程为96.

故选A.

【点睛】本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

3．函数的导数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复合函数的求导法则，两函数乘积求导的运算法则求解.

【详解】若，根据复合函数的求导法则，，

根据两函数乘积的求导公式，的导数为.

故选：B

4．已知等比数列中, ,且成等差数列,则(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据条件求出公比，再代入求结果.

【详解】由题意可设公比为q，则，

∴.

∴

故选：C

【点睛】本题考查等比数列基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．函数在处的切线方程为，则（    ）

A．10 B．20 C．30 D．40

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义确定导数值和函数值．

【详解】由题意，又切线方程是时，，所以，

．

故选：B．

6．设函数的导函数图象如下图，则函数的图象可能为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导函数的符号与原函数单调性之间的关系结合导函数为偶函数可得出合适的选项.

【详解】由导函数的图象可知，函数的符号从左至右依次为负、正、负，则函数的单调性从左至右依次为减、增、减，排除A、B选项；

由导函数的图象可知，函数为偶函数，即，

构造函数，则，

所以，（为常数），则函数的图象关于点对称，排除D选项.

故选：C.

【点睛】本题考查利用导函数的图象选择原函数的图象，要结合导数符号与函数单调性之间的关系进行判断，考查推理能力，属于中等题.

7．在等差数列中，若，则（    ）

A．18 B．30 C．36 D．72

【答案】C

【分析】由已知求出，再利用等差中项即可.

【详解】由已知得，，

所以.

故选:C

8．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题得，等价于函数在上有两个不相等的零点，解不等式组即得解.

【详解】由题得，

因为有两个极值点，

所以函数在上有两个不相等的零点，

所以，

解得．

故选：B

二、多选题

9．已知函数若，则实数的值可为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】BC

【分析】根据常见初等函数的导数公式，结合代入法，分类讨论进行求解即可.

【详解】当时，，

解得，（舍去）；当时，，解得．

故选：BC

10．已知等差数列为递增数列，，，该数列的前n项和为，则下列说法正确的为（    ）

A． B．或最小 C．公差 D．

【答案】ABD

【分析】等差数列，用基本量代换和性质，对四个选项一一验证：

用，整理计算后对AB验证；

直接计算出公差，验证C；

借助于通项公式，验证D.

【详解】根据题意，可得，从而可得该数列的前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数，因此选项A、B正确；

对于选项C，，，公差，因此选项C错误；

对于选项D，因为，所以，因此选项D正确.

故选：ABD．

【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．

11．已知数列的首项为，且满足，则（    ）

A．为等比数列 B．为递增数列

C．为递增数列 D．为递减数列

【答案】ABC

【分析】根据题干中的递推关系可以推出为等比数列，从而可以得出的表达式，进而得到的表达式，然后在研究的单调性.

【详解】由题意，，又，故是首项为，公比为的等比数列，A选项正确；

根据A选项可得，，显然是递增数列，B选项正确；

由B选项可得，，由，则为递增数列，C选项正确，D选项错误.

故选：ABC

12．设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意判断函数的单调性以及其图象的形状，根据单调性可判断A；根据导数的几何意义以及结合直线斜率的含义，可判断.

【详解】由知，在R上单调递增，则,故A正确；

恒有，即，

所以的图象是向上凸起的，如图所示，

由导数的几何意义知，随着x的增加，的图象越来越平缓，即切线斜率越来越小（斜率为正），

所以，故B正确，

设，则，

所以由图象知，故D正确，C错误，

故选：

三、填空题

13．在等比数列中，，则        ．

【答案】1

【解析】设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.

【详解】设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.

14．已知数列的前n项和,则数列的通项公式为       

【答案】

【分析】由数列的前项和,利用公式,即可得出数列的通项公式.

【详解】数列的前项和为,

,

时, ,

时上式也成立，

,故答案为.

【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.

15．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是      .

【答案】（或）

【解析】由题意可知，直线的斜率为，对函数求导，由求得切点的坐标，再利用点斜式可求得直线的方程.

【详解】直线的斜率为，由于直线与直线平行，则直线的斜率为，

对函数求导得，令，解得或（舍去），

所以切点的坐标为.

故直线的方程为，即

故答案为：（或）.

16．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是         ．

【答案】

【分析】求出函数的导数，然后根据题意得到在内恒成立，常变量分离，构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为

所以，

由题意可知：在内恒成立，即

，设，

因为在上单调递减，

故，

因此要想恒成立，只需.

故答案为：

四、解答题

17．已知数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）．

【分析】(1)设出的通项公式，由通项公式结合条件可得,求出方程的解，可得答案.

(2) 依题意得,从而可得为等比数列，由等比数列的前项和公式可得答案.

【详解】（1）设，则解得，.

所以的通项公式为.

（2）依题意得，因为，

所以是首项为，公比为16的等比数列，

所以的前n项和．

18．已知函数

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)

(2)极大值为，极小值为

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，求出后利用点斜式即可得解；

（2）求出函数导数后，解一元二次不等式分别求出、时的取值范围即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

∴切线方程为，即+1；

（2），所以当或时，，

当时，，所以函数的单调增区间是，单调减区间是和，

极大值为，极小值为．

19．已知等比数列中，，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）当数列为正项数列时，若数列满足，求数列的前项和．

【答案】（1）或 ；（2） ．

【分析】（1）用基本量表示题中两个条件，联立求解即可；

（2）由题意，分组求和即得解.

【详解】（1）记的公比为，

由，得，解得或2．

又由，得，

解得．

当时，，此时；

当时，，此时．

综上，数列的通项公式或．

（2）由已知，得，则，

所以

．

20．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解得增区间，同时可由得减区间；

（2）由（1）得的最小值为，解不等式可得．

【详解】（1）函数定义域为，

由题意，

当时，在时，恒成立，在上单调递增，

当时，的解为，的解为，

在上递增，在上递减．

（2）由（1）知时，在上递增，在上递减．

所以，恒成立，则，

即，由于时，，不等式不成立，所以，解得．

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．一般地恒成立等价于，恒成立，等价于，然后解不等式可得参数范围．或者用分离参数法转化为（其中不参数），则，若，则．

21．已知等差数列满足，的前项和为.

（1）求及；

（2）记，求

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前项和公式求出及；

（2）利用裂项相消法可以求出.

【详解】1）设等差数列的公差为，

（2）由（1）知：

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项相消法求数列前项和，考查了数学运算能力.

22．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若存在两个不相等的正数，满足，求证：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求导得，令解得（舍或，分两种情况：①当时，②当时，讨论的正负，的单调性．

（2）由（1）不妨设，设，求导，分析的单调性，可得（a），即，根据，得，结合的单调性，即可得出答案．

【详解】解：（1）

令解得(舍)或.

①当时，，则在上单调递增；

②当时，

当，则在上单调递减，

当，，则在上单调递增，

所以当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）（2）证明：，由（1）不妨设．

设．

则．

当时，恒成立，

则在上单调递增，

（a），

，

由，则可得，

，，

而在上单调递减，

，

．